a: \(I_1 = \int \left( \tan(x) - \ln^{15}(\cos(x)) \right) dx\)

=>\(I_1 = \int \tan(x) \, dx - \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx\)

\(A=\int\tan(x)\,dx\)

\(=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx\)

\(=-\int\frac{d(\cos(x))}{\cos(x)}=-\ln\vert{}\cos(x)\vert{}\)

\(B = \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx\)

Đặt \(u=\ln(\cos(x))\)

\(\implies du=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\tan(x)dx\)

\(\int \tan(x) \ln^{15}(\cos(x)) \, dx = -\int u^{15} \, du = -\frac{u^{16}}{16} + C = -\frac{\ln^{16}(\cos(x))}{16} + C\)

Do đó: \(I_1 = -\ln\vert{}\cos(x)\vert{} - \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx + C\)

b: \(I_2 = \int \frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^3 + 5x^2 - 7} \, dx\)

Ta có: \(x^4 + x^2 + 1 = \left( \frac{x}{2} - \frac{5}{4} \right)(2x^3 + 5x^2 - 7) + \left( \frac{25}{4}x^2 + \frac{7}{2}x - \frac{31}{4} \right)\)

=>\(\frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^3 + 5x^2 - 7}=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}+\frac{\frac{25}{4}x^2 + \frac{7}{2}x - \frac{31}{4}}{2x^3 + 5x^2 - 7}\)

\(=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}+\frac{25x^2 + 14x - 31}{4(2x^3 + 5x^2 - 7)}\)

Đặt \(\frac{25x^2 + 14x - 31}{(x - 1)(2x^2 + 7x + 7)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{2x^2 + 7x + 7}\)

=>\(25x^2 + 14x - 31 = A(2x^2 + 7x + 7) + (Bx + C)(x - 1)\)

=>\(25x^2+14x-31=x^2\left(2A+B\right)+x\left(7A-B+C\right)+7A-C\)

=>\(\begin{cases}2A+B=25\\ 7A-B+C=14\\ 7A-C=-31\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2A+B=25\\ 7A-B+C-7A+C=14+31\\ 7A-C=-31\end{cases}\)

=>2A+B=25 và -B+2C=45 và 7A-C=-31

=>B=25-2A và -25+2A+2C=45 và 7A-C=-31

=>2A+2C=70 và 7A-C=-31 và B=25-2A

=>A+C=35 và 7A-C=-31 và B=25-2A

=>8A=4 và A+C=35 và B=25-2A

=>A=1/2; C=35-1/2=69/2; B=25-2*1/2=24

Do đó: \(\frac{25x^2 + 14x - 31}{4(2x^3 + 5x^2 - 7)} = \frac{1}{8(x - 1)} + \frac{24x + \frac{69}{2}}{4(2x^2 + 7x + 7)} = \frac{1}{8(x - 1)} + \frac{48x + 69}{8(2x^2 + 7x + 7)}\)

48x+69=12(4x+7)-15

=>\(\int \frac{48x + 69}{2x^2 + 7x + 7} dx = 12 \int \frac{4x + 7}{2x^2 + 7x + 7} dx - 15 \int \frac{dx}{2x^2 + 7x + 7}\)

\(= 12 \ln(2x^2 + 7x + 7) - \frac{15}{2} \int \frac{dx}{\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}}\)

\(= 12 \ln(2x^2 + 7x + 7) - \frac{30}{\sqrt{7}} \arctan\left( \frac{4x + 7}{\sqrt{7}} \right)\)

=>\(I_2 = \int \left( \frac{x}{2} - \frac{5}{4} \right) dx + \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x - 1} + \frac{1}{8} \int \frac{48x + 69}{2x^2 + 7x + 7} dx\)

\(=\frac{x^2}{4}-\frac{5x}{4}+\frac{1}{8}\ln\vert{}x-1\vert{}+\frac{3}{2}\ln(2x^2+7x+7)-\frac{15}{4\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{4x + 7}{\sqrt{7}}\right)+C\)

Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C'; S là diện tích ΔABC; V là thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

M là trung điểm của AB'

=>d(M;(ABC))=1/2h

N là trung điểm của BC'

=>\(d\left(N;\left(ABC\right)\right)=\frac12h\)

H là trung điểm của CA'

=>\(d\left(H;\left(ABC\right)\right)=\frac12h\)

