Bài 1: Gọi ba số cần tìm lần lượt là u1,u2,u3, với công bội là q

Theo đề, ta có: \(\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=14\\ u_1^2+u_1^2q^2+u_1^2q^4=84\end{cases}\iff\begin{cases}u_1(1+q+q^2)=14\quad & (1)\\ u_1^2(1+q^2+q^4)=84\quad & (2)\end{cases}\)

(1)=>\(u_1^2 (1 + q + q^2)^2 = 196 \quad (3)\)

Từ (2),(3) suy ra \(\frac{u_1^2 (1 + q + q^2)^2}{u_1^2 (1 + q^2 + q^4)} = \frac{196}{84} = \frac{7}{3}\)

=>\(\frac{\left(1+q+q^2\right)^2}{\left(1+q^2+q^4\right)}=\frac73\)

=>\(\frac{\left(1+q+q^2\right)^2}{\left(1+q+q^2\right)\left(1-q+q^2\right)}=\frac73\)

=>\(\frac{1+q+q^2}{1-q+q^2}=\frac73\)

=>\(7q^2-7q+7=3q^2+3q+3\)

=>\(4q^2-10q+4=0\)

=>\(4q^2-8q-2q+4=0\)

=>(q-2)(4q-2)=0

=>q=2 hoặc q=1/2

TH1: q=2

Thay q=2 vào (1), ta được:

\(u_1(1+2+4)=14\)

=>\(7u_1=14\implies u_1=2\)

=>u2=2*2=4; u3=4*2=8

TH2: q=1/2

Thay q=1/2 vào (1), ta được:

\(u_1\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=14\)

=>\(\frac{7}{4}u_1=14\implies u_1=8\)

u2=8*1/2=4; u3=4*1/2=2

a: Chiều cao là \(\frac{34+55,6}{2}=\frac{89,6}{2}=44,8\) (m)

Diện tích thửa ruộng là:

\(\left(34+55,6\right)\cdot\frac{44.8}{2}=2007,04\left(m^2\right)\)

b: Diện tích trồng rau là:

\(2007,04\cdot70\%=1404,928\left(m^2\right)\)

Khối lượng rau thu hoạch được là:

\(1404,928\cdot5=7024,64\left(\operatorname{kg}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\)

=>\(\frac{yz + zx + xy}{xyz}=0\)

=>xy+yz+xz=0

=>yz=-xy-xz; xy=-xz-yz; xz=-xy-yz

\(x^2 + 2yz = x^2 + yz + yz = x^2 - x(y + z) + yz\)

\(=x^2-xy-xz+yz\)

\(=x(x-y)-z(x-y)=(x-y)(x-z)\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(y^2 + 2zx = (y - z)(y - x)\)

\(z^2 + 2xy = (z - x)(z - y)\)

Đặt \(A = \frac{1}{x^2 + 2yz} + \frac{1}{y^2 + 2zx} + \frac{1}{z^2 + 2xy}\)

\(=\frac{1}{(x - y)(x - z)}+\frac{1}{(y - z)(y - x)}+\frac{1}{(z - x)(z - y)}\)

\(=\frac{-1}{(x - y)(z - x)}+\frac{-1}{(y - z)(x - y)}+\frac{-1}{(z - x)(y - z)}\)

\(=\frac{-(y - z) - (z - x) - (x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)}\)

=0

=>\(\frac{1}{x^2 + 2yz}+\frac{1}{y^2 + 2zx}+\frac{1}{z^2 + 2xy}=0\)

\(\left(\frac{1}{x^2 + 2yz}+\frac{1}{y^2 + 2zx}+\frac{1}{z^2 + 2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)\)

\(=0\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)\)

=0

=xy+yz+xz

\(M_1\) là trung điểm của AB

=>\(BM_1=\frac12\cdot AB\)

\(M_2\) là trung điểm của \(BM_1\)

=>\(BM_2=\frac12\cdot BM_1=\frac{1}{2^2}\cdot AB\)

....

