Chứng minh A,I,E thẳng hàng:
Đặt O(0;0), bán kính R = 1, A(-1;0), B(1;0), nửa đường tròn có phương trình x^2 + y^2 = 1.
Gọi C(a;b) thuộc nửa đường tròn, b > 0, nên a^2 + b^2 = 1.
Tiếp tuyến tại C có phương trình ax + by = 1.
Vì E thuộc tiếp tuyến tại C và thuộc By nên E có hoành độ 1.
Thay x = 1 vào ax + by = 1, ta được:
a + byE = 1
yE = (1 - a)/b
Suy ra E(1;(1 - a)/b).
Vì CH vuông góc AB nên H(a;0).
Theo phần trước đã chứng minh I là trung điểm CH nên:
I(a;b/2).
Ta xét đường thẳng AE:
Hệ số góc AE = [(1 - a)/b - 0]/[1 - (-1)] = (1 - a)/(2b).
Hệ số góc AI = [b/2 - 0]/[a - (-1)] = b/[2(a + 1)].
Vì a^2 + b^2 = 1 nên b^2 = 1 - a^2 = (1 - a)(1 + a).
Do đó:
b/[2(a + 1)] = (1 - a)/(2b).
Suy ra hệ số góc AI = hệ số góc AE.
Vậy A,I,E thẳng hàng.

Gọi $S=\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)(a-d)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)(b-d)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)(c-d)}+\dfrac{d^3}{(d-a)(d-b)(d-c)}$.

Xét đa thức: $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$.

Khi đó:

$P'(a)=(a-b)(a-c)(a-d)$,

$P'(b)=(b-a)(b-c)(b-d)$,

$P'(c)=(c-a)(c-b)(c-d)$,

$P'(d)=(d-a)(d-b)(d-c)$.

Do đó: $S=\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}$.

Theo công thức nội suy Lagrange, với mọi đa thức $f(x)$ có bậc nhỏ hơn $4$ thì hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng:

$\displaystyle \sum \frac{f(a_i)}{P'(a_i)}$.

Chọn $f(x)=x^3$.

Hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng $1$.

Suy ra: $\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}=1$.

Vậy: $S=1$.

\(\begin{cases}\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-1}=10\\ \frac{1}{x-1}-\frac{3}{y-1}=10\end{cases}\)

Đặt `1/(x-1) =a`

`1/(y-1)=b`

`=>`\(\begin{cases}5a+b=10\left(1\right)\\ a-3b=10\left(2\right)\end{cases}\)

Từ `(2)` ta có : `a= 10+3b(3)`

Thay vào `(1)` ta đc :

`5(10 +3b) + b= 10`

`=> 50 + 15b +b =10`

`=> 16b = -40`

`=> b = -5/2`

Thay `b = -5/2` và `(3)` ta có :

`a = 10 +3*(-5/2) = 5/2`

Từ `a= 5/2 => 1/(x-1) = 5/2`

`=> 5x-5 = 2`

`=> 5x = 7`

`=> x=7/5`

Từ `b = -5/2 => 1/(y-1) = -5/2`

`=> -5y + 5 = 2`

`=> -5y = -3`

`=> y = 3/5`

Bài 2:

Xét tứ giác BHCF có

M là trung điểm chung của BC và HF

=>BHCF là hình bình hành

=>BH//CF và BF//CH

BH//CF

BH⊥AC

Do đó: CF⊥CA

=>C nằm trên đường tròn đường kính AF(1)

BF//CH

CH⊥AB

Do đó: BF⊥BA

=>B nằm trên đường tròn đường kính AF(2)

Từ (1),(2) suy ra A,B,F,C cùng thuộc đường tròn đường kính AF

=>AF là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔAGF nội tiếp

AF là đường kính

Do đó; ΔAGF vuông tại F

=>AG⊥GF tại G

=>AG⊥GH tại G

Ta có; \(\hat{AGH}=\hat{AEH}=\hat{ADH}=90^0\)

=>A,G,E,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Bạn nào có thể giải thích được không?

Đáp án: Hoa cẩm tú cầu có khả năng thay đổi màu sắc tùy theo độ pH của đất do khả năng hấp thụ ion nhôm (Al³⁺) khác nhau.

- Đất chua (pH < 6): Cây hấp thụ nhiều ion nhôm hơn, hoa thường có màu xanh lam hoặc xanh tím

- Đất trung tính (pH khoảng 6–7): Hoa thường có màu tím.

- Đất kiềm (pH > 7): Ion nhôm khó hòa tan và khó được cây hấp thụ, hoa thường có màu hồng hoặc đỏ hồng.

=> Kết luận: Độ pH của đất ảnh hưởng đến khả năng hấp thụ ion nhôm của cây, từ đó làm thay đổi sắc tố trong cánh hoa và tạo nên các màu sắc khác nhau của hoa cẩm tú cầu.

Theo đề bài \(x+y+z=3\)

\(\rArr3x+yz=x\left(x+y+z\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự \(3y+zx=\left(y+z\right)\left(x+y\right);3z+xy=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào P và dùng bất đẳng thức AM-GM ta được :

\(P\ge\frac{2}{\sqrt3}.3\sqrt[3]{\sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}.\left(\frac{y}{z}.\frac{z}{x}.\frac{x}{y}\frac{}{}\right)^{\frac14}}=2\sqrt3\)

Dấu "=" xảy ra khi : \(x=y=z=1\)

\(\rArr P\ge3\sqrt2\)

Vi \(3\sqrt2>2\sqrt3\) nên theo nguyên lý tính đối xứng ta lấy \(x=y=z=1\)

Vậy \(P\left(\min\right)=3\sqrt2\)

1: Hiện tại có 151 quốc gia giáp biển trên thế giới

2: Quốc gia hạnh phúc nhất là Phần Lan

3: Có 2 quốc gia có dân số trên 500 triệu người là Ấn Độ và Trung Quốc

4: Quốc gia được xem là "non trẻ" nhất hiện nay là Nam Sudan, khi quốc gia này mới chỉ có tuổi đời khoảng 15 năm tuổi

Hiện tại, dân số Mỹ khoảng 348,8 triệu người (đứng thứ ba thế giới) và dân số Canada là 40,4 triệu người.

Mật độ dân số Canada rất thấp. chỉ khoảng 4 người/km\(^2\). Đó là một trong những quốc gia có dân cư thưa thớt nhất thế giới. Dân số phân bố cực ký không đều, tập trung đông đúc ở các đô thị phía Nam, trong khi phần lớn diện tích phía Bắc gần như không có người ở,