=>d(M;(ABC))=d(N;(ABC))=d(H;(ABC))=h/2

=>(MNH)//(ABC) và mp(MNH) cắt mặt phẳng lăng trụ thành hai phần có chiều cao đều bằng h/2

Gọi M',N',H' lần lượt là hình chiếu của M,N,H trên mp(ABC)

Khi đó, ta có: M' là trung điểm của AB, N' là trung điểm của BC, H' là trung điểm của CA

=>\(S_{\Delta MNH} = S_{\Delta M'N'H'} = \frac{1}{4} S_{\Delta ABC} = \frac{S}{4}\)

\(V_0 = \frac{1}{3} \cdot h' \cdot \left( S_{\Delta ABC} + S_{\Delta MNH} + \sqrt{S_{\Delta ABC} \cdot S_{\Delta MNH}} \right)\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\frac{h}{2}\cdot\left(S+\frac{S}{4}+\sqrt{S \cdot\frac{S}{4}}\right)\)

\(=\frac{h}{6}\cdot\left(S+\frac{S}{4}+\frac{S}{2}\right)\)

\(V_0=\frac{h}{6}\cdot\frac{7S}{4}=\frac{7}{24}S\cdot h=\frac{7}{24}\cdot V\)

=>\(V=\frac{24}{7}\cdot V_0\)

\(\)Ta có: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

=>\(y + z = 4 - x - \sqrt{xyz}\)

Ta có: \((4-y)(4-z)=16-4(y+z)+yz\)

=>\((4-y)(4-z) = 16 - 4(4 - x - \sqrt{xyz}) + yz\)

\(= 16 - 16 + 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

\(= 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

=>\(x(4-y)(4-z) = x(4x + 4\sqrt{xyz} + yz)\)

\(=4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz=\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2\)

=>\(\sqrt{x(4-y)(4-z)} = \sqrt{(2x + \sqrt{xyz})^2} = 2x + \sqrt{xyz}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\sqrt{y(4-z)(4-x)}=2y+\sqrt{xyz};\sqrt{z(4-x)(4-y)}=2z+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}\)

\(=(2x+\sqrt{xyz})+(2y+\sqrt{xyz})+(2z+\sqrt{xyz})-\sqrt{xyz}\)

\(=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}\)

\(=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=2\cdot4=8\) (ĐPCM)

PM//AC

AB⊥AC

Do đó: PM⊥AB

Xét tứ giác APMQ có \(\hat{APM}=\hat{AQM}=\hat{PAQ}=90^0\)

nên APMQ là hình chữ nhật

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của BC

=>IK cố định vì A,B,C cố định

Xét ΔABC có

I,K lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>IK là đường trung bình của ΔABC

=>IK//AC và IK=AC/2

Xét ΔABQ có

I,O lần lượt là trung điểm của BA,BQ

=>IO là đường trung bình của ΔABQ

=>IO//AQ và IO=AQ/2

=>IO//AC
mà IK//AC
và IO,IK có điểm chung là I

nên I,O,K thẳng hàng

APMQ là hình chữ nhật

=>AM=PQ và AQ=PM

Khi P di chuyển trên đoạn AB

TH1: P trùng với A

=>M sẽ trùng với C và Q trùng với C

Khi đó, O là trung điểm của BC, hay O trùng với K

TH2: P trùng với B

=>M trùng với B và Q trùng với A

Khi đó, O là trung điểm của BA, hay O trùng với I

Do đó: Khi P di chuyển trên AB, O luôn di chuyển trên đoạn thẳng IK, với I và K lần lượt là trung điểm của BA,BC

PM//AC

AB⊥AC

Do đó: PM⊥AB

Xét tứ giác APMQ có \(\hat{APM}=\hat{AQM}=\hat{PAQ}=90^0\)

nên APMQ là hình chữ nhật

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của BC

=>IK cố định vì A,B,C cố định

Xét ΔABC có

I,K lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>IK là đường trung bình của ΔABC

=>IK//AC và IK=AC/2

Xét ΔABQ có

I,O lần lượt là trung điểm của BA,BQ

=>IO là đường trung bình của ΔABQ

=>IO//AQ và IO=AQ/2

=>IO//AC
mà IK//AC
và IO,IK có điểm chung là I

nên I,O,K thẳng hàng

APMQ là hình chữ nhật

=>AM=PQ và AQ=PM

Khi P di chuyển trên đoạn AB

TH1: P trùng với A

=>M sẽ trùng với C và Q trùng với C

Khi đó, O là trung điểm của BC, hay O trùng với K

TH2: P trùng với B

=>M trùng với B và Q trùng với A

Khi đó, O là trung điểm của BA, hay O trùng với I

Do đó: Khi P di chuyển trên AB, O luôn di chuyển trên đoạn thẳng IK, với I và K lần lượt là trung điểm của BA,BC

