Ko cần, với m khác 0 thì hàm ko có TCX sẽ đồng thời ko có TCĐ luôn (nó bị suy biến thành hàm y=ax+b)

Với lại mình thua đây, đang bệnh não đặc luôn ko tư duy được :D

\(m=0\) thì ĐTHS có TCĐ và ko có TCX, khi đó nó suy biến thành hàm bậc nhất / bậc nhất.

Đặt \(P\left(x\right)=x^3-ax^2+5x-14\)

\(P\left(x\right)⋮\left(x-2\right)\Rightarrow P\left(2\right)=0\)

\(\Rightarrow8-4a+10-14=0\)

\(\Rightarrow a=1\)

\(sinx=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\pi< -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi< \dfrac{5\pi}{2}\Rightarrow\dfrac{3}{4}< k< \dfrac{3}{2}\Rightarrow k=1\)

Có 1 nghiệm

\(\dfrac{1}{y\left(x-y\right)}-\dfrac{1}{x\left(x-y\right)}=\dfrac{x}{xy\left(x-y\right)}-\dfrac{y}{xy\left(x-y\right)}=\dfrac{x-y}{xy\left(x-y\right)}=\dfrac{1}{xy}\)

3.

Cái chữ n ở câu này khó chịu quá, chỉnh nó thành \(p=\dfrac{\left[a,b\right]}{a+1}+\dfrac{\left[a,b\right]}{b+1}\) cho dễ nhìn

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=dn\\b=dm\end{matrix}\right.\) với \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow p=\dfrac{dmn}{dm+1}+\dfrac{dmn}{dn+1}\)

\(\Rightarrow p\left(dm+1\right)\left(dn+1\right)=dmn\left(dm+dn+2\right)\)

Do \(\left(dm+1;d\right)=\left(dn+1;d\right)=1\)

\(\Rightarrow p⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=p\end{matrix}\right.\)

- TH1: Nếu \(d=p\Rightarrow\left(dm+1\right)\left(dn+1\right)=mn\left(dm+dn+2\right)\) (1)

Do \(\left(dm+1;m\right)=\left(dn+1;n\right)=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dm+1⋮n\\dn+1⋮m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dm+1=an\\dn+1=bm\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{a+d}{ab-d^2}\\n=\dfrac{b+d}{ab-d^2}\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\Rightarrow ab=\dfrac{2ab+ad+bd}{ab-d^2}\Rightarrow ab\left(ab-d^2\right)=2ab+ad+bd\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad⋮b\\bd⋮a\end{matrix}\right.\) 

Hiển nhiên, từ \(\left\{{}\begin{matrix}dm+1=an\\dn+1=bm\end{matrix}\right.\) ta có a và b đều ko thể chia hết cho d (vì nếu chia hết suy ra 1 chia hết cho d, vô lý do \(d=p\) là SNT)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮b\\b⋮a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b\Rightarrow m=n\Rightarrow m=n=1\) do \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow p=\dfrac{d}{d+1}+\dfrac{d}{d+1}=\dfrac{2d}{d+1}=\dfrac{2p}{p+1}\Rightarrow p=1\) (loại)

TH2: Nếu \(d=1\)

\(\Rightarrow p\left(m+1\right)\left(n+1\right)=mn\left(m+n+2\right)\) (2)

- Nếu \(m=n\Rightarrow m=n=1\Rightarrow p=1\) ko thỏa mãn

- Nếu \(m\ne n\), ko mất tính tổng quát giả sử \(m>n\)

Từ (2) ta có \(mn\left(m+n+2\right)\) chia hết cho p

+ Nếu \(m+n+2⋮p\Rightarrow\left(m+1\right)\left(n+1\right)⋮m\)

\(\Rightarrow n+1⋮m\Rightarrow n+1\ge m\) 

Mà \(n< m\Rightarrow n+1\le m\Rightarrow n+1=m\)

Tương tự \(\left(m+1\right)\left(n+1\right)⋮n\Rightarrow m+1⋮n\Rightarrow n+2⋮n\Rightarrow2⋮n\)

\(\Rightarrow\left(n;m\right)=\left(1;2\right);\left(2;3\right)\) thay vào (2) ko có p thỏa mãn

+ Nếu \(n⋮p\)

mặt khác \(mn\left(m+n+2\right)=\dfrac{m}{2}\left(2mn+2n^2+4n\right)>\dfrac{m}{2}\left(mm+m+n+1\right)\)

\(\Rightarrow p\left(m+1\right)\left(n+1\right)>\dfrac{m}{2}\left(m+1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow p>\dfrac{m}{2}>\dfrac{n}{2}\)

