Gọi I là giao điểm của MN và BC

Ta có: \(\hat{IMB}=\hat{AMN}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{AMN}=\hat{ADM}\left(=90^0-\hat{NMD}\right)\)

\(\hat{ADM}=\hat{ADC}=\hat{ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó: \(\hat{IMB}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{IMB}=\hat{IBM}\)

=>IM=IB

Ta có: \(\hat{IMB}+\hat{IMC}=\hat{CMB}=90^0\)

\(\hat{IBM}+\hat{ICM}=90^0\) (ΔCMB vuông tại M)

mà \(\hat{IMB}=\hat{IBM}\)

nên \(\hat{IMC}=\hat{ICM}\)

=>IM=IC

mà IM=IB

nên IB=IC

=>I là trung điểm của BC

Gọi số áo mỗi ngày tổ 1 và tổ 2 may được lần lượt là a(cái) và b(cái)

(ĐIều kiện: a,b∈N*)

Mỗi ngày, tổ 1 may nhiều hơn tổ 2 10 cái áo

=>a-b=10(1)

Số áo tổ 1 may trong 3 ngày là 3a(cái)

Số áo tổ 2 may trong 5 ngày là 5b(cái)

Hai tổ may được 1310 cái áo

=>3a+5b=1310(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}a-b=10\\ 3a+5b=1310\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}5a-5b=50\\ 3a+5b=1310\end{cases}\)

=>5a-5b+3a+5b=50+1310 và a-b=10

=>8a=1360 và b=a-10

=>a=170(nhận) và b=170-10=160(nhận)

Vậy: số áo mỗi ngày tổ 1 và tổ 2 may được lần lượt là 170(cái) và 160(cái)

a: Xét (O) có \(\hat{HAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AH và dây cung AB

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{HAB}=\hat{ACB}\)

Ta có: \(\hat{ABH}+\hat{ABC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{ABH}+90^0+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{ABH}+\hat{HAB}=90^0\)

=>ΔHAB vuông tại H

=>AH⊥BC tại H

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2=\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2\cdot\sqrt{\frac{a}{c}}\cdot\sqrt{\frac{c}{a}}=\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2\ge0\forall a,c\) >0

=>\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(1\right)\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}-2\cdot\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b}{a}=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)

=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(2\right)\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2=\frac{b}{c}-2\cdot\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot\sqrt{\frac{c}{b}}+\frac{c}{b}=\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{b}}\right)^2\ge0\forall b,c>0\)

=>\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2+2+2\)

=>\(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\forall a,b,c>0\)

=>ĐPCM

a: Sửa đề: R=5

ΔOEH cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA⊥EH tại M và M là trung điểm của EH, OA là phân giác của góc EOH

ΔOME vuông tại M

=>\(OM^2+ME^2=OE^2\)

=>\(EM^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>EM=4(cm)

M là trung điểm của EH

=>\(EH=2\cdot EM=2\cdot4=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔOEA và ΔOHA có

OE=OH

\(\hat{EOA}=\hat{HOA}\)

OA chung

Do đó: ΔOEA=ΔOHA

=>\(\hat{OEA}=\hat{OHA}\)

=>\(\hat{OHA}=90^0\)

=>AH là tiếp tuyến tại H của (O)

a: Ta có: \(\hat{AKB}+\hat{ACB}=180^0\) (AKBC nội tiếp)

\(\hat{ACB}+\hat{ACE}=180^0\) (hai góc kề bù)

Do đó: \(\hat{AKB}=\hat{ACE}\)

Xét (O) có

KM,BC là các dây

KM//BC

Do đó: sđ cung KB=sđ cung MC

Xét (O) có

\(\hat{KAB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB

\(\hat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

sđ cung KB=sđ cung MC

Do đó: \(\hat{KAB}=\hat{MAC}\)

Xét ΔAKB và ΔACE có

\(\hat{AKB}=\hat{ACE}\)

\(\hat{KAB}=\hat{CAE}\)

Do đó: ΔAKB~ΔACE

b: \(\hat{KAB}=\hat{EAC}\)

=>\(\hat{KAB}+\hat{BAC}=\hat{EAC}+\hat{BAC}\)

=>\(\hat{KAC}=\hat{BAE}\)

ΔAKB~ΔACE

=>\(\frac{AK}{AC}=\frac{AB}{AE}\)

=>\(\frac{AK}{AB}=\frac{AC}{AE}\)

Xét ΔAKC và ΔABE có

\(\frac{AK}{AB}=\frac{AC}{AE}\)

\(\hat{KAC}=\hat{BAE}\)

