a: Xét tứ giác MKFH có \(\hat{MKF}+\hat{MHF}=90^0+90^0=180^0\)

nên MKFH là tứ giác nội tiếp

Tích của hai đường chéo là: \(100\times2=200\left(dm^2\right)\)

Vì hình vuông nội tiếp hình tròn nên độ dài đường chéo của hình vuông chính là độ dài đường kính của hình tròn

=>Diện tích hình tròn là:

\(\frac12\times\) đường chéo x \(\frac12\) x đường chéo x 3,14

\(=\frac14\times200\times3,14=157\left(dm^2\right)\)

Diện tích phần tô đậm là:

\(157-100=57\left(dm^2\right)\)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó; ΔHBA~ΔABC

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)

=>BC=20(cm)

ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{HA}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{12\cdot16}{20}=\frac{192}{20}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{DA}{DB}\)

Xét ΔDAC có DF là phân giác

nên \(\frac{FC}{FA}=\frac{DC}{DA}\)

\(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{FC}{FA}\cdot\frac{DB}{DC}\)

\(=\frac{DA}{DB}\cdot\frac{DC}{DA}\cdot\frac{DB}{DC}=1\)

O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC

=>OA=OB=OC

Gọi AK là đường kính của (O)

=>O là trung điểm của AK

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>AC⊥CK

mà AC⊥BH

nên BH//CK

Kẻ OI⊥BC tại I

=>OI là khoảng cách từ O đến BC

ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

I,O lần lượt là trung điểm của HK,KA

=>IO là đường trung bình của ΔAHK

=>IO=1/2AH

=>d(O;BC)=1/2AH

a: Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{MFB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)

Xét ΔMFB và ΔMCE có

\(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)

góc FMB chung

Do đó: ΔMFB~ΔMCE

=>\(\frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}\)

=>\(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)

Sửa đề: \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<2\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{50^2}<\frac{1}{49\cdot50}=\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<1-\frac{1}{50}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<1\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<2\) (ĐPCM)

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ADC}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{ADC}=30^0\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{BCD}=180^0-30^0=150^0\)

Xét tứ giác AHCK có \(\hat{AHC}+\hat{AKC}+\hat{KAH}+\hat{KCH}=360^0\)

=>\(\hat{KAH}=360^0-90^0-90^0-150^0=30^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có sin B=\(\frac{AH}{AB}\)

=>\(AH=AB\cdot\sin B=AB\cdot\sin30=\frac12AB\)

Xét ΔAKD vuông tại K có sin D=\(\frac{AK}{AD}\)

=>\(AK=AD\cdot\sin30=\frac12AD\)

Diện tích tam giác KAH là:

\(S_{KAH}=\frac12\cdot AH\cdot AK\cdot\sin HAK\)

\(=\frac12\cdot\frac12\cdot AD\cdot\frac12\cdot AB\cdot\sin30=\frac18\cdot AD\cdot AB\cdot\frac12=\frac{1}{16}\cdot AD\cdot AB\)

Diện tích hình bình hành ABCD là:

\(S_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot\sin B=AB\cdot AD\cdot\sin30=AB\cdot AD\cdot\frac12\)

=>\(\frac{S_{KAH}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{16}:\frac12=\frac{2}{16}=\frac18\)

a: Xét ΔADB vuông tại A và ΔDCA vuông tại D có

\(\hat{ADB}=\hat{DCA}\left(=90^0-\hat{DAC}\right)\)

Do đó: ΔADB~ΔDCA

b: ΔADB~ΔDCA

=>\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{DA}\)

=>\(AD^2=AB\cdot DC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AD=6(cm)

gọi số cuốn tập loại 200 trang mà Lan chọn mua ban đầu là x(quyển)

(Điều kiện: x∈N*; x>5)

Giá của mỗi cuốn còn lại sau cuốn thứ 5 là 13000-1000=12000(đồng)

Số tiền phải trả cho 5 cuốn đầu tiên là: \(5\cdot13000=65000\) (đồng)

Số tiền phải trả cho x-5 quyển còn lại là 12000(x-5)=12000x-60000(đồng)

Tổng số tiền phải trả là:

12000x-60000+65000=12000x+5000(đồng)

Số tiền Lan mang theo là:

12000x+5000-9000=12000x-4000(đồng)

Số quyển tập 100 trang mà Lan mua là x+7(quyển)

Giá của mỗi quyển tập kể từ quyển thứ 11 là:

\(8000\left(100\%-10\%\right)=7200\) (đồng)

Số quyển tập được giảm giá là:

x+7-10=x-3(quyển)

Số tiền phải trả cho 10 quyển đầu tiên là 8000*10=80000(đồng)

Số tiền phải trả cho x-3 quyển còn lại là 7200(x-3)=7200x-21600(đồng)

Số tiền phải trả là

7200x-21600+80000=7200x+58400(đồng)

Theo đề, ta có:

7200x+58400=12000x-4000

=>4800x=58400+4000=62400

=>x=13(nhận)

Vậy: Lan mua được 13+7=20 quyển

Số tiền Lan mang theo là: 7200*13+58400=152000 đồng

Bài 8:

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Do đó: ΔAEF~ΔABC

Bài 7:

a: Xét Δ BHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đo:ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: AD//BC

BC⊥BD

Do đó: AD⊥ BD

Xét ΔDAB vuông tại D và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{DAB}=\hat{ABC}\) (hai góc so le trong, DA//BC)

Do đó: ΔDAB~ΔABC