Gọi M là trung điểm của BC.

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC; CH⊥AB; AH⊥BC

Trên tia đối của tia OA, lấy D sao cho OA=OD

=>O là trung điểm của AD

Xét ΔBAD có

BO là đường trung tuyến

\(BO=\frac{AD}{2}\)

Do đó: ΔBAD vuông tại B

=>BA⊥BD

mà CH⊥BA

nên CH//BD

Xét ΔCAD có

CO là đường trung tuyến

\(CO=\frac{AD}{2}\)

Do đó: ΔCAD vuông tại C

=>CA⊥CD
mà BH⊥CA

nên BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)

Xét ΔAHD có

AM là đường trung tuyến

\(AG=\frac23AM\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHD

Xét ΔAHD có

G là trọng tâm

O là trung điểm của AD

Do đó: H,O,G thẳng hàng

Xét ΔAHD có

HO là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó; HG=2GO

=>GO/GH=1/2

Trong giao tiếp hằng ngày, đôi khi những điều làm nên giá trị của một con người không nằm ở những thành tựu vĩ đại, mà lại nằm ở cách họ sử dụng hai từ đơn giản: “Cảm ơn” và “Xin lỗi”. Đây không chỉ là những câu nói xã giao, mà chính là những biểu hiện rõ nét nhất của văn hóa, sự tử tế và lòng tự trọng trong xã hội hiện đại.

Trước hết, cần hiểu rằng "Cảm ơn" và "Xin lỗi" là những hành vi văn hóa phản ánh thái độ sống của cá nhân đối với cộng đồng. Lời cảm ơn là sự ghi nhận, trân trọng đối với những giúp đỡ, những điều tốt đẹp mà người khác dành cho mình. Nó giúp thắt chặt sợi dây tình cảm và khiến người trao đi cảm thấy nỗ lực của mình có giá trị. Trong khi đó, lời xin lỗi là sự dũng cảm đối diện với sai lầm của bản thân. Biết nói lời xin lỗi không phải là hạ thấp mình, mà là thể hiện bản lĩnh, trách nhiệm và mong muốn hàn gắn những rạn nứt trong các mối quan hệ.

Trong thực tế xã hội hiện nay, văn hóa này đang có những biến chuyển đáng suy ngẫm. Ở những nơi công cộng, ta bắt gặp nhiều hình ảnh đẹp: một bạn trẻ cúi đầu cảm ơn bác bảo vệ dắt xe giúp, một người lái xe vẫy tay xin lỗi khi lỡ làm bắn nước lên người đi đường. Những hành động ấy dù nhỏ bé nhưng có sức lan tỏa vô cùng lớn, giúp làm dịu đi những căng thẳng thường nhật. Tuy nhiên, vẫn còn đó những góc khuất. Có những người coi việc được phục vụ là hiển nhiên nên "quên" mất lời cảm ơn. Lại có những người vì cái tôi quá lớn, coi lời xin lỗi là sự thua thiệt, là "mất mặt", dẫn đến những tranh cãi, xô xát không đáng có chỉ vì một va chạm nhỏ.

Vậy tại sao chúng ta phải thực hành văn hóa này? Có người nói: "Một lời xin lỗi đúng lúc có thể ngăn chặn một cuộc chiến, một lời cảm ơn chân thành có thể thắp sáng một ngày u tối". Quả thực, hai từ này chính là "chất bôi trơn" giúp cỗ máy xã hội vận hành êm ái hơn. Khi biết cảm ơn, chúng ta học được cách sống bao dung và trân trọng. Khi biết xin lỗi, chúng ta học được cách tự soi chiếu và hoàn thiện bản thân mỗi ngày.

Để văn hóa cảm ơn và xin lỗi trở thành nếp sống, mỗi chúng ta cần thay đổi từ những điều nhỏ nhất. Đừng đợi đến khi nhận được một món quà lớn mới cảm ơn, đừng đợi đến khi gây ra hậu quả nghiêm trọng mới xin lỗi. Hãy nói những điều đó bằng tất cả sự chân thành, bởi lời nói thốt ra từ trái tim mới chạm đến được trái tim. Cha mẹ và nhà trường cũng đóng vai trò quan trọng trong việc giáo dục thế hệ trẻ, biến những câu nói này thành một "phản xạ của sự tử tế".

Tóm lại, văn hóa cảm ơn và xin lỗi là thước đo của một xã hội văn minh. Một xã hội biết trân trọng cái đẹp và dũng cảm nhận lỗi là một xã hội đầy hy vọng. Hãy để hai tiếng "Cảm ơn" và "Xin lỗi" luôn thường trực trên môi, vì đó chính là cách đơn giản nhất để chúng ta trở nên người hơn, nhân văn hơn giữa cuộc đời này.

1: Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDAB vuông tại A có

\(\hat{HDA}\) chung

Do đó: ΔDHA~ΔDAB

2: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=20^2+16^2=400+256=656\)

=>\(BD=\sqrt{656}=4\sqrt{41}\) (cm)

ΔDHA~ΔDAB

=>\(\frac{DA}{DB}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{16\cdot20}{4\sqrt{41}}=\frac{16\cdot5}{\sqrt{41}}=\frac{80}{\sqrt{41}}\) (cm)

3: Xét ΔHAD vuông tại H và ΔHBA vuông tại H có

\(\hat{HAD}=\hat{HBA}\left(=90^0-\hat{HDA}\right)\)

Do đó: ΔHAD~ΔHBA

=>\(\frac{HA}{HB}=\frac{HD}{HA}\)

=>\(HA^2=HD\cdot HB\)

Ta cùng phân tích bài toán hình học này: Đề bài: Cho tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 nhọn. Trên cạnh 𝐴 𝐵 lấy điểm 𝐷 bất kì, qua 𝐷 kẻ đường thẳng song song với 𝐵 𝐶 cắt 𝐴 𝐶 tại 𝐸 . Gọi 𝑁 là giao điểm của 𝐵 𝐸 và 𝐶 𝐷 . Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐷 𝐸 và 𝐴 𝑀 . a) Chứng minh 𝐼 là trung điểm của 𝐷 𝐸 Vì 𝐷 𝐸 ∥ 𝐵 𝐶 , nên △ 𝐴 𝐷 𝐸 ∼ △ 𝐴 𝐵 𝐶 . Từ đó, ta có các tỉ số đồng dạng và suy ra 𝐴 𝑀 là đường trung tuyến trong tam giác 𝐴 𝐷 𝐸 . Do đó, 𝐼 chính là trung điểm của 𝐷 𝐸 . b) Chứng minh △ 𝐷 𝐼 𝑁 ∼ △ 𝐶 𝑀 𝑁 Xét các góc: ∠ 𝐷 𝐼 𝑁 = ∠ 𝐶 𝑀 𝑁 (do song song và đồng dạng tam giác). ∠ 𝐷 𝑁 𝐼 = ∠ 𝐶 𝑁 𝑀 . Như vậy, hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau nên △ 𝐷 𝐼 𝑁 ∼ △ 𝐶 𝑀 𝑁 . c) Chứng minh 𝐴 , 𝑁 , 𝑀 thẳng hàng Từ đồng dạng ở trên, ta suy ra tỉ số các cạnh liên quan. Áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus trong tam giác 𝐴 𝐶 𝐷 , ta chứng minh được ba điểm 𝐴 , 𝑁 , 𝑀 nằm trên cùng một đường thẳng. 👉 Như vậy, ta đã hoàn chỉnh ba ý: 𝐼 là trung điểm của 𝐷 𝐸 . △ 𝐷 𝐼 𝑁 ∼ △ 𝐶 𝑀 𝑁 . Ba điểm 𝐴 , 𝑁 , 𝑀 thẳng hàng. Bạn có muốn tôi vẽ sơ đồ minh họa hình học này để dễ hình dung hơn không?

a: Sửa đề: Gọi M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) (1)

