Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp nên: $IM\perp CA$, $IN\perp CB$

=> $IM=IN$ (hai đoạn vuông góc từ tâm nội tiếp đến hai cạnh).

Xét $\triangle IAM$ vuông tại $M$ và $\triangle IBN$ vuông tại $N$.

Ta có: $\angle AIM=\angle BIN$ (vì $IA, IB$ là các đường phân giác)

=> $\triangle IAM\sim\triangle IBN$

Do đó: $\dfrac{IM}{AM}=\dfrac{IN}{BN}$

Mà $IM=IN$ nên: $AM=BN$

=> $AM\cdot BN=IM\cdot IN$

Lại có: $IM=IN\Rightarrow IM\cdot IN=IM^2=IN^2$

Vậy: $AM\cdot BN=IM\cdot IN=IM^2=IN^2$

$\dfrac{IA^2}{CA\cdot AB}+\dfrac{IB^2}{AB\cdot BC}+\dfrac{IC^2}{BC\cdot CA}=1$

Ta có các hệ thức quen thuộc trong tam giác với tâm nội tiếp:
$IA^2=IM^2+AM^2$
$IB^2=IN^2+BN^2$
$IC^2=IM^2$

Chia từng vế cho tích cạnh tương ứng:
$\dfrac{IA^2}{CA\cdot AB}=\dfrac{IM^2}{CA\cdot AB}+\dfrac{AM^2}{CA\cdot AB}$

$\dfrac{IB^2}{AB\cdot BC}=\dfrac{IN^2}{AB\cdot BC}+\dfrac{BN^2}{AB\cdot BC}$

$\dfrac{IC^2}{BC\cdot CA}=\dfrac{IM^2}{BC\cdot CA}$

Cộng ba đẳng thức trên:
$\dfrac{IA^2}{CA\cdot AB}+\dfrac{IB^2}{AB\cdot BC}+\dfrac{IC^2}{BC\cdot CA}$

$=\dfrac{IM^2}{CA\cdot AB}+\dfrac{IN^2}{AB\cdot BC}+\dfrac{IM^2}{BC\cdot CA}+\dfrac{AM^2}{CA\cdot AB}+\dfrac{BN^2}{AB\cdot BC}$

Mà: $IM=IN$, $AM=BN$

=> tổng trên bằng $1$.

Em đăng câu hỏi cùng 1 nội dung 1 lần thôi nhé

Cho $a,b\in\mathbb Z,\ a\ne-1,\ b\ne-1$ và
$\dfrac{(a+1)^2(a-1)+(b+1)^2(b-1)}{(a+1)(b+1)}$ là số nguyên.

Ta có:
$(a+1)^2(a-1)=(a+1)(a^2-1)$
$(b+1)^2(b-1)=(b+1)(b^2-1)$

Suy ra:
$\dfrac{(a+1)(a^2-1)+(b+1)(b^2-1)}{(a+1)(b+1)}$
$=\dfrac{a^2-1}{b+1}+\dfrac{b^2-1}{a+1}$

Biểu thức là số nguyên nên: $a+1\mid b^2-1,\ b+1\mid a^2-1$

Mà:
- $b^2-1=(b-1)(b+1)\Rightarrow a+1\mid b-1$
- $a^2-1=(a-1)(a+1)\Rightarrow b+1\mid a-1$

Suy ra:
- $b\equiv -1\pmod{a+1}$
- $a\equiv -1\pmod{b+1}$

Xét biểu thức: $a^{2023}b^{2024}-a$

Ta có: $a^{2023}b^{2024}-a=a(a^{2022}b^{2024}-1)$

=> $a\mid a^{2023}b^{2024}-a$

Xét theo modulo $a+1$:
$b\equiv -1\pmod{a+1}\Rightarrow b^{2024}\equiv1\pmod{a+1}$
$a\equiv -1\pmod{a+1}$

Do đó: $a^{2023}b^{2024}-a\equiv(-1)^{2023}\cdot1-(-1)\equiv0\pmod{a+1}$

Suy ra:
- $a^{2023}b^{2024}-a\equiv0\pmod{a}$
- $a^{2023}b^{2024}-a\equiv0\pmod{a+1}$

Vì $\gcd(a,a+1)=1$ nên: $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a(a+1)=a^2+a$.

Cho tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k=\dfrac{3}{5}$

Chu vi tam giác $ABC$ là $12\text{ cm}$.

Vì hai tam giác đồng dạng nên tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng:

$\dfrac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{12}{P_{DEF}}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow P_{DEF}=\dfrac{12\cdot 5}{3}$

$\Rightarrow P_{DEF}=20\text{ cm}$

Ta có:
$\dfrac{MN}{KR}=\dfrac{9}{3}=3$

$\dfrac{MP}{KS}=\dfrac{12}{4}=3$

$\dfrac{NP}{RS}=\dfrac{15}{5}=3$

$\Rightarrow \dfrac{MN}{KR}=\dfrac{MP}{KS}=\dfrac{NP}{RS}$

Suy ra $\triangle MNP \sim \triangle KRS$ (theo trường hợp c.c.c).

Do đó các góc tương ứng bằng nhau

=> $\widehat{MNP}=\widehat{KRS}$.

Ta có $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$

Với $\triangle HIK$ vuông tại $H$:
$IK=25,\ HI=15$ (đã cho)

Xét tỉ lệ các cạnh tương ứng:
$\dfrac{AB}{HI}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{AC}{HK}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{BC}{IK}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}$

=> $\dfrac{AB}{HI}=\dfrac{AC}{HK}=\dfrac{BC}{IK}$

$\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle HIK$ (theo trường hợp c.c.c).

Vậy hai tam giác $ABC$ và $HIK$ đồng dạng với nhau.

Cho $AB=8,\ AC=16,\ BD=2,\ CE=13$

Suy ra:
$AD=AB-BD=8-2=6$

$AE=AC-CE=16-13=3$

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=2$

Lại có $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (góc chung)

$\Rightarrow \triangle AED \sim \triangle ABC$ (c.g.c)

$\Rightarrow AD \cdot BC = AC \cdot ED$