\(M_{2017}\) là trung điểm của \(BM_{2016}\)

=>\(BM_{2017}=\frac12\cdot BM_{2016}=\frac{1}{2^{2017}}AB\)

=>\(AB=2:\frac{1}{2^{2017}}=2^{2018}\) (cm)

\(AM_{2017}+M_{2017}B=AB\)

=>\(AM_{2017}=2^{2018}-2\) (cm)

\(x^2+5y^2+2x-6y-4xy+2=0\)

=>\(x^2-4xy+4y^2+2x-4y+y^2-2y+2=0\)

=>\(\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1+y^2-2y+1=0\)

=>\(\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)

=>y-1=0 và x-2y+1=0

=>y=1 và x=2y-1=2-1=1

\(S=x^{2020}+\left(y-2\right)^{2021}\)

\(=1^{2020}+\left(1-2\right)^{2021}=1-1=0\)

n(Ω)=\(6\cdot6\cdot6=216\) (lần)

Gọi A là biến cố "Tổng số chấm ba lần gieo chia hết cho 5"

=>\(\overline{A}\) là biến cố "Tổng số chấm ba lần gieo không chia hết cho 5"

Đặt tổng số chấm ba lần gieo là S

=>S=x+y+z∈[3;18]

Để S⋮5 thì S∈{5;10;15}

TH1: S=5

=>Có các hoán vị là (1;3;1) và (1;2;2)

Hoán vị của (1;3;1) có \(\frac{3!}{2!}=3\) (cách)

Hoán vị của (1;2;2) có \(\frac{3!}{2!}=3\) (cách)

Số cách là 3+3=6(cách)

TH2: S=10

=>Có các hoán vị của (1;3;6); (1;4;5); (2;2;6); (2;3;5); (2;4;4); (3;3;4)

Số cách chọn cho (1;3;6) là 3!=6(cách)

Số cách chọn cho (1;4;5) là 3!=6(cách)

Số cách chọn cho (2;3;5) là 3!=6(cách)

Hoán vị của (2;2;6) có \(\frac{3!}{2!}=3\) (cách)

Hoán vị của (2;4;4) có \(\frac{3!}{2!}=3\) (cách)

Hoán vị của (3;3;4) có \(\frac{3!}{2!}=3\) (cách)

Số cách chọn là 6+6+6+3+3+3=18+9=27(cách)

TH3: S=15

=>Có các hoán vị là (5;5;5); (3;6;6); (4;5;6)

Số cách chọn cho (3;6;6) là 3!/2!=3(cách)

Số cách chọn cho (5;5;5) là 3!/3!=1(cách)

Số cách chọn cho (4;5;6) là 3!=6(cách)

Số cách là 3+1+6=4+6=10(cách)

n(A)=6+27+10=43(cách)

=>\(P_{\overline{A}}=1-\frac{43}{216}=\frac{173}{216}\)

(1): Gọi G là trọng tâm của ΔABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC

Theo đề, ta có: AM=3; BN=3/2; \(S_{ABC}=3\)

Xét ΔABC có

AM,BN là các đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: G là giao điểm của AM và BN

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(AG=\frac23AM=\frac23\cdot3=2\)

Xét ΔABC có

BN là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(BG=\frac23BN=\frac23\cdot\frac32=1\)

G là trọng tâm của ΔABC

=>\(S_{BGA}=\frac13\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot3=1\)

=>\(\frac12\cdot GA\cdot GB\cdot\sin AGB=1\)

=>\(\frac12\cdot2\cdot1\cdot\sin AGB=1\)

=>sinAGB=1

=>\(\hat{AGB}=90^0\)

=>AM⊥BN tại G

ΔGAB vuông tại G

=>\(GA^2+GB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=1^2+2^2=5\)

=>\(c=AB=\sqrt5\)

Gọi K là trung điểm của AB

=>\(GK=\frac13\cdot m_{C}\)

ΔGAB vuông tại G

mà GK là đường trung tuyến

nên \(GK=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt5}{2}\)

=>\(m_{C}=\frac{3\sqrt5}{2}\)

Xét ΔABC có AM,BN là các đường trung tuyến

nên \(MA^2=m_{a}^2=\frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}\) và \(BN^2=m_{b}^2=\frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4}\)

=>\(m_a^2 + m_b^2 = \frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)

