Vai trò của a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

- Nếu \(a=b=c\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow k=8\)

- Nếu \(a;b;c\) có ít nhất 2 số khác nhau

Do a;b;c nguyên tố cùng nhau nên \(\left(a+b;a\right)=\left(a+c;a\right)=1\)

\(\Rightarrow b+c\) chia hết cho a

\(\Rightarrow b+c=a.x\)

\(\Rightarrow a.x< a+a=2a\)

\(\Rightarrow x< 2\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow a=b+c\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{\left(2b+c\right)\left(2c+b\right)}{bc}=\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{b}+5\)

Theo 1 bổ đề đã chứng minh, nếu \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\in Z\\\left(a;b\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}\in Z\\\dfrac{y}{b}\in Z\end{matrix}\right.\)

Do đó ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2b}{c}\in Z\\\dfrac{2c}{b}\in Z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2⋮b\\2⋮c\end{matrix}\right.\) do \(\left(b;c\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(b;c\right)=\left(2;2\right);\left(1;1\right);\left(2;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(4;2;2\right);\left(2;1;1\right);\left(3;2;1\right)\)

\(\Rightarrow k=10;9\)

Tổng hợp lại ta có \(k=8;9;10\)

a.

Sử dụng nguyên tắc lùi vô hạn và số dư của số chính phương khi chia 3 dễ dàng nhận thấy pt vô nghiệm (x;y đều phải chia hết cho 3 nên \(x_0^2+y^2_0=3^{z_0}\) là 1 bộ nghiệm thì \(x_1^2+y_1^2=3^{z_0-2}=3^{z_1}\) cũng là 1 bộ nghiệm ...)

b.

Hiển nhiên p;q;r;s đều lẻ

Mà giữa p và p+10 chỉ có các số lẻ \(p+2;p+4;p+6;p+8\)

Mặt khác, trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 3. 

Nên trong bộ p;q;r;s ko thể có 3 số liên tiếp

Dẫn tới \(\left(p;q;r;s\right)=\left(p;p+2;p+6;p+8\right)\)

\(\Rightarrow p+q+r+s=4p+16=4\left(p+4\right)\)

Nếu p chia 3 dư 1 thì \(p+2\) chia hết cho 3 (loại) nên p chia 3 dư 2

\(\Rightarrow p+q+r+s=4.\left(3k+2+4\right)=12\left(k+2\right)\) chia hết cho 12 (1)

Mặt khác p chia 5 phải dư 1 (nếu chia 5 dư 2 thì p+8 là hợp số, chia 5 dư 3 thì p+2 là hợp số, chia 5 dư 4 thì p+6 là hợp số)

\(\Rightarrow p+q+r+s=4\left(5k+1+4\right)=20\left(k+1\right)\) chia hết cho 5 (2)

(1);(2) suy ra đpcm

-5 đến 5 đi

Mà đơn giản là nhìn biết ngay có đúng 1 nghiệm x=0

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4.9=36\\y^2=16.4=64\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm6\\y=\pm8\end{matrix}\right.\)

\(A=2\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3x^2-6xy-3y^2\)

\(=4\left(x^2+xy+y^2\right)-3x^2-6xy-3y^2\)

\(=x^2-2xy+y^2\)

\(=\left(x-y\right)^2=2^2=4\)

Nhìn đồ thị thì pt có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép

Nên cách ngắn gọn là chọn luôn \(f\left(x\right)=x^2\left(x+1\right)\left(x-1\right)=x^4-x^2\)

Rồi sử dụng MODE-7 đếm nghiệm là được

Còn làm tổng quát dạng \(f\left(x\right)=a.\left(x-x_1\right)^2\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\) rồi đạo hàm thì khá dài

2.

\(e^{2y}=\left(e^{ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)}\right)^2=\dfrac{1}{1+e^{2x}}\)

\(y'=\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)'}{\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}}=\sqrt{1+e^{2x}}.\left(-\dfrac{1}{2}\right).2e^{2x}.\dfrac{1}{\sqrt{\left(1+e^{2x}\right)^3}}\)

\(=-\dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\)

\(\Rightarrow e^{2y}-y'=\dfrac{1}{1+e^{2x}}+\dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}=\dfrac{1+e^{2x}}{1+e^{2x}}=1\)

1.

\(y'=2x.e^{2x}+2e^{2x}.\left(x^2-2\right)=2e^{2x}.\left(x^2+x-2\right)\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}e^{2x}=0\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)

\(y\left(-3\right)=\dfrac{7}{e^6}\) ; \(y\left(-2\right)=\dfrac{2}{e^4}\); \(y\left(1\right)=-e^2\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[-3;1\right]}y=y\left(1\right)=-e^2\)

\(\max\limits_{\left[-3;1\right]}y=y\left(-2\right)=\dfrac{2}{e^4}\)

\(\int x^2\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{tan^2x}{x^2}\right)dx\)

\(=\int\left(x^2+x-tan^2x\right)dx\)

\(=\int\left(x^2+x+1-\dfrac{1}{cos^2x}\right)dx\)

\(=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x-tanx+C\)

c.

\(\int x^2\left[\dfrac{4}{x^2\left(2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}\right)^2}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^4}\right]dx\)

\(=\int x^2\left[\dfrac{4}{x^2.sin^2x}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^4}\right]dx\)

\(=\int\left(\dfrac{4}{sin^2x}+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)dx\)

\(=-4cotx+3ln\left|x\right|+\dfrac{4}{x}+C\)