Do đó: ΔAKC~ΔABE

c: KF//BC

=>\(\hat{AFK}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ACB}=\hat{AMB}\) (=1/2*sđ cung AB)

nên \(\hat{AFK}=\hat{AMB}\)

Xét ΔAFK và ΔAMB có

\(\hat{AFK}=\hat{AMB}\)

\(\hat{FAK}=\hat{MAB}\)

Do đó: ΔAFK~ΔAMB

d: MCBA nội tiếp

=>\(\hat{MCB}+\hat{MAB}=180^0\)

mà \(\hat{MCB}+\hat{ECM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ECM}=\hat{EAB}\)

Xét ΔECM và ΔEAB có

\(\hat{ECM}=\hat{EAB}\)

góc CEM chung

Do đó: ΔECM~ΔEAB

Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 được giao lần lượt là a(sản phẩm) và b(sản phẩm)

(Điều kiện: a,b∈N*)

Hai tổ được giao 100 sản phẩm nên a+b=100(1)

Số sản phẩm tổ 1 làm được là \(a\left(1+20\%\right)=1,2a\) (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ 2 làm được là: \(b\left(1+15\%\right)=1,15b\) (sản phẩm)

Hai tổ làm được 118 sản phẩm nên ta có: 1,2a+1,15b=118(2)

Từ (1),(2) ta có hệ \(\begin{cases}a+b=100\\ 1,2a+1,15b=118\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1,2a+1,2b=120\\ 1,2a+1,15b=118\end{cases}\)

=>1,2a+1,2b-1,2a-1,15b=120-118 và a+b=100

=>0,05b=2 và a=100-b

=>b=40(nhận) và a=100-40=60(nhận)

Vậy: số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 được giao lần lượt là 60(sản phẩm) và 40(sản phẩm)

a: \(96=2^5\cdot3;120=2^3\cdot3\cdot5;144=2^4\cdot3^2\)

=>ƯCLN(96;120;144)=\(2^3\cdot3=24\)

\(84=2^2\cdot3\cdot7;252=2^2\cdot3^2\cdot7;756=2^2\cdot3^3\cdot7\)

=>BCNN(84;252;756)=\(2^2\cdot3^3\cdot7=756\)

b: 2n+1121⋮2n+1

=>2n+1+1120⋮2n+1

=>1120⋮2n+1

mà 2n+1 lẻ

nên 2n+1∈{1;-1;5;-5;7;-7}

=>2n∈{0;-2;4;-6;6;-8}

=>n∈{0;-1;2;-3;3;-4}

mà n là số tự nhiên

nên n∈{0;2;3}

c: \(15=3\cdot5;20=2^2\cdot5;18=2\cdot3^2\)

=>BCNN(15;20;18)=\(2^2\cdot3^2\cdot5=180\)

=>Cứ 180 ngày thì ba bác sĩ lại cùng nhau trực trong 1 ngày

BM+BN=AB

BM+MA=BA

Do đó: BN=MA

Ta có: BN+NC=BC

MA+MB=BA

mà BN=MA và BC=BA

nên NC=MB

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BCD}=\hat{BAD}=60^0\)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>AB=AD=BD và \(\hat{ABD}=\hat{ADB}=60^0\)

Xét ΔCBD có CB=CD và \(\hat{BCD}=60^0\)

nên ΔCBD đều

=>CB=CD=BD và \(\hat{CBD}=\hat{CDB}=60^0\)

Xét ΔMAD và ΔNBD có

MA=NB

\(\hat{MAD}=\hat{NBD}\left(=60^0\right)\)

AD=BD

Do đó: ΔMAD=ΔNBD

=>MD=ND

ΔMAD=ΔNBD

=>\(\hat{MDA}=\hat{NDB}\)

mà \(\hat{MDA}+\hat{MDB}=\hat{ADB}=60^0\)

nên \(\hat{MDB}+\hat{NDB}=60^0\)

=>\(\hat{MDN}=60^0\)

Xét ΔDMN có DM=DN và \(\hat{MDN}=60^0\)

nên ΔDMN đều

a: ΔOAM cân tại O

=>\(\hat{AOM}=180^0-2\cdot\hat{OAM}\) (1)

ΔOBN cân tại O

=>\(\hat{BON}=180^0-2\cdot\hat{OBN}\) (2)

AM//BN

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBN}\) (hai góc so le trong)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AOM}=\hat{BON}\)

mà \(\hat{AOM}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BON}+\hat{MOB}=180^0\)

=>M,O,N thẳng hàng

Xét (O) có

ΔDMN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔDMN vuông tại D

=>DM⊥ DN

mà DM//AB

nên DN⊥AB