Đặt \(a=\sqrt{x^2+2}\) (Điều kiện: \(a\ge\sqrt2\) )

=>\(x^2+2=a^2\)

=>\(x^2=a^2-2\)

Phương trình sẽ trở thành: \(a^2-2+\left(3-a\right)\cdot x=1+2a\)

=>\(a^2-2+3x-a\cdot x-2a-1=0\)

=>\(a^2-a\left(x+2\right)+3x-3=0\) (1)

\(\Delta=\left(x+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(3x-3\right)\)

\(=x^2+4x+4-12x+12=x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}a=\frac{x+2-\left(x-4\right)}{2\cdot1}=\frac{x+2-x+4}{2}=\frac62=3\\ a=\frac{x+2+\left(x-4\right)}{2}=\frac{2x-2}{2}=x-1\end{array}\right.\)

TH1: a=x-1

=>\(x^2+2=\left(x-1\right)^2\) và x>=1

=>\(x^2+2=x^2-2x+1\) và x>=1

=>2=-2x+1 và x>=1

=>2x=-1 và x>=1

=>x=-1/2 và x>=1

=>x∈∅

TH2: a=3

=>\(x^2+2=3^2=9\)

=>\(x^2=7\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt7\left(nhận\right)\\ x=-\sqrt7\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Câu 5: x+4 là ước của 19

=>x+4∈Ư(19)

=>x+4∈{1;-1;19;-19}

=>x∈{-3;-5;15;-23}

Câu 4:

a: \(P=x^2+2x+10\)

\(=x^2+2x+1+9=\left(x+1\right)^2+9\ge9\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+1=0

=>x=-1

b: \(M=-x^2-4x+1\)

\(=-x^2-4x-4+5\)

\(=-\left(x+2\right)^2+5\le5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+2=0

=>x=-2

1: ΔOBA vuông tại B

mà BI là đường trung tuyến

nên IB=IO=IA

Xét ΔIOB có \(\hat{AIB}\) là góc ngoài tại đỉnh I

nên \(\hat{AIB}=\hat{IOB}+\hat{IBO}=2\cdot\hat{IOB}\)

ΔOCA vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên IC=IO=IA

Xét ΔICO có \(\hat{CIA}\) là góc ngoài tại đỉnh I

nên \(\hat{CIA}=\hat{ICO}+\hat{IOC}=2\cdot\hat{IOC}\)

\(\hat{BIC}=\hat{BIA}+\hat{CIA}\)

\(=2\left(\hat{IOC}+\hat{IOB}\right)=2\cdot\hat{COB}=90^0\)

IB=IA

IC=IA

Do đó: IB=IC

Xét ΔBIC có IB=IC và \(\hat{BIC}=90^0\)

nên ΔIBC vuông cân tại I

3: Ta có; \(\hat{BOA}+\hat{COA}=\hat{BOC}\)

=>\(\hat{COA}=45^0-30^0=15^0\)

Xét ΔCOA vuông tại C có sin COA=\(\frac{CA}{AO}\)

=>\(\frac{CA}{2R}=\sin15=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)

=>\(CA=\frac{R\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{2}\)

Xét ΔCOA vuông tại C có cos COA=\(\frac{OC}{OA}\)

=>\(\frac{OC}{2R}=cos15=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

=>\(OC=\frac{R\left(\sqrt6+\sqrt2\right)}{2}\)

Xét ΔOBA vuông tại B có sin BOA=\(\frac{AB}{AO}\)

=>\(\frac{AB}{2R}=\sin30=\frac12\)

=>AB=R

ΔOBA vuông tại B

=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)

=>\(OB^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(OB=R\sqrt3\)

Chu vi tứ giác OCAB là:

OC+CA+AB+OB

\(=\frac{R\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{2}+\frac{R\left(\sqrt6+\sqrt2\right)}{2}+R\sqrt3+R=\frac{R\left(\sqrt6-\sqrt2+\sqrt6+\sqrt2\right)}{2}+R\left(\sqrt3+1\right)\)

\(=R\left(\sqrt6+\sqrt3+1\right)\)

a: \(f_1\left(-x\right)=2\cdot\left(-x\right)=-2x=-f_1\left(x\right)\)

\(f_2\left(-x\right)=3\cdot\left(-x\right)^2+2=3x^2+2=f_2\left(x\right)\)

\(f_3\left(-x\right)=\left(-x\right)^4+\left(-x\right)^2-1=x^4+x^2-1=f_3\left(x\right)\)

=>Các hàm số có tính chất f(x)=f(-x) là f2,f3

b: Vì \(f_1\left(-x\right)=-f_1\left(x\right)\)

nên hàm số f1(x) là hàm số có tính chất f(x)=-f(x)

Bài 29:

a: Ta có: \(\hat{xAB}+\hat{ABy}=60^0+120^0=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên Ax//By

mà By//Cz

nên Ax//Cz

b: Ta có: By//Cz

=>\(\hat{yBC}=\hat{BCz}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{yBC}=150^0\)

Ta có: \(\hat{yBC}+\hat{yBA}+\hat{ABC}=360^0\)

=>\(\hat{ABC}=360^0-150^0-120^0=90^0\)

=>BA⊥BC

a: \(\frac12\cdot2^{n}+4\cdot2^{n}=9\cdot5^{n}\)

=>\(\frac92\cdot2^{n}=9\cdot5^{n}\)