Do đó \(n=p\Rightarrow\left(n+1\right)\left(m+1\right)=m\left(m+n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1⋮m\Rightarrow n+1=m\Rightarrow m=0\) (ko thỏa mãn)

+ Nếu \(m⋮p\Rightarrow m=p\Rightarrow\left(p+1\right)\left(n+1\right)=n\left(p+n+2\right)\)

\(\Rightarrow p=n^2+n-1\)

\(\Rightarrow4p+5=4\left(n^2+n-1\right)+5=\left(2n+1\right)^2\)

2.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-7=m^2\\2x^5-15=n^2\end{matrix}\right.\) (1) với m;n nguyên

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3=\dfrac{m^2+7}{2}\in Q\\x^5=\dfrac{n^2+15}{2}\in Q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{x^6}{x^5}=\dfrac{\left(x^3\right)^2}{x^5}\in Q\)

Mặt khác:

\(2x^3=m^2+7\Rightarrow\left(2x\right)^3=4\left(m^2+7\right)\) là số nguyên dương chẵn

Mà x là số hữu tỉ \(\Rightarrow2x\) là số nguyên dương chẵn

\(\Rightarrow x\in Z^+\)

Do \(2x^3-7\) lẻ nên m lẻ \(\Rightarrow m=2k+1\)

\(\Rightarrow x^3=2k^2+2k+4\) chẵn nên x nguyên dương chẵn

Khi đó, nhân vế với vế của (1):

\(\left(mn\right)^2=\left(2x^3-7\right)\left(2x^5-15\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(mn\right)^2=4x^8-14x^5-30x^3+105\)

\(\Leftrightarrow\left(2mn\right)^2=16x^8-56x^5-120x^3+420\)

\(\Leftrightarrow\left(2mn\right)^2=\left(4x^4-7x\right)^2-\left(120x^3+49x^2-420\right)\)

Đồng thời:

\(\left(2mn\right)^2=\left(4x^4-7x-1\right)^2+\left(8x^4-120x^3-49x^2-14x+419\right)\)

- Nếu \(x\ge16\Rightarrow120x^3+49x^2-420>0\)

Đồng thời \(8x^4\ge128x^3\ge120x^3+128x^2\)

\(\Rightarrow8x^4-120x^3-49x^2-14x+419\ge79x^2-14x+419>0\)

\(\Rightarrow\left(4x^4-7x-1\right)^2< \left(2mn\right)^2< \left(4x^4-7x\right)^2\)

Nên ko tồn tại m, n thỏa mãn

- Với \(x< 16\), đồng thời x chẵn. Bây giờ chỉ cần lần lượt kiểm tra với \(x=\left\{2;4;6;8;10;12;14\right\}\)

Chỉ có \(x=2\) thỏa mãn

1.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=p=2\\ab+bc+ca=q\le\dfrac{4}{3}\\abc=r\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Schur bậc 4:

\(r\ge\dfrac{\left(4q-p^2\right)\left(p^2-q\right)}{6p}=\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\)

\(\Rightarrow\left(1-r\right)q\le\left(1-\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\right)q\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(1-\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\right)q\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p-1\right)^2\le0\) (đúng do \(p\le\dfrac{4}{3}\))

Dấu "=" xảy ra khi \(p=1\Rightarrow r=0\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị

31.

\(F\left(x\right)=\int4^x.2^{2x+3}=\int8.16^xdx=\dfrac{8.16^x}{ln16}+C=\dfrac{2.16^x}{ln2}+C\)

\(F\left(0\right)=\dfrac{2}{ln2}\Leftrightarrow\dfrac{2}{ln2}+C=\dfrac{2}{ln2}\Leftrightarrow C=0\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\dfrac{2.16^x}{ln2}\)

\(F\left(1\right)=\dfrac{32}{ln2}\Rightarrow A=32\)

32.

Đề họ in nhầm chỗ phương trình \(f\left(1\right)=5\), đúng ra phải là \(f\left(x\right)=5\)

\(f\left(x\right)=\int\left(2x+1\right)dx=x^2+x+C\)

\(f\left(1\right)=5\Rightarrow C=3\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+x+3\)

\(x^2+x+3=5\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(S=log_21+log_22=1\)

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được số tạ gạo là:

\(42\times\dfrac{1}{3}=14\) (tạ)

Số gạo còn lại sau ngày thứ nhất là:

\(42-14=28\) (tạ)

Ngày thứ hai cửa hàng bán được số tạ gạo là:

\(28\times\dfrac{1}{2}=14\) (tạ)

Sau hai ngày cửa hàng còn lại số tạ gạo là:

\(28-14=14\) (tạ)