a.

Tứ diện ABCD đều nên \(AO\perp\left(BCD\right)\)

O là trọng tâm tam giác BCD nên \(O\in BM\)

Tam giác BCD đều (do tứ diện đều) nên \(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

Đồng thời \(BO=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=\sqrt{AB^2-BO^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b.

\(OM=\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

Đặt \(T=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OM}\right|\Rightarrow T^2=OA^2+4OM^2-4\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\)

Do \(OA\perp\left(BCD\right)\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}=0\)

\(\Rightarrow T^2=OA^2+4OM^2=a^2\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OM}\right|=a\)

c.

Do M là trung điểm CD \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow B=\left|2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|2\overrightarrow{MO}-2\overrightarrow{AM}\right|=2\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}\right|\)

\(=2\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right|=\left|4\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{OA}\right|\)

\(\Rightarrow B^2=16MO^2+4OA^2+16\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}\)

\(=16MO^2+4OA^2=4a^2\)

\(\Rightarrow B=\left|2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right|=2a\)

\(P+Q=\left(5xy^2-3x^2+2y-1\right)+\left(-xy^2+9x^2y-2y+6\right)\)

\(=\left(5xy^2-xy^2\right)+9x^2y-3x^2+\left(2y-2y\right)+6-1\)

\(=4xy^2+9x^2y-3x^2+5\)

b.

\(P-Q=\left(5xy^2-3x^2+2y-1\right)-\left(-xy^2+9x^2y-2y+6\right)\)

\(=\left(5xy^2+xy^2\right)-3x^2-9x^2y+\left(2y+2y\right)-1-6\)

\(=6xy^2-3x^2-9x^2y+4y-7\)

c.

Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AD=BC\)

\(\Rightarrow ABCE\) là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(\Rightarrow CE||AB\) (1)

Do N là trung điểm SD, E là trung điểm AD

\(\Rightarrow EN\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow EN||SA\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(CEN\right)||\left(SAB\right)\)

Mà \(CN\in\left(CEN\right)\)

\(\Rightarrow CN||\left(SAB\right)\)

a.

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD và BC

Do \(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAD\right)\\S\in d\\d||AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\in\left(SAD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SBC\right)\\S\in d\\d||BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\in\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow d=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

b.

Trong mp (SAC), nối AM cắt SO tại I

\(\left\{{}\begin{matrix}O\in BD\in\left(SBD\right)\\S\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SO\in\left(SBD\right)\)

\(I\in SO\Rightarrow I\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow I=AM\cap\left(SBD\right)\)

Do AD song song BC, áp dụng định lý Thales:

\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=2\) \(\Rightarrow OA=2OC=2\left(AC-OA\right)\Rightarrow\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng định lý Menelaus:

\(\dfrac{OA}{AC}.\dfrac{CM}{MS}.\dfrac{SI}{IO}=1\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}.1.\dfrac{SI}{IO}=1\)

\(\Rightarrow2SI=3IO=3\left(SO-SI\right)\)

\(\Rightarrow5SI=3SO\Rightarrow\dfrac{SO}{SI}=\dfrac{3}{5}\)

8. 

Nhìn hình, tọa độ A dễ rồi

Tọa độ B thì thấy đoạn OK (hình chiếu trên Ox) chính là hoành độ B, đoạn OH (hình chiếu nên Oy) chính là tung độ B

Tính được 2 đoạn này là ra tọa độ B, từ đó tính được vecto AB

Tam giác vuông OBH biết cạnh huyền OB và góc O=30 độ, dùng sin cos tính được OH

Tam giác vuông OBK biết cạnh huyền OB, góc BOK cũng biết luôn (60 độ, do cộng góc 30 kia bằng góc vuông) => tính được OK bằng sin cos

9.

Biết OM, biết góc HOM =45 độ, suy ra góc COM=90-HOM.

Từ đó tính được OC bằng sin cos tan => tọa độ z

Biết OM, biết góc HOM=45 => tính được OH

Biết góc AOH=60, biết OH => tính được OA > hoành độ x

Biết BOH=90-AOH, biết OH, tính được OB => tung độ y

Nhìn chuẩn góc nào là góc vuông là được

Đề thiếu em, \(u_1\) bằng mấy nhỉ?

Đề sai em, đề đúng phải là \(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=\left(ab+bc\right)^2\)

Em thiếu dấu bình phương của a

Đồ thị trên là của hàm bậc 3 nên loại C và D

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\) nên hệ số cao nhất của x phải dương nên loại B

Vậy A đúng

\(y=\dfrac{x\left(x-1\right)+1}{x-1}=x+\dfrac{1}{x-1}\)

\(y'=1-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=1\\x-1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

A đúng