a: \(\sin27^0=cos\left(90^0-27^0\right)=cos63^0\)

b: \(cos34^0=\sin\left(90^0-34^0\right)=\sin56^0\)

c: \(\tan11^0=\cot\left(90^0-11^0\right)=\cot79^0\)

d: \(\cot42=\tan\left(90^0-42^0\right)=\tan48^0\)

e: \(\sin25^030p=cos\left(90^0-25^030p\right)=cos\left(64^030p\right)\)

f: \(cos\left(44^015p\right)=\sin\left(90^0-44^015p\right)=\sin\left(45^045p\right)\)

a, \(\sin27^{\circ}=\cos(90^{\circ}-27^{\circ})=\mathbf{\cos}63\mathbf{^{\circ}}\)

b, \(\cos34^{\circ}=\sin(90^{\circ}-34^{\circ})=\mathbf{\sin}56\mathbf{^{\circ}}\)

c, \(\tan11^{\circ}=\cot(90^{\circ}-11^{\circ})=\mathbf{\cot}79\mathbf{^{\circ}}\)

d, \(\cot42^{\circ}=\tan(90^{\circ}-42^{\circ})=\mathbf{\tan}48\mathbf{^{\circ}}\)

e, \(\sin25^{\circ}30^{\prime}=\cos(90^{\circ}-25^{\circ}30^{\prime})=\mathbf{\cos}64\mathbf{^{\circ}}30\mathbf{^{\prime}}\)

f, \(\cos44^{\circ}15^{\prime}=\sin(90^{\circ}-44^{\circ}15^{\prime})=\mathbf{\sin}45\mathbf{^{\circ}}45\mathbf{^{\prime}}\)

b: \(\sin82^0=cos\left(90^0-82^0\right)=cos8^0\)

\(cos47^0=\sin\left(90^0-47^0\right)=\sin43^0\)

\(\sin48^0=cos\left(90^0-48^0\right)=cos42^0\)

\(cos55^0=\sin\left(90^0-55^0\right)=\sin35^0\)

\(\sin47^020p=cos\left(90^0-47^020p\right)=cos\left(42^040p\right)\)

\(\tan62^0=\cot\left(90^0-62^0\right)=\cot28^0\)

\(\cot82^045p=\tan\left(90^0-82^045p\right)=\tan7^015p\)

a: \(\begin{cases}x-3y=2\\ 2x^2+y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3y+2\\ 2\cdot\left(3y+2\right)^2+y=1\end{cases}\)

\(2\left(3y+2\right)^2+y=1\)

=>\(2\left(9y^2+12y+4\right)+y=1\)

=>\(18y^2+24y+_{}8+y-1=0\)

=>\(18y^2+25y+7=0\)

=>(y+1)(18y+7)=0

=>y=-1 hoặc y=-7/18

Khi y=-1 thì \(x=3y+2=3\cdot\left(-1\right)+2=-3+2=-1\)

Khi y=-7/18 thì \(x=3y+2=3\cdot\frac{-7}{18}+2=-\frac76+2=\frac56\)

b: \(\begin{cases}3x^2+y+xy=-2\\ x-y=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=x-5\\ 3x^2+x-5+x\left(x-5\right)=-2\end{cases}\)

\(3x^2+x-5+x\left(x-5\right)=-2\)

=>\(3x^2+x-5+x^2-5x+2=0\)

=>\(4x^2-4x-3=0\)

=>\(4x^2-6x+2x-3=0\)

=>(2x-3)(2x+1)=0

=>x=3/2 hoặc x=-1/2

Khi x=3/2 thì \(y=x-5=\frac32-5=-\frac72\)

Khi x=-1/2 thì \(y=x-5=-\frac12-5=-\frac{11}{2}\)

c: \(\begin{cases}2x+y=-1\\ x^2-2y^2=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-2x-1\\ x^2-2\left(-2x-1\right)^2=-2\end{cases}\)

\(x^2-2\left(-2x-1\right)^2=-2\)

=>\(x^2-2\left(4x^2+4x+1\right)=-2\)

=>\(x^2-8x^2-8x-2=-2\)

=>\(-7x^2-8x=0\)

=>-x(7x+8)=0

=>x=0 hoặc x=-8/7

Khi x=0 thì \(y=-2x-1=-2\cdot0-1=-1\)

Khi x=-8/7 thì \(y=-2x-1=-2\cdot\frac{-8}{7}-1=\frac{16}{7}-1=\frac97\)

d: \(\begin{cases}x+y=8\\ x^2-y^2+6x+2y=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=8-x\\ x^2-\left(8-x\right)^2+6x+2\left(8-x\right)=0\end{cases}\)