Vì P(x) chia cho x^2-1 có thương là x và còn dư

nên đa thức dư phải có bậc nhỏ hơn bậc của x^2-1

=>Đa thức dư có dạng là R(x)=ax+b

=>\(P\left(x\right)=x\left(x^2-1\right)+ax+b\)

P(x) chia x-2 dư 2

=>P(2)=2

=>\(2\left(2^2-1\right)+a\cdot2+b=2\)

=>2a+b+6=2

=>2a+b=-4

P(x) chia x+2 dư -2

=>P(-2)=-2

=>\(-2\left\lbrack\left(-2\right)^2-1\right\rbrack\) +a*(-2)+b=-2

=>-2a+b-2*3=-2

=>-2a+b=-2+6=4

mà 2a+b=-4

nên -2a+b+2a+b=4-4

=>2b=0

=>b=0

2a+b=-4

=>2a=-4

=>a=-2

Khi a=-2; b=0 thì \(P\left(x\right)=x\left(x^2-1\right)+\left(-2\right)x+0=x^3-x-2x=x^3-3x\)

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC=BC/2

Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>MD//AC và \(MD=\frac{AC}{2}\)

MD//AC

=>ME//AC

\(MD=\frac{AC}{2}\)

\(MD=\frac{ME}{2}\)

Do đó: ME=AC

Xét tứ giác AEMC có

ME//AC

ME=AC

Do đó: AEMC là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABFC có

M là trung điểm chung của AF và BC

=>ABFC là hình bình hành

Hình bình hành ABFC có \(\hat{BAC}=90^0\)

nên ABFC là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có MA=MB

nên AMBE là hình thoi

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

ABFC là hình chữ nhật

=>\(S_{ABFC}=AB\cdot AC=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC=BC/2

Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>MD//AC và \(MD=\frac{AC}{2}\)

MD//AC

=>ME//AC

\(MD=\frac{AC}{2}\)

\(MD=\frac{ME}{2}\)

Do đó: ME=AC

Xét tứ giác AEMC có

ME//AC

ME=AC

Do đó: AEMC là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABFC có

M là trung điểm chung của AF và BC

=>ABFC là hình bình hành

Hình bình hành ABFC có \(\hat{BAC}=90^0\)

nên ABFC là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có MA=MB

nên AMBE là hình thoi

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

ABFC là hình chữ nhật

=>\(S_{ABFC}=AB\cdot AC=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: BC⊥BA

BC⊥SA(SA⊥(ABCD))

mà BA,SA cùng thuộc mp(SAB)

nên BC⊥(SAB)

=>BC⊥AH

AH⊥ SB

AH⊥BC

mà SB,BC cùng thuộc mp(SBC)

nên AH⊥(SBC)

b: DC⊥ DA(ABCD là hình vuông)

DC⊥ SA(SA⊥(ABCD))

mà SA,AD cùng thuộc mp(SAD)

nên DC⊥(SAD)

=>DC⊥AK

AK⊥ SD

AK⊥ DC
mà SD,DC cùng thuộc mp(SCD)

nên AK⊥(SCD)

Bài 13; Diện tích là \(a\left(\operatorname{cm}^2\right)\) , chiều dài là 16cm

=>a⋮16

mà 220<=a<=228

nên a=224

=>Chiều rộng hình chữ nhật là 224:16=14(cm)

Bài 14: Số trang cần đánh số là 132-2=130(trang)

Số chữ số cần dùng cho các số từ 1 đến 9 là:

\(\left(9-1+1\right)\cdot1=9\) (chữ số)

Số chữ số cần dùng cho các số từ 10 đến 99 là:

\(\left(99-10+1\right)\cdot2=90\cdot2=180\) (chữ số)

Số chữ số cần dùng cho các số từ 100 đến 130 là:

\(\left(130-100+1\right)\cdot3=31\cdot3=93\) (chữ số)

Số chữ số cần dùng là:

9+180+93=180+102=282(chữ số)