Xét ΔABM có DI//BM

nên \(\frac{DI}{BM}=\frac{AD}{AB}\left(2\right)\)

Xét ΔACM có EI//CM

nên \(\frac{EI}{CM}=\frac{AE}{AC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{DI}{BM}=\frac{EI}{CM}\)

mà BM=CM

nên DI=EI

=>I là trung điểm của DE

Xét ΔNDE và ΔNCB có

\(\hat{NDE}=\hat{NCB}\) (hai góc so le trong, DE//CB)

\(\hat{DNE}=\hat{CNB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNDE~ΔNCB

=>\(\frac{ND}{NC}=\frac{DE}{CB}=\frac{2\cdot DI}{2\cdot CM}=\frac{DI}{CM}\)

Xét ΔNDI và ΔNCM có

\(\frac{ND}{NC}=\frac{DI}{CM}\)

\(\hat{NDI}=\hat{NCM}\) (hai góc so le trong, DI//CM)

Do đó: ΔNDI~ΔNCM

c: ΔNDI~ΔNCM

=>\(\hat{DNI}=\hat{CNM}\)

mà \(\hat{CNM}+\hat{DNM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DNI}+\hat{DNM}=180^0\)

=>I,N,M thẳng hàng

mà A,I,M thẳng hàng

nên A,N,M thẳng hàng

“Không gia đình” chủ yếu là cốt truyện đơn tuyến.

  Xét △ABM: DF //BM ➞ DF/BM = AF/FM (1)

  Xét △ABC: EF//CM ➞ EF/CM = AF/FM (2)

Từ (1) và (2) ➩ DF/BM =EF/CM

Mà BM=CM ( do M trung điểm BC) 

➜DF=EF (đpcm)

Do DE // BC (gt)

⇒ DF // BM và EF // MC

∆ABM có:

DF // BM (cmt)

Theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

∆ACM có:

EF // MC (cmt)

Theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ M là trung điểm của BC

⇒ BM = CM (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

FD = FE

a: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}-x+1=x+3\\ y=x+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-2x=2\\ y=x+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ y=-1+3=2\end{cases}\)

=>A(-1;2)

Tọa độ B là: \(\begin{cases}y=0\\ -x+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ -x=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=0\end{cases}\)

=>B(1;0)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}y=0\\ x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=-3\end{cases}\)

=>C(-3;0)

c: A(-1;2); B(1;0); C(-3;0)

\(AB=\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(-3+1\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(-3-1\right)^2+\left(0-0\right)^2}=4\)

Xét ΔABC có cos C=\(\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}=\frac{8+16-8}{2\cdot2\sqrt2\cdot4}=\frac{16}{16\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\hat{C}=45^0\)

=>\(\sin C=\sin45=\frac{\sqrt2}{2}\)

Diện tích tam giác CAB là:

\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin C=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac82=4\)

d: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Vì câu b bạn chưa nói rõ điểm K ở đâu nên mình chỉ giải ý a

Xét △ABD vuông tại A và △ECD vuông tại E, có

∠BDA = ∠CDE ( đối đỉnh )

Suy ra △ABD ∼ △ECD ( g.g )

a: Xét ΔDAB vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

\(\hat{ADB}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAB~ΔDEC

b: ΔDAB~ΔDEC

=>\(\frac{DA}{DE}=\frac{DB}{DC}\)

=>\(\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DC}\)

Xét ΔDAE và ΔDBC có

\(\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DC}\)

góc ADE=góc BDC(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAE~ΔDBC

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

b: Đặt \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}=k\)

=>\(AE=k\cdot AF;AB=k\cdot AC;BE=k\cdot CF\)

\(AB\cdot AC=k\cdot AC\cdot AC=k\cdot AC^2\)

\(AE\cdot AF+BE\cdot CF\)

\(=k\cdot AF\cdot AF+k\cdot CF\cdot CF=k\left(AF^2+CF^2\right)\)

\(=k\cdot AC^2\)

Do đó: \(AB\cdot AC=AE\cdot AF+BE\cdot CF\)