a)
Vì AD ⟂ BC nên ∠ADB = 90°
Vì BE ⟂ AC nên ∠AEB = 90°
Suy ra ∠ADB + ∠AEB = 180°
Vậy tứ giác ABDE nội tiếp

b)
Ta có OM ⟂ BC tại M, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Nên OM là đường trung trực của BC
Suy ra MB = MC

Xét hai tam giác vuông PBM và QCM
Ta có
∠PMB = ∠QMC = 90°
∠PBM = ∠ABC, ∠QCM = ∠ACB
Mà trong tam giác cân OBC tại O, do M là trung điểm BC nên OM là trục đối xứng, suy ra các góc tạo bởi OM với AB, AC tương ứng đối xứng
Từ đó suy ra
MP = MQ
nên M là trung điểm của PQ

Vì N là trung điểm của PQ nên N trùng M

Lại do tứ giác ABDE nội tiếp nên
∠BED = ∠BAD
Mà D thuộc BC nên
∠BAD = 90° - ∠ABC

Mặt khác, vì PQ đi qua M và vuông góc OM, từ cấu hình đối xứng qua OM suy ra
∠APQ = 90° - ∠ABC

Vậy
∠APQ = ∠BED

Tiếp theo, do N trùng M nên
PN = PM

Trong tam giác vuông PBM, từ hệ thức lượng và tính đối xứng suy ra
PM = CM . sin∠C

Mặt khác, trong tam giác vuông AHC có
HC = AC . cos∠C
và từ các hệ thức lượng theo đường cao, suy ra
PM = HC . sin∠C

Do đó
PN . HC = PM . HC = AP . CM

Vậy
AP . CM = PN . HC

Kết luận
∠APQ = ∠BED
AP . CM = PN . HC

3)\(P=A.B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+1-3}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để p đạt giá trị nhỏ nhất thì phân thức \(\frac{3}{\sqrt{x}+1}\) phải đạt giá trị lớn nhất

Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x}+1\) đạt giá trị nhỏ nhất

vì x là số nguyên dương và x khác 1,nên các giá trị của x thuộc 2,3,4,....

với x nguyên dương nhỏ nhất thì \(\sqrt{x}+1\) nhỏ nhất

nên giá trị x nhỏ nhất là 2 thì P nhỏ nhất

vậy x=2 thì P đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi H là chân đường cao từ P xuống MN, K là chân đường cao từ N xuống MP.
Vì PH và NK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác MNP.

a) Chứng minh tứ giác MKAH nội tiếp

Ta có:
MK nằm trên MP, KA nằm trên NK mà NK vuông góc MP
nên góc MKA = 90 độ.

Lại có:
MH nằm trên MN, HA nằm trên PH mà PH vuông góc MN
nên góc MHA = 90 độ.

Vậy góc MKA = góc MHA = 90 độ.
Suy ra K và H cùng nằm trên đường tròn đường kính MA.
Do đó tứ giác MKAH nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác KPNH nội tiếp, xác định tâm F, chứng minh góc NOF = NAH

Ta có:
KP nằm trên PM, KN vuông góc PM
nên góc PKN = 90 độ.

PH vuông góc MN, HN nằm trên MN
nên góc PHN = 90 độ.

Suy ra góc PKN = góc PHN = 90 độ.
Vậy tứ giác KPNH nội tiếp.

Hơn nữa, hai góc vuông cùng chắn đoạn PN nên PN là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH.
Vì thế tâm F của đường tròn này là trung điểm của PN.

Bây giờ chứng minh góc NOF = góc NAH:

Trong tam giác NOP, ta có ON = OP vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
F là trung điểm của PN nên OF là đường trung tuyến ứng với đáy PN.
Trong tam giác cân NOP, đường trung tuyến ứng với đáy cũng là đường phân giác.
Vì vậy:
góc NOF = 1/2 góc NOP.

Mà góc NOP là góc ở tâm chắn cung NP, còn góc NMP là góc nội tiếp cùng chắn cung NP.
Nên:
góc NOP = 2 góc NMP.

Suy ra:
góc NOF = góc NMP.

Mặt khác:
NA nằm trên NK, AH nằm trên HP
nên góc NAH là góc tạo bởi NK và HP.

Vì NK vuông góc MP, HP vuông góc MN nên góc giữa NK và HP bằng góc giữa MP và MN.
Do đó:
góc NAH = góc NMP.

Vậy:
góc NOF = góc NAH.

c) Cho NP = R căn 3. Chứng minh tam giác KFH đều, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KFH

Vì NP là dây của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bán kính R nên:
NP = 2R.sin góc NMP.

Theo giả thiết:
R căn 3 = 2R.sin góc NMP
suy ra:
sin góc NMP = căn 3 / 2.

Tam giác MNP nhọn nên:
góc NMP = 60 độ.

Xét góc KPH:
PK nằm trên PM, PH vuông góc MN
nên:
góc KPH = 90 độ - góc PMN = 90 độ - 60 độ = 30 độ.

Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH có tâm F, góc KPH là góc nội tiếp chắn cung KH.
Vậy góc ở tâm chắn cùng cung đó là:
góc KFH = 2 góc KPH = 60 độ.

Lại có:
FK = FH = bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH = PN/2 = R căn 3 / 2.

Vậy trong tam giác KFH:
FK = FH và góc KFH = 60 độ.
Suy ra tam giác KFH đều.

Khi đó cạnh tam giác đều KFH là:
KF = FH = KH = R căn 3 / 2.

Gọi R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều KFH.
Ta có công thức:
R' = a / căn 3

nên:
R' = (R căn 3 / 2) / căn 3 = R/2.

Câu 1.
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên ∠A = 90°, AH ⟂ BC nên ∠AHB = 90°
Xét ΔABC và ΔHBA có
∠ABC chung
∠A = ∠AHB = 90°
⇒ ΔABC ~ ΔHBA

Từ đồng dạng
AB/BC = BH/AB
⇒ AB^2 = BC.BH

b) AD là phân giác nên D ∈ AC, E ∈ AH
Gọi I là trung điểm ED

Xét đường tròn đường kính AB thì ∠AEB = 90° ⇒ E thuộc đường tròn đường kính AB
Suy ra EA.EH = EB.EI (hệ thức về lực của điểm E đối với đường tròn qua A, B, H)

Vậy EI.EB = EH.EA

a) 4x - 20 = 0

<=> 4x = 20

=> x = 5

b) \(\frac{x+1}{3}=\frac{2x+5}{5}\)

=> \(5\left(x+1\right)=3\left(2x+5\right)\)

<=> 5x + 5 = 6x + 15

=> x = -10