\(x^2-\left(8-x\right)^2+6x+2\left(8-x\right)=0\)

=>\(x_{}^2-x^2+16x-64+6x+16-2x=0\)

=>20x-48=0

=>20x=48

=>x=2,4

y=8-x=8-2,4=5,6

a: \(\begin{cases}x-3y=2\\ 2x^2+y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3y+2\\ 2\cdot\left(3y+2\right)^2+y=1\end{cases}\)

\(2\left(3y+2\right)^2+y=1\)

=>\(2\left(9y^2+12y+4\right)+y=1\)

=>\(18y^2+24y+_{}8+y-1=0\)

=>\(18y^2+25y+7=0\)

=>(y+1)(18y+7)=0

=>y=-1 hoặc y=-7/18

Khi y=-1 thì \(x=3y+2=3\cdot\left(-1\right)+2=-3+2=-1\)

Khi y=-7/18 thì \(x=3y+2=3\cdot\frac{-7}{18}+2=-\frac76+2=\frac56\)

b: \(\begin{cases}3x^2+y+xy=-2\\ x-y=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=x-5\\ 3x^2+x-5+x\left(x-5\right)=-2\end{cases}\)

\(3x^2+x-5+x\left(x-5\right)=-2\)

=>\(3x^2+x-5+x^2-5x+2=0\)

=>\(4x^2-4x-3=0\)

=>\(4x^2-6x+2x-3=0\)

=>(2x-3)(2x+1)=0

=>x=3/2 hoặc x=-1/2

Khi x=3/2 thì \(y=x-5=\frac32-5=-\frac72\)

Khi x=-1/2 thì \(y=x-5=-\frac12-5=-\frac{11}{2}\)

c: \(\begin{cases}2x+y=-1\\ x^2-2y^2=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-2x-1\\ x^2-2\left(-2x-1\right)^2=-2\end{cases}\)

\(x^2-2\left(-2x-1\right)^2=-2\)

=>\(x^2-2\left(4x^2+4x+1\right)=-2\)

=>\(x^2-8x^2-8x-2=-2\)

=>\(-7x^2-8x=0\)

=>-x(7x+8)=0

=>x=0 hoặc x=-8/7

Khi x=0 thì \(y=-2x-1=-2\cdot0-1=-1\)

Khi x=-8/7 thì \(y=-2x-1=-2\cdot\frac{-8}{7}-1=\frac{16}{7}-1=\frac97\)

d: \(\begin{cases}x+y=8\\ x^2-y^2+6x+2y=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=8-x\\ x^2-\left(8-x\right)^2+6x+2\left(8-x\right)=0\end{cases}\)

\(x^2-\left(8-x\right)^2+6x+2\left(8-x\right)=0\)

=>\(x_{}^2-x^2+16x-64+6x+16-2x=0\)

=>20x-48=0

=>20x=48

=>x=2,4

y=8-x=8-2,4=5,6

Bài 4:

a: Xét ΔOAC có OA=OC=AC(=R)

nên ΔOAC đều

=>\(\hat{OAC}=\hat{OCA}=\hat{AOC}=60^0\)

Xét (O) có \(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\hat{ABC}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

b: Xét (O) có

OC là bán kính

MC⊥OC tại C

Do đó: MC là tiếp tuyến tại C của (O)

Bài 5:

a: A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

=>OA⊥BC tại trung điểm của BC

=>AD⊥BC tại I và I là trung điểm của BC

b: xy//BC

AD⊥BC

Do đó: xy⊥AD

Xét (O) có

OA là bán kính

xy⊥OA tại A

Do đó: xy là tiếp tuyến tại A của (O)

a) $\begin{cases} x-3y=2\\2x^2+y=1 \end{cases}$ $\begin{cases} x=3y+2\\2.(3y+2)^2+y=1 \end{cases}$ $\begin{cases} x=3y+2\\18y^2+24y+8+y-1=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=3y+2\\18y^2+25y+7=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=3y+2\\(y+1)(18y+7)=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=3y+2\\\left[\begin{matrix} y=-1\\y=\dfrac{-7}{18} \end{matrix}\right. \end{cases}$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=-1\\y=-1 \end{cases}\\\begin{cases} x=\dfrac{5}{6}\\y=\dfrac{-7}{18} \end{cases} \end{matrix}\right.$

b)

