Bài 20:

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\hat{HBA}=\hat{HAC}\left(=90^0-\hat{HCA}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\)

=>\(HB\cdot HC=HA^2\)

c: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{DAH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔAHB

=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

Bài 19:

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\)

b: Xét ΔCAD vuông tại C và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{CAD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{BAH}\right)\)

Do đó: ΔCAD~ΔABC

=>\(\frac{CA}{AB}=\frac{CD}{AC}\)

=>\(AC^2=AB\cdot CD\)

Bài 18:

a: Xét ΔBDA vuông tại D và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{DBA}\) chung

Do đó: ΔBDA~ΔBAC

b: Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BC=BA^2\)

=>\(BC=\frac{4^2}{3}=\frac{16}{3}\) ≃5,3(cm)

c: Xét ΔDBA vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\hat{DBA}=\hat{DAC}\left(=90^0-\hat{DAB}\right)\)

Do đó; ΔDBA~ΔDAC

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}\)

=>\(DB\cdot DC=DA^2\)

Hai hoạt động tiêu biểu là

1: Nhân dân Đà Nẵng dưới sự chỉ huy của Nguyễn Tri Phương cầm chân liên quân Pháp - Tây Ban Nha tại bán đảo Sơn Trà trong hơn 5 tháng trời (1858–1859)

2: chiến thắng Cầu Giấy lần 2(1883), khi quân ta đã giết được tướng giặc Rivier

TA có: \(A=\frac{-x^2+2x+2}{x^2-2x+3}\)

\(=\frac{-x^2+2x-3+5}{x^2-2x+3}=-1+\frac{5}{x^2-2x+3}\)

\(=-1+\frac{5}{x^2-2x+1+2}\)

\(=\frac{5}{\left(x-1\right)^2+2}-1\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

=>\(\left(x-1\right)^2+2\ge2\forall x\)

=>\(\frac{5}{\left(x-1\right)^2+2}\le\frac52\forall x\)

=>\(\frac{5}{\left(x-1\right)^2+2}-1\le\frac52-1\forall x\)

=>A<=3/2∀x

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

=>x=1

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

b: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔADC

=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH\cdot AD\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB=AH\cdot AD\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó; ΔAEF~ΔABC

c: ΔEBC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB=OC

OE=OC

=>ΔOEC cân tại O

=>\(\hat{OEC}=\hat{\left.OCE\right.}=\hat{ACB}\)

ΔAEF~ΔABC

=>\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

TA có: \(\hat{AEF}+\hat{OEF}+\hat{OEC}=180^0\)

=>\(\hat{OEF}=180^0-\hat{ABC}-\hat{ACB}=\hat{BAC}\)

Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có

\(\hat{FBC}\) chung

Do đó: ΔBFC~ΔBDA
=>\(\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}\)

Xét ΔBFD và ΔBCA có

\(\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}\)

góc FBD chung

Do đó: ΔBFD~ΔBCA

=>\(\hat{BDF}=\hat{BAC}\)

=>\(\hat{KDF}=\hat{KEO}\)

Xét ΔKDF và ΔKEO có

\(\hat{KDF}=\hat{KEO}\)

góc DKF chung

Do đó: ΔKDF~ΔKEO

=>\(\frac{KD}{KE}=\frac{KF}{KO}\)

=>\(KD\cdot KO=KF\cdot KE\left(1\right)\)

ΔAFE~ΔACB

=>\(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{AFE}=\hat{KFB}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{KFB}=\hat{KCE}\)

Xét ΔKFB và ΔKCE có

\(\hat{KFB}=\hat{KCE}\)

góc FKB chung

Do đó; ΔKFB~ΔKCE

=>\(\frac{KF}{KC}=\frac{KB}{KE}\)

=>\(KF\cdot KE=KB\cdot KC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(KD\cdot KO=KB\cdot KC\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

\(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{BH\cdot BC}+\frac{1}{CH\cdot BC}\)

\(=\frac{1}{BC}\left(\frac{1}{BH}+\frac{1}{CH}\right)=\frac{1}{BC}\cdot\frac{BH+CH}{BH\cdot CH}\)

\(=\frac{1}{BC}\cdot\frac{BC}{AH^2}=\frac{1}{AH^2}\)