Xét ΔABC có CK là đường trung tuyến

nên \(CK^2=m_{c}^2=\frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}\implies2(a^2+b^2)=4m_{c}^2+c^2\)

=>\(4m_c^2 + c^2 = 4 \cdot \frac{45}{4} + 5 = 50 \implies a^2 + b^2 = 25\)

\(m_{a}^2+m_{b}^2=\frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)

\(m_{a}^2+m_{b}^2=\) \(3^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25 + 4(5)}{4}=\frac{45}{4}\quad\)

\(m_{a}^2-m_{b}^2=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)

\(\implies9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)

\(\implies b^2-a^2=9\)

Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}a^2+b^2=25\\ b^2-a^2=9\end{cases}\)

=>\(2a^2=16\)

\(\implies a^2=8\)

\(\implies a=2\sqrt{2}\)

(2): \(a^2 = \frac{8}{9}(m_b^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_a^2\)

=>\(a^2=\frac{8}{9}(2+3)-\frac{4}{9}(1)=\frac{36}{9}=4\)

=>a=2

\(b^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_b^2\)

=>\(b^2 = \frac{8}{9}(1 + 3) - \frac{4}{9}(2) = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\)

\(c^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_b^2) - \frac{4}{9} m_c^2\)

=>\(c^2 = \frac{8}{9}(1 + 2) - \frac{4}{9}(3) = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\frac{8}{3} + \frac{4}{3} - 4}{2 \cdot \sqrt{\frac{8}{3}} \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} = \frac{0}{2bc} = 0\)

\(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4 + \frac{4}{3} - \frac{8}{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

a: Ta có: \(\hat{ABD}+\hat{ABF}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACE}+\hat{ACG}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABD}=\hat{ACE}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

nên \(\hat{ABF}=\hat{GCA}\)

Xét ΔABF và ΔGCA có

AB=GC

\(\hat{ABF}=\hat{GCA}\)

BF=CA

Do đó: ΔABF=ΔGCA

=>AF=GA

b: ΔABF=ΔGCA

=>\(\hat{BAF}=\hat{CGA}\)

mà \(\hat{CGA}+\hat{EAG}=90^0\) (ΔEAG vuông tại E)

nên \(\hat{BAF}+\hat{BAG}=90^0\)

=>\(\hat{FAG}=90^0\)

=>AF⊥ AG

-25;2a;3b là cấp số cộng

=>-25+3b=4a

=>\(a=\frac{3b-25}{4}\)

2;a+2;b-3 là cấp số nhân

=>\(\left(a+2\right)^2=2\left(b-3\right)\)

=>\(\left(\frac{3b-25}{4}+2\right)^2=2\left(b-3\right)\)

=>\(\left(\frac{3b-25+8}{4}\right)^2=2\left(b-3\right)\)

=>\(\left(3b-17\right)^2=32\left(b-3\right)\)

=>\(9b^2-102b+289-32b+96=0\)

=>\(9b^2-134b+385=0\)

=>\(9b^2-99b-35b+385=0\)

=>(b-11)(9b-35)=0

=>b=35/9 hoặc b=11

Khi b=11 thì \(a=\frac{3b-25}{4}=\frac{3\cdot11-25}{4}=\frac{33-25}{4}=\frac84=2\)

Khi b=35/9 thì \(a=\frac{3b-25}{4}=\frac{3\cdot\frac{35}{9}-25}{4}=\frac{\frac{35}{3}-25}{4}=\left(\frac{35}{3}-\frac{75}{3}\right):4=-\frac{40}{3}:4=-\frac{10}{3}\)

a; AH=HC và AH⊥HC

=>ΔAHC vuông cân tại H

=>\(\hat{HAC}=\hat{HCA}=45^0\)

Xét ΔHBI có HB=HI và HB⊥HI

nên ΔHBI vuông cân tại H

=>\(\hat{HBI}=\hat{HIB}=45^0\)

Xét ΔDBC có \(\hat{DBC}+\hat{DCB}=45^0+45^0=90^0\)

nên ΔDBC vuông cân tại D

=>DB⊥DC tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét ΔABC có

AH,BD là các đường cao

AH cắt BD tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔABC