Ta có: \(A=1\times2010+2\times2009+\cdots+2010\times1\)

\(=2\times\left(1\times2010+2\times2009+\cdots+1005\times1006\right)\)

\(=2\times\left\lbrack1\times\left(2011-1\right)+2\times\left(2011-2\right)+\cdots+1005\times\left(2011-1005\right)\right\rbrack\)

\(=2\times\left\lbrack2011\left(1+2+\cdots+1005\right)-\left(1\times1+2\times2+\ldots+1005\times1005\right)\right\rbrack\)

\(=2\times\left\lbrack2011\times1005\times\frac{1006}{2}-\frac{1005\times\left(1005+1\right)\times\left(2\times1005+1\right)}{6}\right\rbrack\)

\(=2\left\lbrack2011\times1005\times\frac{1006}{2}-\frac{1005\times1006\times2011}{6}\right\rbrack\)

\(=2011\times1005\times1006-\frac{1005\times1006\times2011}{3}\)

\(=2011\times1005\times1006-335\times1006\times2011=2011\times1006\times335\left(3-1\right)=2\times335\times1006\times2011\)

=335x2011x2012

Ta có: B=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+2010)

\(=\frac{1\times2}{2}+\frac{2\times3}{2}+\cdots+\frac{2010\times2011}{2}\)

\(=\frac12\times\left(1\times2+2\times3+\cdots+2010\times2011\right)\)
\(=\frac12\times\left\lbrack1\times\left(1+1\right)+\right.2\times\left(2+1)+\cdots+2010\times\left(2010+1\right)\right\rbrack\)

\(=\frac12\times\left\lbrack\left(1\times1+2\times2+\cdots+2010\times2010\right)+\left(1+2+\cdots+2010\right)\right\rbrack\)

\(=\frac12\times\left\lbrack\frac{2010\times\left(2010+1\right)\left(2\times2010+1\right)}{6}+\frac{2010\times2011}{2}\right\rbrack\)

\(=\frac12\times\left\lbrack\frac{2010\times2011\times4021}{6}+\frac{2010\times2011}{2}\right\rbrack=\frac12\times\frac{2010\times2011\times4021+3\times2010\times2011}{6}\)

\(=\frac12\times\frac16\times2010\times2011\times\left(4021+3\right)=\frac12\times\frac16\times2010\times2011\times4024\)

\(=2010\times2011\times\frac{2012}{6}=2011\times2012\times335\)

=A

=>A:B=1

\(1-\frac23=\frac13\) số kẹo còn lại sau khi cho anh là 18(viên)

Số kẹo còn lại sau khi cho anh là \(18:\frac13=18\times3=54\) (viên)

Số viên kẹo ban đầu mẹ có là \(54:\left(1-\frac13\right)=54:\frac23=54\times\frac32=81\left(viên\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{6}=\frac{x+y+z-1+3-5}{2+4+6}=\frac{27+2-5}{12}=\frac{29-5}{12}=\frac{24}{12}=2\)

=>x-1=4; y+3=8; z-5=12

=>x=5; y=5; z=17

Sửa đề: Chứng minh \(\frac{5a+3b}{5a-3b}=\frac{5c+3d}{5c-3d}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\frac{5a+3b}{5a-3b}=\frac{5\cdot bk+3b}{5\cdot bk-3b}=\frac{b\left(5k+3\right)}{b\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\)

\(\frac{5c+3d}{5c-3d}=\frac{5\cdot dk+3d}{5\cdot dk-3d}=\frac{d\left(5k+3\right)}{d\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\)

Do đó: \(\frac{5a+3b}{5a-3b}=\frac{5c+3d}{5c-3d}\)

Thời gian xe lửa đi hết chiều dài của cây cầu là 45-15=30(giây)

Vận tốc của xe lửa là 450:30=15(m/s)

Độ dài của xe lửa là:

15x15=225(m)

48p=0,8 giờ

Độ dài quãng đường người đó đi được sau 0,8 giờ là:

11,5x0,8=9,2(km)

a: 3,1m=31dm; 1,5m=15dm; 1,4m=14dm

Thể tích của bể là:

31x15x14=6510(lít)

b: Thể tích nước người ta cần đổ thêm để đầy bể là:

\(6510\times\left(1-\frac{34}{35}\right)=6510\times\frac{1}{35}=186\left(lít\right)\)

c: Trong 1 phút, hai vòi chảy được: 23+18=41(lít)

6510:41=158 dư 32

=>Bể sẽ đầy sau khoảng 159 phút

Sửa đề: Chiều rộng bằng 4/5 chiều dài và bằng 7/5 chiều cao

Nửa chu vi đáy là 12,6:2=6,3(dm)

Tổng số phần bằng nhau là 4+5=9(phần)

Chiều rộng là 6,3:9x4=0,7x4=2,8(dm)

Chiều dài là 6,3-2,8=3,5(dm)

Chiều cao là: \(2,8:\frac75=2,8\times\frac57=2\left(dm\right)\)

Diện tích xung quanh là \(12,6\times2=25,2\left(dm^2\right)\)

Diện tích toàn phần là \(25,2+2\times2,8\times3,5=25,2+7\times2,8=25,2+19,6=44,8\left(dm^2\right)\)

Sửa đề: Ngày thứ hai sửa được nhiều hơn ngày đầu là 1/12 quãng đường. Ngày thứ ba sửa được bằng hai ngày trước. Hỏi sau ba ngày đội đã sửa được mấy phần quãng đường?

Số phần quãng đường đội đó sửa được trong ngày thứ hai là:

\(\frac17+\frac{1}{12}=\frac{12+7}{84}=\frac{19}{84}\) (quãng đường)

Số phần quãng đường đội đó sửa được trong ngày thứ ba là:

\(\frac17+\frac{19}{84}=\frac{12}{84}+\frac{19}{84}=\frac{31}{84}\) (quãng đường)

Số phần quãng đường đội đó sửa được trong ba ngày là:

\(\frac17+\frac{19}{84}+\frac{31}{84}=\frac{12}{84}+\frac{50}{84}=\frac{62}{84}=\frac{31}{42}\) (quãng đường)

TA có: \(\frac{9}{30}+\frac{16}{40}+\frac{25}{50}+\frac{36}{60}+\frac{49}{70}+\frac{64}{80}+\frac{81}{90}\)

\(=\frac{3}{10}+\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+\cdots+\frac{9}{10}\)

\(=\frac{1}{10}\left(3+4+\cdots+9\right)=\frac{1}{10}\left(9-3+1\right)\cdot\frac{9+3}{2}=\frac{1}{10}\cdot7\cdot\frac{12}{2}=\frac{1}{10}\cdot7\cdot6=\frac{42}{10}=4,2\)