Vì N, H, M thẳng hàng nên để chứng minh NM là phân giác góc DNI, chỉ cần chứng minh NH là phân giác góc DNI.

Do H thuộc DI, theo định lí phân giác trong tam giác DNI, chỉ cần chứng minh
ND/NI = DH/HI. (1)

Ta sẽ tính tỉ số DH/HI trước.

Xét tứ giác AEHF nội tiếp. Vì I là giao điểm của AH và EF nên
IA.IH = IE.IF. (2)

Mặt khác:

Ta có
∠AEI = ∠AEF = ∠AHF = ∠IHF,
và
∠AIE = ∠HIF.
Suy ra tam giác AEI đồng dạng tam giác HFI.

Do đó
AI/FI = AE/HF. (3)

Tương tự,
∠AFI = ∠AFE = ∠AHE = ∠IHE,
và
∠AIF = ∠HIE.
Suy ra tam giác AFI đồng dạng tam giác HEI.

Do đó
AI/EI = AF/HE. (4)

Nhân (3) và (4), rồi dùng (2), được
AI²/(FI.EI) = (AE.AF)/(HF.HE)

nên
AI/IH = (AE.AF)/(HF.HE). (5)

Bây giờ ta tính hai tỉ số AE/EH và AF/FH.

Ta có
∠AEB = ∠CEH = 90 độ,
∠ABE = ∠ECH.
Suy ra tam giác ABE đồng dạng tam giác CEH.

Vậy
AE/EH = AB/CH. (6)

Lại có
∠ADB = ∠CDH = 90 độ,
∠ABD = ∠CHD.
Suy ra tam giác ABD đồng dạng tam giác CHD.

Vậy
AB/CH = AD/DC. (7)

Từ (6) và (7),
AE/EH = AD/DC. (8)

Tương tự,
từ tam giác ACF đồng dạng tam giác BFH và tam giác ACD đồng dạng tam giác BHD, ta được
AF/FH = AD/DB. (9)

Thế (8) và (9) vào (5):
AI/IH = (AD/DC).(AD/DB) = AD²/(DB.DC). (10)

Mặt khác, từ tam giác ACD đồng dạng tam giác BHD ta còn có
AD/DC = DB/DH
suy ra
AD.DH = DB.DC. (11)

Từ (10) và (11),
AI/IH = AD/DH. (12)

Đến đây, đặt
DH = h, AD = a, DM = t
với 0 < h < a.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho
D(0,0), A(0,a), H(0,h), M(t,0).

Vì I nằm trên AD nên gọi I = (0,u).
Từ (12):
AI/IH = AD/DH
tức là
(a-u)/(u-h) = a/h.

Giải ra được
u = 2ah/(a+h).

Vậy
I = (0, 2ah/(a+h)).

Đường thẳng HM có phương trình
hx + ty - ht = 0.

N là hình chiếu vuông góc của A lên HM nên
N = ( ht(h-a)/(h²+t²) , h(ah+t²)/(h²+t²) ).

Suy ra
ND² = h²(a²+t²)/(h²+t²),
NI² = h²(a-h)²(a²+t²)/((a+h)²(h²+t²)).

Do đó
ND/NI = (a+h)/(a-h). (13)

Mà
HI = 2ah/(a+h) - h = h(a-h)/(a+h),

nên
DH/HI = h / ( h(a-h)/(a+h) ) = (a+h)/(a-h). (14)

Từ (13) và (14),
ND/NI = DH/HI.

Theo định lí phân giác trong tam giác DNI, suy ra NH là phân giác góc DNI.

Vì N, H, M thẳng hàng nên NM cũng là phân giác góc DNI.

Đpcm.

Muốn giỏi Vật lí hơn thì em nên làm theo mấy điều này:

Ví dụ: không chỉ nhớ v = s/t mà phải hiểu đó là vận tốc trung bình, dùng trong trường hợp nào.

Làm vậy sẽ đỡ rối và ít sai hơn.

Nếu làm bài quá khó ngay từ đầu sẽ dễ nản.

Sửa đúng lỗi thì tiến bộ rất nhanh.

Khi tự giải thích được thì em mới thật sự hiểu.

