Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

nhầm đề ak

Xin phép được sủa đề một chút nhé :)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z=a\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2=b+4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=a^2\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=2\left(xy+yz+zx\right)\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow xy+yz+zx=2017\)

\(M=x\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(2017+x^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+x^2\right)}{2017+z^2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)

\(=2\left(xy+yz+zx\right)=4034\)

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+1\right)-3\left(y-2\right)=5\\-4\left(x-2\right)+5\left(y-3\right)=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2-3y+6=5\\-4x+8+5y-15=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=-3\\-4x+5y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-6y=-6\\-4x+5y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=0\\2x-3y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x-3\cdot0=-3\end{matrix}\right.\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=0\end{matrix}\right.\)

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(x-3\right)-3\left(y+1\right)=-2\\3\left(x+2\right)-2\left(1-y\right)=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x-24-3y-3=-2\\3x+6-2+2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x-3y=25\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}24x-9y=75\\24x+16y=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-25y=67\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-67}{25}\\3x=1-2y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=1-2\cdot\dfrac{-67}{25}=\dfrac{159}{25}\\y=-\dfrac{67}{25}\end{matrix}\right.\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{53}{25}\\y=-\dfrac{67}{25}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{53}{25}\\y=-\dfrac{67}{25}\end{matrix}\right.\)

a) HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=-3\\-4x+5y=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-6y=-6\\-4x+5y=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=0\\x=\dfrac{3y-3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{3}{2};0\right)\)

b) HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x-3y=25\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16x-6y=50\\9x+6y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}25x=53\\y=\dfrac{1-3x}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{53}{25}\\y=-\dfrac{67}{25}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{53}{25};-\dfrac{67}{25}\right)\) 

b: =>x^2-y^2-4y-2x-3=0 và x^2+2x+y=0

=>x^2-2x+1-y^2-4y-4=0 và x^2+2x+y=0

=>x=1 và y=-2 và x^2+2x+y=0

=>Hệ vô nghiệm

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2x-5\\y=3-2x+z=3-2x+2x-5=-2\\3x-2\cdot\left(-2\right)+2x-5=14\end{matrix}\right.\)

=>y=-2; 3x+4+2x-5=14; z=2x-5

=>y=-2; x=3; z=2*3-5=1

Lời giải:
Từ PT(2) suy ra $x=a^2+4a-ay$. Thay vào PT(1):

$(a+1)(a^2+4a-ay)-ay=5$

$\Leftrightarrow (a+1)(a^2+4a)-y(a^2+2a)=5$

$\Leftrightarrow y(a^2+2a)=(a+1)(a^2+4a)-5=a^3+5a^2+4a-5$

Để $y$ nguyên thì $a^3+5a^2+4a-5\vdots a^2+2a$
$\Leftrightarrow a(a^2+2a)+3(a^2+2a)-2a-5\vdots a^2+2a$

$\Rightarrow 2a+5\vdots a^2+2a$

$\Rightarrow 2a^2+5a\vdots a^2+2a$

$\Rightarrow 2(a^2+2a)+a\vdots a^2+2a$

$\Rightarrow a\vdots a^2+2a$

$\Rightarrow 1\vdots a+2$
$\Rightarrow a+2=\pm 1$

$\Rightarrow a=-1$ hoặc $a=-3$

Thử lại thấy $a=-1$ thỏa mãn.

a: Đặt |x-6|=a, |y+1|=b

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=5\\5a-4b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

=>|x-6|=1 và |y+1|=1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{7;5\right\}\\y\in\left\{0;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

b: Đặt |x+y|=a, |x-y|=b

Theo đề, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2a-b=19\\3a+2b=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{55}{7}\\b=-\dfrac{23}{7}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>HPTVN

c: Đặt |x+y|=a, |x-y|=b

Theo đề ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}4a+3b=8\\3a-5b=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.\)

=>|x+y|=2 và x=y

=>|2x|=2 và x=y

=>x=y=1 hoặc x=y=-1

a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:

\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)

P/s: Không chắc cho lắm ạ.

Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,

Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6

Help meeee, please!

thanks nhiều

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

a/ Trừ pt dưới cho pt đầu: \(\Rightarrow x-z=-1\Rightarrow x=z-1\)

Thay vào pt cuối:

\(\left(3z-1\right)^2=25\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3z-1=5\\3x-1=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=2\\z=-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(z=2\Rightarrow x=1\Rightarrow y=4-2x=2\)

TH2: \(z=-\frac{4}{3}\Rightarrow x=-\frac{7}{3}\Rightarrow y=\frac{26}{3}\)

b/ Theo Viet đảo, ta có \(x^2\) và \(y^2\) là nghiệm của:

\(t^2-5t+4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x^2=4\\y^2=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\y=\pm1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

c/

\(\left(2x^3+x\right)^2=9\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^3+x=3\\2x^3+x=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^3+x-3=0\\2x^3+x+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2x^2+2x+3\right)=0\\\left(x+1\right)\left(2x^2-2x+3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)