a: ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ADC}+\hat{BAD}=180^0\)

=>\(\hat{BAD}=180^0-\hat{ADC}=180^0-\hat{KDH}\) (1)

Xét tứ giác BHDK có \(\hat{BHD}+\hat{BKD}+\hat{KBH}+\hat{KDH}=360^0\)

=>\(\hat{KBH}+\hat{KDH}=180^0\)

=>\(\hat{KBH}=180^0-\hat{KDH}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BAD}=\hat{KBH}\)

TA có: AB//CD
=>\(\hat{KAB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị)(3)

BC//AD

=>\(\hat{HCB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị)(4)

Từ (3),(4) suy ra \(\hat{KAB}=\hat{HCB}\)

Xét ΔKAB vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

\(\hat{KAB}=\hat{HCB}\)

Do đó: ΔKAB~ΔHCB

=>\(\frac{KB}{HB}=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{AD}\)

=>\(\frac{KB}{AB}=\frac{HB}{AD}\)

Xét ΔKBH và ΔBAD có

KB/BA=BH/AD

\(\hat{KBH}=\hat{BAD}\)

Do đó: ΔKBH~ΔBAD

b: ΔKBH~ΔBAD

=>\(\frac{KH}{BD}=\frac{KB}{BA}\)

Xét ΔBKA vuông tại K có \(\sin KAB=\frac{BK}{BA}\)

=>\(\sin D=\frac{BK}{BA}\)

=>\(\sin\alpha=\frac{KH}{BD}\)

=>\(KH=BD\cdot\sin\alpha\)

c: BC//AD

=>\(\hat{HCB}=\hat{ADC}=60^0\)

AB//CD

=>\(\hat{KAB}=\hat{ADC}=60^0\)

Xét ΔHBC vuông tại H có cos HCB=\(\frac{CH}{CB}\)

=>\(\frac{CH}{4}=cos60=\frac12\)

=>CH=2(cm)

Diện tích tam giác HBC là: \(S_{HBC}=\frac12\cdot CH\cdot CB\cdot\sin HCB\)

\(=\frac12\cdot2\cdot4\cdot\sin60=4\cdot\sin60=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm^2}\right)\)

Xét ΔKAB vuông tại K có cos KAB=\(\frac{AK}{AB}\)

=>\(\frac{AK}{6}=cos60=\frac12\)

=>AK=3(cm)

Diện tích tam giác KAB là: \(S_{AKB}=\frac12\cdot AK\cdot AB\cdot\sin KAB\)

\(=\frac12\cdot3\cdot6\cdot\sin60=9\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{9\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(S_{ABCD}=DA\cdot DC\cdot\sin\alpha\)

\(=6\cdot4\cdot\sin60=24\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích tứ giác BKDH là:

\(S_{BKDH}=S_{ABCD}+S_{HBC}+S_{KAB}\)

\(=2\sqrt3+12\sqrt3+\frac{9\sqrt3}{2}=14\sqrt3+4,5\sqrt3=18,5\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

500k + 100k + 500 = 1100k

Cả hai cái đều đúng nha bạn, vì \(\frac{13\pi}{3};\frac{\pi}{3}\) cùng chung điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác rồi bạn

a: Ta có: \(\hat{BAD}+\hat{BAK}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{BCD}+\hat{BCH}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{BAD}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình bình hành)

nên \(\hat{BAK}=\hat{BCH}\)

Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBHC vuông tại H có

\(\hat{BAK}=\hat{BCH}\)

Do đó: ΔBKA~ΔBHC

=>\(\frac{BK}{BH}=\frac{BA}{BC}=\frac{BA}{AD}\)

=>\(\frac{BK}{BA}=\frac{BH}{AD}\)

Xét tứ giác BKDH có \(\hat{BKD}+\hat{BHD}+\hat{KDH}+\hat{KBH}=360^0\)

=>\(\hat{KBH}+\hat{ADC}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

mà \(\hat{ADC}+\hat{BAD}=180^0\) (ABCD là hình bình hành)

nên \(\hat{KBH}=\hat{BAD}\)

Xét ΔKBH và ΔBAD có

\(\frac{KB}{BA}=\frac{BH}{AD}\)

\(\hat{KBH}=\hat{BAD}\)

Do đó: ΔKBH~ΔBAD

b: ΔKBH~ΔBAD

=>\(\frac{KH}{BD}=\frac{BH}{AD}=\frac{BH}{BC}=\sin BCH=\sin ADC=\sin\alpha\)

=>\(KH=BD\cdot\sin\alpha\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có \(cosBAC=\frac{AH}{AB}\) (1)

Xét ΔAKC vuông tại K có cos BAC=\(\frac{AK}{AC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}\)

Xét ΔAHK và ΔABC có

\(\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}\)

góc HAK chung

Do đó: ΔAHK~ΔABC

b: ΔAHK~ΔABC

=>\(\frac{S_{AHK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AH}{AB}\right)^2=\left(cosBAC\right)^2=\left(cos45\right)^2=\frac12\)

=>\(S_{AHK}=\frac12\cdot S_{BAC}\)

Ta có: \(S_{AHK}+S_{BCHK}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BCHK}=S_{ABC}-\frac12\cdot S_{ABC}=\frac12\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{AHK}=S_{BCHK}\)

a: Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE

\(\hat{BAD}=\hat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔADB=ΔADE

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD chung

\(\hat{HAD}=\hat{KAD}\)

Do đó: ΔAHD=ΔAKD

=>DH=DK

Bạn kiểm tra lại nội dung câu hỏi nha. Có thể do bạn gửi ảnh lên bị lỗi

$\text{Bài 9:} \\ \\ \text{1. Điểm Miquel và đường thẳng Gauss:} \\ M \text{ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần } ABCDEF \Rightarrow M \text{ là tâm quay vị tự đồng dạng quay biến } \Delta MAB \sim \Delta MDC. \\ IJ \text{ là đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần, do đó } MB \text{ là đường đối trung của góc } \widehat{AMC}. \\ \\ \text{2. Tỷ lệ khoảng cách và đường phân giác:} \\ \text{Vì } MB \text{ là đường đối trung của } \Delta AMC \Rightarrow \frac{d(K, MA)}{d(K, MC)} = \frac{MA}{MC}. \\ \text{Do } \Delta MAB \sim \Delta MDC \Rightarrow \frac{MA}{MC} = \frac{AB}{CD}. \\ \\ \text{3. Đồng dạng và kết luận:} \\ \text{Do } DK \parallel IJ \Rightarrow \text{Tỷ lệ đồng dạng của các khoảng cách cho ta } \Delta KAD \sim \Delta KCB. \\ \Rightarrow \widehat{AKD} = \widehat{CKB} \quad \text{(đpcm)}$