=>\(\left(\frac25\right)^{n}=9:\frac92=2\)

=>\(n=\log_{0,4}2\)

b: \(2^{n}\left(\frac12+4\right)=9\cdot5^{n}\)

=>\(2^{n}\cdot\frac92=9\cdot5^{n}\)

=>\(\left(\frac25\right)^{n}=9:\frac92=2\)

=>\(n=\log_{0.4}2\)

c: \(2^{n-1}\cdot9=9\cdot5^{n}\)

=>\(2^{n}\cdot\frac92=9\cdot5^{n}\)

=>\(\left(\frac25\right)^{n}=9:\frac92=2\)

=>\(n=\log_{0.4}2\)

10: \(y=x^3+2\left(m-1\right)x^2+\left(m^2-4m+1\right)x-2\left(m^2+1\right)\)

=>y'=\(3x^2+2\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m^2-4m+1\right)\)

=>y'=\(3x^2+\left(4m-4\right)x+m^2-4m+1\)

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

=>\(\left(4m-4\right)^2-4\cdot3\cdot\left(m^2-4m+1\right)>0\)

=>\(16m^2-32m+16-12m^2+48m-12>0\)

=>\(4m^2+16m+4>0\)

=>\(m^2+4m+1>0\)

=>\(m^2+4m+4>3\)

=>\(\left(m+2\right)^2>3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m+2>\sqrt3\\ m+2<-\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m>\sqrt3-2\\ m<-\sqrt3-2\end{array}\right.\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-4m+4}{3}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-4m+1}{3}\end{cases}\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac12\left(x_1+x_2\right)\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}-\frac12\left(x_1+x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)\left(\frac{1}{x_1x_2}-\frac12\right)=0\)

TH1: x1+x2=0

=>-4m+4=0

=>-4m=-4

=>m=1(nhận)

TH2: \(\frac{1}{x_1x_2}-\frac12=0\)

=>\(x_1x_2=2\)

=>\(\frac{m^2-4m+1}{3}=2\)

=>\(m^2-4m+1=6\)

=>\(m^2-4m-5=0\)

=>(m-5)(m+1)=0

=>m=5(nhận) hoặc m=-1(loại)

Bài 15: Gọi số dụng cụ tổ I phải sản xuất theo kế hoạch là x(dụng cụ)

(Điều kiện: x∈N*)

Số dụng cụ tổ II phải sản xuất theo kế hoạch là 110-x(dụng cụ)

Số dụng cụ tổ I thực tế làm được là: \(x\left(1+14\%\right)=1,14x\) (dụng cụ)

Số dụng cụ tổ II thực tế làm được là: \(\left(110-x\right)\left(1+12\%\right)=1,12\left(110-x\right)=123,2-1,12x\) (dụng cụ)

Tổng số dụng cụ hai tổ làm được là 123 dụng cụ

=>1,14x+123,2-1,12x=123

=>123,2-0,02x=123

=>0,02x=0,2

=>x=10(nhận)

Vậy: số dụng cụ tổ I phải sản xuất theo kế hoạch là 10(dụng cụ)

số dụng cụ tổ II phải sản xuất theo kế hoạch là 110-10=100(dụng cụ)

Bài 16:

a: ĐKXĐ: x∉{0;-1;2}

\(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\)

\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+6x-3\cdot3x\cdot\left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+3x+2+6x-9x\left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}=\frac{x^2+9x+2-9x^2-9x}{3x\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{-8x^2+2}{3x\left(x+1\right)}=\frac{-2\left(4x^2-1\right)}{3x\left(x+1\right)}=\frac{-2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}\)

Ta có: \(A=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x+1-x^2}{3x}\)

\(=\frac{-2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}\cdot\frac{x+1}{-2\left(2x-1\right)}+\frac{x^2-3x-1}{3x}\)

\(=\frac{2x+1}{3x}+\frac{x^2-3x-1}{3x}=\frac{x^2-3x-1+2x+1}{3x}=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x-1}{3}\)

b: \(\left|x\right|=\frac13\)

=>x=1/3(nhận) hoặc x=-1/3(nhận)

Khi x=1/3 thì \(A=\left(\frac13-1\right):3=-\frac23:3=-\frac29\)

Khi x=-1/3 thì \(A=\left(-\frac13-1\right):3=-\frac43:3=-\frac49\)

c: A<0

=>\(\frac{x-1}{3}<0\)

=>x-1<0

=>x<1

Kết hợp ĐKXĐ, ta có: x<1 và x∉{0;-1}

b: \(\frac{\sqrt2+\sqrt3+2}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6+\sqrt8+4}\)

\(=\frac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4+\sqrt4+\sqrt6+\sqrt8}\)

\(=\frac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4}{\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4\right)\left(1+\sqrt2\right)}\)

\(=\frac{1}{\sqrt2+1}=\sqrt2-1\)

Bài 2: -25<-13<-7<9<10<14<20<30<42

=>\(-\frac{25}{19}<-\frac{13}{19}<-\frac{7}{19}<\frac{9}{19}<\frac{10}{19}<\frac{14}{19}<\frac{20}{19}<\frac{30}{19}<\frac{42}{19}\)

Bài 1:

a: 200<314

=>\(\frac{17}{200}>\frac{17}{314}\)

b: \(\frac{11}{54}=\frac{11\times2}{54\times2}=\frac{22}{108}<\frac{22}{37}\)