Dừng chân ở vòng 8. Chúc 3 bạn top 1, 2, 3 hoàn thành xuất sắc cuộc thi :)

Dòng 2 nên là \(3-4-5-6\) thì đẹp tự dưng lòi ra số 2 :)))

C17:

Dễ thấy tử số là tích các số chẵn, đặt các số \(2\) ra ngoài, có tất cả: \(\dfrac{4n-2-2}{4}+1=n\) số \(2\)

Xét \(A=\dfrac{2\cdot6\cdot10\cdot...\cdot\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...2n}=\dfrac{2^n\left(1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot\left(2n-1\right)\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...2n}\)

Nhân cả tử và mẫu với \(\left(n+4\right)!\) ta được: 

\(A=\dfrac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot\left(2n-1\right)\left(n+4\right)!}{\left(n+4\right)!\cdot\left(n+5\right)\left(n+6\right)...2n}=\dfrac{2^n\cdot\left(n+4\right)!\cdot1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\)

\(=\dfrac{2^n\cdot\left(n+4\right)!\cdot1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot\left(2n-1\right)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot\left(2n-1\right)\cdot2n}=\dfrac{2^n\cdot\left(n+4\right)!}{2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot2n}\)

\(=\dfrac{2^n\cdot\left(n+4\right)!}{2^n\cdot\left(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\right)}=\dfrac{\left(n+4\right)!}{n!}=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)

Xét \(B=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(B=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)

Đặt \(a=n^2+5n+4\) thì \(B=a\left(a+2\right)+1=\left(a+1\right)^2\) với \(a\in Z^+\)

Khi đó \(C=\sqrt{1+\dfrac{2\cdot6\cdot10\cdot...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...2n}}=\sqrt{\left(a+1\right)^2}=a+1\in Z^+\) ( đpcm )

Lỡ r 

C18.2:

\(a^6-b^6=\left(a^3-a^3\right)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Xét 2 số a, b không chia hết cho 3 có các trường hợp:

- TH1: \(a\equiv b\left(mod3\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮3\\a^2+ab+b^2⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^6-b^6⋮3\cdot3=9\)

- TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a\equiv1\left(mod3\right)\\b\equiv2\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a+b⋮3\\a^2-ab+b^2⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^6-b^6⋮3\cdot3=9\)

Do \(a,b\) bình đẳng nên \(\left\{{}\begin{matrix}a\equiv2\left(mod3\right)\\b\equiv1\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\) cũng suy ra \(a^6-b^6⋮9\)

Ta có đpcm.