$\begin{cases} 3x^2+y+xy=-2\\x-y=5 \end{cases}$ $\begin{cases} y=x-5\\3x^2+(x-5)+x(x-5)=-2 \end{cases}$ $\begin{cases} y=x-5\\3x^2+x-5+x^2-5x+2=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=x-5\\4x^2-4x-3=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=x-5\\(2x-3)(2x+1)=0 \end{cases}$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3}{2}-5 \end{cases}\\\begin{cases} x=\dfrac{-1}{2}\\y=\dfrac{-1}{2}-5 \end{cases} \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{-7}{2} \end{cases}\\\begin{cases} x=\dfrac{-1}{2}\\y=\dfrac{-11}{2} \end{cases} \end{matrix}\right.$

c)

$\begin{cases} 2x+y=-1\\x^2-2y^2=-2 \end{cases}$ $\begin{cases} y=-2x-1\\x^2-2(-2x-1)^2=-2 \end{cases}$ $\begin{cases} y=-2x-1\\x^2-8x^2-8x-2+2=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=-2x-1\\-7x^2-8x=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=-2x-1\\-x(7x+8)=0 \end{cases}$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=0\\y=-2.0-1 \end{cases}\\\begin{cases} x=\dfrac{-8}{7}\\y=-2.(\dfrac{-8}{7})-1 \end{cases} \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=0\\y=-1 \end{cases}\\\begin{cases} x=\dfrac{-8}{7}\\y=\dfrac{9}{7} \end{cases} \end{matrix}\right.$

d)

$\begin{cases} x+y=8\\x^2-y^2+6x+2y=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=8-x\\x^2-(8-x)^2+6x+2(8-x)=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=8-x\\x^2-64+16x-x^2+6x+16-2x=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=8-x\\20x-48=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{12}{5}\\y=8-\dfrac{12}{5} \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{12}{5}\\y=\dfrac{28}{5} \end{cases}$

e)

$\begin{cases} x^2-3xy+y^2+2x+3y-6=0\\2x-y=3 \end{cases}$ $\begin{cases} y=2x-3\\x^2-3x(2x-3)+(2x-3)^2+2x+3(2x-3)-6=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=2x-3\\x^2-6x^2+9x+4x^2-12x+9+2x+6x-9-6=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=2x-3\\-x^2 +5x-6=0 \end{cases}$ $\begin{cases} y=2x-3\\(x-2)(x-3)=0 \end{cases}$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=2\\y=2.2-3 \end{cases}\\\begin{cases} x=3\\y=2.3-3 \end{cases} \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}\\\begin{cases} x=3\\y=3 \end{cases} \end{matrix}\right.$

f)

$\begin{cases} 3x^2-y^2+2y=4\\2x+3y=5 \end{cases}$ $\begin{cases} 2x=5-3y\\3x^2-y^2+2y=4 \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{5-3y}{2}\\3 . \dfrac{25-30y+9y^2}{4}-y^2+2y=4 \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{5-3y}{2}\\75-90y+27y^2-4y^2+8y-16=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{5-3y}{2}\\23y^2-82y+59=0 \end{cases}$ $\begin{cases} x=\dfrac{5-3y}{2}\\(y-1)(23y-59)=0 \end{cases}$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} y=1\\x=\dfrac{5-3.1}{2} \end{cases}\\\begin{cases} y=\dfrac{59}{23}\\x=\dfrac{5-3 . \dfrac{59}{23}}{2} \end{cases} \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x=1\\y=1 \end{cases}\\\begin{cases} x=-\dfrac{31}{23}\\y=\dfrac{59}{23} \end{cases} \end{matrix}\right.$

\(a.\begin{cases}x-3y=2\\ 2x^2+y=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3y+2\\ 2(3y+2)^2+y=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3y+2\\ 18y^2+25y+7=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3y+2\\ \left[\begin{array}{l}y=-1\\ y=-\dfrac{7}{18}\end{array}\right.\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x = \dfrac{5}{6} \\ y = -\dfrac{7}{18} \end{cases} \end{array} \right.\)

vậy \((x; y) \in \left\{(-1; -1), \left(\dfrac{5}{6}; -\dfrac{7}{18}\right)\right\}\)

\(b.\begin{cases}3x^2+y+xy=-2\\ x-y=5\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x-5\\ 3x^2+(x-5)+x(x-5)=-2\end{cases}\)

