Cho $a, b \geq 0$ thỏa mãn $a + b + 2ab = 4$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P = a^3 + b^3
$$
---
### Bước 1: Phân tích điều kiện
Điều kiện cho $a,b \geq 0$:
$$
a + b + 2ab = 4
$$
---
### Bước 2: Sử dụng biến mới
Đặt $S = a + b$, $P = ab$ (lưu ý, P ở đây khác biểu thức cần tìm, ta tạm dùng $Q = ab$ để tránh nhầm lẫn).
Điều kiện:
$$
S + 2Q = 4 \implies Q = \frac{4 - S}{2}
$$
---
### Bước 3: Viết $a^3 + b^3$ theo $S, Q$
Ta có công thức:
$$
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = S^3 - 3Q S
$$
Thay $Q = \frac{4 - S}{2}$:
$$
a^3 + b^3 = S^3 - 3 \cdot \frac{4 - S}{2} \cdot S = S^3 - \frac{3S(4 - S)}{2} = S^3 - \frac{12S - 3S^2}{2}
$$
$$
= S^3 - 6S + \frac{3S^2}{2} = S^3 + \frac{3}{2}S^2 - 6S
$$
---
### Bước 4: Xác định miền giá trị của $S$
Vì $a,b \geq 0$, với $a,b$ là nghiệm của phương trình
$$
x^2 - Sx + Q = 0 \implies x^2 - Sx + \frac{4 - S}{2} = 0
$$
Phương trình có nghiệm thực không âm khi:
* $\Delta = S^2 - 4Q \geq 0$
* $a,b \geq 0$
Tính $\Delta$:
$$
\Delta = S^2 - 4 \cdot \frac{4 - S}{2} = S^2 - 2(4 - S) = S^2 - 8 + 2S = S^2 + 2S - 8
$$
Điều kiện $\Delta \geq 0$:
$$
S^2 + 2S - 8 \geq 0 \implies (S+4)(S-2) \geq 0
$$
Vì $a,b \geq 0 \implies S = a + b \geq 0$, nên ta lấy:
$$
S \geq 2
$$
Ngoài ra, $S$ còn phải thỏa điều kiện $Q = \frac{4-S}{2} \geq 0$ (vì $Q = ab \geq 0$):
$$
\frac{4 - S}{2} \geq 0 \implies S \leq 4
$$
---
### Vậy miền $S$ là:
$$
2 \leq S \leq 4
$$
---
### Bước 5: Tìm cực trị của $P(S) = S^3 + \frac{3}{2} S^2 - 6S$ trên đoạn $[2,4]$
Tính đạo hàm:
$$
P'(S) = 3S^2 + 3S - 6 = 3(S^2 + S - 2) = 3(S+2)(S-1)
$$
* $P'(S) = 0$ tại $S = -2$ (loại vì ngoài miền) và $S = 1$ (cũng ngoài miền).
Với $S \in [2,4]$, đạo hàm luôn dương vì:
* $S-1 > 0$
* $S+2 > 0$
Vậy $P(S)$ là hàm đồng biến trên $[2,4]$.
---
### Bước 6: Tính $P$ tại các điểm biên
* Tại $S=2$:
$$
P(2) = 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - 12 = 8 + 6 - 12 = 2
$$
* Tại $S=4$:
$$
P(4) = 4^3 + \frac{3}{2} \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 = 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 - 24 = 64 + 24 - 24 = 64
$$
---
### Bước 7: Kết luận
* Giá trị nhỏ nhất của $a^3 + b^3$ là $2$, đạt khi $S = 2$.
* Giá trị lớn nhất của $a^3 + b^3$ là $64$, đạt khi $S = 4$.
---
### Bước 8: Tìm cặp $(a,b)$ tương ứng
* Với $S=2$, $Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$, phương trình:
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0
$$
Vậy $a = b = 1$.
Giá trị nhỏ nhất $P = 1^3 + 1^3 = 2$.
* Với $S=4$, $Q = \frac{4 - 4}{2} = 0$, phương trình:
$$
x^2 - 4x + 0 = 0 \implies x(x - 4) = 0
$$
Vậy $a=0, b=4$ hoặc ngược lại.
Giá trị lớn nhất $P = 0^3 + 4^3 = 64$.
---
## **Kết quả:**
$$
\boxed{
\begin{cases}
\text{Giá trị nhỏ nhất của } a^3 + b^3 = 2, \text{ khi } a = b = 1 \\
\text{Giá trị lớn nhất của } a^3 + b^3 = 64, \text{ khi } (a,b) = (0,4) \text{ hoặc } (4,0)
\end{cases}
}
$$
\(4=a+b+2ab\ge2\sqrt{ab}+ab\Rightarrow ab+\sqrt{ab}-2\le0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{ab}+2\right)\le0\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}-1\le0\)
\(\Rightarrow ab\le1\)
Lại có a;b ko âm nên \(ab\ge0\Rightarrow0\le ab\le1\)
\(P=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=\left(4-2ab\right)^3-3ab\left(4-2ab\right)\)
Đặt \(ab=x\Rightarrow0\le x\le1\)
\(P=\left(4-2x\right)^3-3x\left(4-2x\right)=-8x^3+54x^2-108x+64\)
\(=64-\frac{x}{8}\left(64x^2-432x+864\right)=64-\frac{x}{8}.\left\lbrack\left(8x-27\right)^2+135\right\rbrack\)
Do \(\left(8x-27\right)^2+135>0;\forall x\Rightarrow\frac{x}{8}\left\lbrack\left(8x-27\right)^2+135\right\rbrack\ge0;\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow P\le64\)
\(P_{max}=64\) khi x=0 \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(0;4\right);\left(4;0\right)\)
Lại có:
\(P=2+\left(-8x^3+54x^2-108x+62\right)=2+2\left(1-x\right)\left(4x^2-23x+31\right)\)
Do \(1-x\ge0;\forall x\le1\)
Đồng thời \(4x^2-23x+31=4x^2+23\left(1-x\right)+8>0;\forall x\le1\)
\(\Rightarrow2\left(1-x\right)\left(4x^2-23x+31\right)\ge0;\forall x\le1\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
\(P_{\min}=2\) khi x=1 =>a=b=1
