Thể tích hồ:

\(2,2.1,2.1=2,64\left(m^3\right)=2640\) (lít)

Gọi thời gian nước chảy vào đầy bể là x (phút) với x>0

Trong x phút vòi 1 chảy được \(25x\) lít, vòi 2 chảy được \(40x\) lít, vòi 3 chảy được \(15x\) lít

Nên trong x phút cả 3 vòi cùng chảy được:

\(25x+40x+15x=80x\) (lít)

Do thể tích bể là 2640 lít nên ta có:

\(80x=2640\)

\(\Rightarrow x=33\) (phút)

Vậy hồ đầy nước lúc 5 giờ 45 +33 phút = 6 giờ 18 phút

a.

Do hình chiếu vuông góc của N trên Ox cũng là H \(\Rightarrow x_N=x_0\)

\(HN=k.HM\Rightarrow y_N=k.y_M=k.y_0\)

\(\Rightarrow N\left(x_0;ky_0\right)\)

b.

Từ trên ta suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=x_N\\y_0=\dfrac{y_N}{k}\end{matrix}\right.\)

Do M thuộc đường tròn \(\Rightarrow x_0^2+y_0^2=a^2\)

\(\Rightarrow x_N^2+\left(\dfrac{y_N}{k}\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_N^2}{a^2}+\dfrac{y_N^2}{\left(ka\right)^2}=1\)

Hay tập hợp N là elip có pt: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{\left(ka\right)^2}=1\)

Do \(-1\le a;b;c\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\\\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0\\\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a+2\\b^2\le b+2\\c^2\le c+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6\)

Vậy \(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và các hoán vị

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{6-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-6+2x-4\sqrt{x}+6-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{3x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

Để \(P< 2\Rightarrow\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}< 2\)

\(\Rightarrow3\sqrt{x}< 2\left(\sqrt{x}+2\right)\) (do \(\sqrt{x}+2>0;\forall x\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 4\)

\(\Rightarrow x< 16\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 16\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

Do \(13a+b+2c=0\Rightarrow\left(4a-2b+c\right)+\left(9a+3b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow4a-2b+c=-\left(9a+3b+c\right)\)

Do đó:

\(f\left(-2\right).f\left(3\right)=\left(4a-2b+c\right)\left(9a+3b+c\right)\)

\(=-\left(9a+3b+c\right).\left(9a+3b+c\right)\)

\(=-\left(9a+3b+c\right)^2\le0\) (đpcm)

Điều kiện: \(m\ne0\)

(d1) cắt 2 trục tại \(A\left(0;-4\right)\) và \(B\left(\dfrac{4}{m};0\right)\)

\(\left(d_2\right)\) cắt 2 trục tại \(A\left(0;-4\right)\) và \(C\left(-\dfrac{4}{m};0\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|y_A\right|.\left|x_B-x_C\right|=\dfrac{1}{2}.\left|-4\right|.\left|\dfrac{8}{m}\right|>4\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{\left|m\right|}>1\Rightarrow\left|m\right|< 4\)

\(\Rightarrow m=\left\{-3;-2;-1;1;2;3\right\}\) có 6 giá trị nguyên

Gọi số học sinh tham gia tuyển toán ở HK1 là x (em) và số học sinh tham gia tuyển KHTN là y (em) với x,y>0

Do tuyển toán ít hơn tuyển KHTN là 50 em nên ta có:

\(y-x=50\)

Số học sinh tuyển Toán ở HK2 là: \(x+5\)

Số học sinh tuyển KHTN HK2 là: \(y-5\) em

Do ở HK2 học sinh tuyển toán bằng 3/4 học sinh tuyển KHTN nên ta có:

\(x+5=\dfrac{3}{4}\left(y-5\right)\Leftrightarrow4x-3y=-35\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}y-x=50\\4x-3y=-35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=115\\y=165\end{matrix}\right.\)

Vậy ở HK2 số học sinh tuyển toán là \(115+5=120\) học sinh và tuyển KHTN là \(165-5=160\) học sinh

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5>0\\x_1x_2=3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A>0\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=19\)

\(A^2=\dfrac{x_1^2}{\left(x_1-2\right)^2}+\dfrac{x_2^2}{\left(x_2-2\right)^2}+\dfrac{2x_1x_2}{\left|\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\right|}\)

\(=\dfrac{x_1^2\left(x_2^2-4x_2+4\right)+x_2^2\left(x_1^2-4x_1+4\right)}{\left[\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\right]^2}+\dfrac{2x_1x_2}{\left|x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\right|}\)

\(=\dfrac{2\left(x_1x_2\right)^2-4x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4\left(x_1^2+x_2^2\right)}{\left[x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\right]^2}+\dfrac{2x_1x_2}{\left|x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\right|}\)

\(=\dfrac{2.3^2-4.3.5+4.19}{\left(3-10+4\right)^2}+\dfrac{2.3}{\left|3-10+4\right|}=\dfrac{52}{9}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{52}{9}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{3}\)

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;6n+4\right)\) với \(d\in Z^+\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)-\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=5\end{matrix}\right.\)

Để A không tối giản \(\Rightarrow d=5\)

\(\Rightarrow2n+3⋮5\)

\(\Rightarrow2n+3=5k\)

\(\Rightarrow2n-2=5k-5\)

\(\Rightarrow2\left(n-1\right)=5\left(k-1\right)\)

Do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow n-1⋮5\)

\(\Rightarrow n-1=5m\left(m\in Z\right)\)

\(\Rightarrow n=5m+1\)

Vậy với \(n=5m+1\) \(\left(m\in Z\right)\) thì A ko phải phân số tối giản

À đúng là nó đấy em, ko để ý vẽ hình AH xéo xéo nên tưởng ko vuông góc :D