a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD⊥AB tại D

Xét (O) cso

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE⊥AC tại E

Xét tứ giác BDEC có \(\hat{BDC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BDEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại K

Xét ΔKBH vuông tại K và ΔKAC vuông tại K có

\(\hat{KBH}=\hat{KAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔKBH~ΔKAC

=>\(\frac{KB}{KA}=\frac{KH}{KC}\)

=>\(KB\cdot KC=KH\cdot KA\)

c: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HDE}=\hat{HAE}\)

=>\(\hat{CDE}=\hat{CAK}\)

mà \(\hat{CAK}=\hat{CBE}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{CDE}=\hat{CBE}\)

Xét tứ giác BDHK có \(\hat{BDH}+\hat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BDHK là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{KDH}=\hat{KBH}\)

=>\(\hat{KDC}=\hat{EBC}\)

=>\(\hat{KDC}=\hat{EDC}\)

=>DC là phân giác của góc EDK

=>\(\hat{EDK}=2\cdot\hat{EDC}=2\cdot\hat{KAC}=2\cdot\hat{EBO}\)

ΔOBE cân tại O

=>\(\hat{BOE}=180^0-2\cdot\hat{OBE}\)

=>\(\hat{EDK}+\hat{EOK}=180^0-2\cdot\hat{EBC}+2\cdot\hat{EBC}=180^0\)

=>DEOK là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD⊥BA

mà CH⊥BA

nên CH//BD

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CA⊥CD

mà BH⊥CA
nên BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BH=CD và BD=CH

ΔACD vuông tại C

=>\(CA^2+CD^2=AD^2\)

=>\(CA^2+BH^2=4R^2\)

b: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

=>H,M,D thẳng hàng

Xét ΔAHD có

M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA

=>MO là đường trung bình của ΔADH

=>AH=2MO

Vô địch có cup để nâng như thầy không ạ 😁