\(b.\begin{cases}3x^2+y+xy=-2\\ x-y=5\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = x - 5 \\ 3x^2 + (x - 5) + x(x - 5) = -2 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = x - 5 \\ 4x^2 - 4x - 3 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = x - 5 \\ \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{3}{2} \\ x = -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = \dfrac{3}{2} \\ y = -\dfrac{7}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} x = -\dfrac{1}{2} \\ y = -\dfrac{11}{2} \end{cases} \end{array} \right.\)

vậy \((x; y) \in \left\{\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{7}{2}\right), \left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{11}{2}\right)\right\}\)

\(c.\begin{cases}2x+y=-1\\ x^2-2y^2=-2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = -2x - 1 \\ x^2 - 2(-2x - 1)^2 = -2 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = -2x - 1 \\ -7x^2 - 8x = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = -2x - 1 \\ \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = -\dfrac{8}{7} \end{array} \right. \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 0 \\ y = -1 \end{cases} \\ \begin{cases} x = -\dfrac{8}{7} \\ y = \dfrac{9}{7} \end{cases} \end{array} \right.\)

vậy \((x; y) \in \left\{(0; -1), \left(-\dfrac{8}{7}; \dfrac{9}{7}\right)\right\}\)

\(d.\begin{cases}x+y=8\\ x^2-y^2+6x+2y=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = 8 - x \\ x^2 - (8 - x)^2 + 6x + 2(8 - x) = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=8-x\\ 20x-48=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{12}{5}\\ y=\dfrac{28}{5}\end{cases}\)

vậy \((x; y) = \left(\dfrac{12}{5}; \dfrac{28}{5}\right)\)

\(e.\begin{cases}x^2-3xy+y^2+2x+3y-6=0\\ 2x-y=3\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = 2x - 3 \\ x^2 - 3x(2x - 3) + (2x - 3)^2 + 2x + 3(2x - 3) - 6 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = 2x - 3 \\ -x^2 + 5x - 6 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y = 2x - 3 \\ \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = 2 \end{array} \right. \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases} \\ \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \end{array} \right.\)

vậy \((x; y) \in \{(3; 3), (2; 1)\}\)

\(f.\begin{cases}3x^2-y^2+2y=4\\ 2x+3y=5\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{5 - 3y}{2} \\ 3\left(\dfrac{5 - 3y}{2}\right)^2 - y^2 + 2y - 4 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{5 - 3y}{2} \\ 23y^2 - 82y + 59 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{5 - 3y}{2} \\ \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ y = \dfrac{59}{23} \end{array} \right. \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x = -\dfrac{31}{23} \\ y = \dfrac{59}{23} \end{cases} \end{array} \right.\)

vậy \((x; y) \in \left\{(1; 1), \left(-\dfrac{31}{23}; \dfrac{59}{23}\right)\right\}\)

Gọi số lớn và số bé lần lượt là x,y

Tổng của hai số là 118 nên x+y=118

Lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 10, dư là 8

=>x=10y+8

Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x=10y+8\\ x+y=118\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=10y+8\\ 10y+8+y=118\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}11y=110\\ x+y=118\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=10\\ x=118-10=108\end{cases}\)

Vậy: Số lớn là 108; số bé là 10

Gọi $x$ là số lớn, $y$ là số nhỏ \(\left(x,y\in\mathbb{N};y>8\right)\)

Tổng của hai số là $118$ nên \(x+y=118\left(1\right)\)

Số lớn chia số nhỏ được thương là $10$ và số dư là $8$ nên: \(x=10y+8\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta có:

$\begin{cases} x+y=118\\x=10y+8 \end{cases}$

$\begin{cases} 10y+8+y=118\\x=10y+8 \end{cases}$

$\begin{cases} 11y=110\\x=10y+8 \end{cases}$

$\begin{cases} y=10\\x=100+8 \end{cases}$

$\begin{cases} y=10\\x=108 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là $108$ và $10$.

Gọi số học sinh của hai lớp 8A và 8B lần lượt là x(bạn) và y(bạn)

(Điều kiện: x∈N*)

Hai lớp có 80 bạn nên x+y=80(2)

Số quyển sách lớp 8A góp được là 2x(quyển)

Số quyển sách lớp 8B góp được là 3y(quyển)

Hai lớp góp được 198 quyển nên 2x+3y=198(1)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}2x+3y=198\\ x+y=80\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+3y=198\\ 2x+2y=160\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+3y-2x-2y=198-160\\ x+y=80\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=38\\ x=80-38=42\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số học sinh của hai lớp 8A và 8B lần lượt là 42(bạn) và 38(bạn)

Gọi $x$ là số học sinh lớp $8A$, $y$ là số học sinh lớp $8B$ \(\left(x,y\in\mathbb{N}*\right)\)

Hai lớp có tổng $80$ học sinh nên: $x+y=80(1)$

Mỗi em lớp $8A$ góp $2$ quyển, mỗi em lớp $8B$ góp $3$ quyển, cả hai lớp góp tổng $198$ quyển nên: $2x+3y=198(2)$

Từ (1) và (2), ta có:

$\begin{cases} x+y=80\\2x+3y=198 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x+2y=160\\2x+3y=198 \end{cases}$

$\begin{cases} y=38\\x=80-y \end{cases}$

$\begin{cases} y=38\\x=42 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy lớp $8A$ có $42$ học sinh, lớp $8B$ có $38$ học sinh.