Cách học rất hiệu quả:

gấp gấp mọi người ơi huhuhu😭😭😭😭

Từ những hậu quả nặng nề mà Chiến tranh thế giới thứ nhất gây ra như hàng triệu người chết và bị thương, nhiều thành phố bị tàn phá, kinh tế suy sụp và đời sống nhân dân vô cùng khổ cực, em rút ra bài học rằng chiến tranh chỉ mang lại đau thương và mất mát cho nhân loại nên mỗi quốc gia và mỗi con người cần phải trân trọng hòa bình. Để chống chiến tranh và bảo vệ hòa bình thế giới hiện nay, cần tăng cường tinh thần đoàn kết giữa các quốc gia, giải quyết các mâu thuẫn bằng con đường đối thoại và hợp tác thay vì dùng vũ lực. Bên cạnh đó, mỗi người cần có ý thức tôn trọng lẫn nhau, sống nhân ái, phản đối bạo lực và các hành động gây xung đột. Là học sinh, em cần học tập tốt, hiểu biết lịch sử để nhận thức rõ giá trị của hòa bình, đồng thời góp phần xây dựng một thế giới hòa bình, ổn định và phát triển.

Câu a.

Đặt hệ tọa độ A(0,0), B(1,0), C(0,1)
D là trung điểm BC nên D(1/2 , 1/2)
G là trọng tâm nên G(1/3 , 1/3)

Gọi E(a,0) thuộc AB , F(0,b) thuộc AC

Vì G nằm trên EF nên
1/3a + 1/3b = 1
suy ra 1/a + 1/b = 3

Đường EF có dạng x/a + y/b = 1

Qua B(1,0) kẻ đường thẳng song song EF
x/a + y/b = 1/a

Giao với AD

AD có phương trình x = y

Thế vào
x/a + x/b = 1/a

x(1/a + 1/b) = 1/a
x.3 = 1/a
x = 1/(3a)

M(1/(3a) , 1/(3a))

MG = √((1/3 − 1/(3a))^2 + (1/3 − 1/(3a))^2)
AG = √((1/3)^2 + (1/3)^2)

MG/AG = (1 − 1/a)

Trên AB

BE = 1 − a
AE = a

BE/AE = (1 − a)/a

Suy ra

BE/AE = MG/AG

Câu b.

BE/AE = (1 − a)/a
CF/AF = (1 − b)/b

BE/AE + CF/AF
= (1 − a)/a + (1 − b)/b
= 1/a − 1 + 1/b − 1
= 1/a + 1/b − 2

mà 1/a + 1/b = 3

nên

BE/AE + CF/AF = 1

Câu c.

E(a,0)

Qua E kẻ đường thẳng song song AC nên đường thẳng x = a

BC có phương trình x + y = 1

Giao điểm

H(a , 1 − a)

BH = √((1 − a)^2 + (0 − (1 − a))^2)
BC = √((1)^2 + (−1)^2)

BH/BC = 1 − a

Mà

BE/AE = (1 − a)/a

suy ra

BH/BC = BE/AB

:))

Câu 1.

Đặt
x = 4sinα , với −π/2 ≤ α ≤ π/2
y = 16sin²β , với 0 ≤ β ≤ π/2

Khi đó

√(16 − y) = 4cosβ
√y = 4sinβ
√(16 − x²) = 4cosα

Biểu thức

x√(16 − y) + √y√(16 − x²)

= 4sinα · 4cosβ + 4sinβ · 4cosα

= 16(sinαcosβ + cosαsinβ)

= 16sin(α + β)

Vì −π/2 ≤ α ≤ π/2 và 0 ≤ β ≤ π/2 nên

sin(α + β) ≤ 1

Suy ra

x√(16 − y) + √y√(16 − x²) ≤ 16

Dấu bằng xảy ra khi

sin(α + β) = 1
⇒ α + β = π/2

⇒ sinα = cosβ

⇒ x = 4sinα , y = 16sin²β = 16cos²α

⇒ x² + y = 16

Vậy dấu bằng xảy ra khi x² + y = 16 với −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 16.

a:

Bổ sung đề: Tìm các giao điểm B,C lần lượt của đồ thị hàm số y=x+3; y=-x+3 với trục Ox

Tọa độ giao điểm A là:

\(\begin{cases}x+3=-x+3\\ y=x+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x=0\\ y=x+3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=0\\ y=0+3=3\end{cases}\)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}y=0\\ x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-3\\ y=0\end{cases}\)

=>B(-3;0)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}y=0\\ -x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ -x=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=3\end{cases}\)

=>C(3;0)