Question

Xét các số thực âm a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện 4(ab+bc+ac)=9abc+1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c

 

Answer 1

Ủa số thực âm hay không âm vậy em?

Answer 2

Đặt \(a+b+c=p\) ; \(ab+bc+ca=q\) ; \(abc=r\)

\(\Rightarrow p^2\ge3q\)

Từ giả thiết: \(4q=9r+1\)

Áp dụng BĐT Schur bậc 3:  \(r\ge\dfrac{4pq-p^3}{9}\)

\(\Rightarrow4q\ge4pq-p^3+1\Leftrightarrow p^3-1+4q-4pq\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p^2+p+1-4q\right)\ge0\)

Nếu \(p< 1\Rightarrow p^2+p+1-4q\le0\)

Mà \(p< 1\Rightarrow1>p^2\Rightarrow0\ge p^2+p+1-4q>p^2+p+p^2-4q\)

\(\Rightarrow2\left(p^2-2q\right)+p< 0\) (vô lý do \(p^2\ge3q\ge2q\))

\(\Rightarrow p\ge1\)

Vậy \(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) và các hoán vị