Gọi $x$ là vận tốc của ô tô, $y$ là vận tốc của xe máy $(x>y>0; km/h)$

Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $10 km/h$ nên: $x-y=10(1)$

Tổng quãng đường hai xe đi được sau $2$ giờ đi ngược chiều và gặp nhau: $2x+2y=180$ hay $x+y=90(2)$

Từ (1) và (2), ta có:

$\begin{cases} x-y=10\\x+y=90 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x=100\\y=90-x \end{cases}$

$\begin{cases} x=50\\y=40 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là $50km/h$, xe máy là $40km/h$.

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x(km/h) và y(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Độ dài quãng đường ô tô đi được cho đến lúc gặp xe máy là 2x(km)

Độ dài quãng đường xe máy đi được cho đến lúc gặp ô tô là 2y(km)

Độ dài quãng đường AB là 180km nên 2x+2y=180

=>x+y=90(2)

Vận tốc của ô tô lớn hơn xe máy là 10km/h

=>x-y=10(1)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=90\\ x-y=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{90+10}{2}=50\\ y=x-10=50-10=40\end{cases}\) (nhận)

Vậy: vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là 50(km/h) và 40(km/h)

Gọi vận tốc của ô tô là \(x\) (km/h)\((x>10)\)

Gọi vận tốc của xe máy là \(y\) (km/h) \(\left(y>0\right)\)

Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau \(2\) giờ trên quãng đường \(180\) km, tổng quãng đường hai xe đi được trong \(2\) giờ bằng \(180\) km:

\(2x + 2y = 180 \quad \Leftrightarrow \quad x + y = 90 \quad (1)\)

Vì vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là \(10\) km/h, ta có phương trình:

\(x - y = 10 \quad (2)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} x + y = 90 \\ x - y = 10 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình vế theo vế:

\(2x = 100 \implies x = 50\)

Thay \(x=50\) vào phương trình \(x+y=90\) :

\(50 + y = 90 \implies y = 40\)

Cả hai giá trị \(x=50\) và \(y=40\) đều thỏa mãn điều kiện đề bài.

Gọi $x$ là số học sinh lớp $9A$, $y$ là số học sinh lớp $9B$ \(\left(x,y\in\mathbb{N}*\right)\)

Tổng số học sinh của hai lớp là $82$ nên: \(x+y=82\left(1\right)\)

Mỗi học sinh lớp $9A$ trồng được $3$ cây, mỗi học sinh lớp $9B$ trồng được $4$ cây, tổng số cây hai lớp trồng là $288$ cây nên: \(3x+4y=288\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta có:

$\begin{cases} x+y=82\\3x+4y=288 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x+3y=246\\3x+4y=288 \end{cases}$

$\begin{cases} y=42\\x=82-y \end{cases}$

$\begin{cases} y=42\\x=40 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy lớp $9A$ có $40$ học sinh, $9B$ có $42$ học sinh.

Gọi x là số học sinh lớp 9A, gọi y là số học sinh của lớp 9B

Tổng số học sinh của hai lớp là 82 nên x+y=82(1)

Tổng số cây trồng được 288 cây nên ta có phương trình: 3x+4y=288(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}3x+4y=288\\ x+y=82\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x+4y=288\\ 3x+3y=246\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3x+4y-3x-3y=288-246\\ x+y=82\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=42\\ x=82-42=40\end{cases}\) (nhận)

Vậy: Lớp 9A có 40 bạn, lớp 9B có 42 bạn

Điều kiện là x>0; y>0)

Chu vi hình chữ nhật là 46m nên 2(x+y)=46

Nửa chu vi là x+y=46/2=23

Hiệu của chiều dài và chiều rộng là 15m

=>x-y=15

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=23\\ x-y=15\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{23+15}{2}=\frac{38}{2}=19\\ y=x-15=19-15=4\end{cases}\)

=>Chiều dài là 19m; chiều rộng là 4m