Đường thẳng qua O có dạng \(y=kx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-2}=kx\\k=y'=\dfrac{-3}{\left(x-2\right)^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{-3x}{\left(x-2\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)=-3x\)

\(\Rightarrow x^2+2x-2=0\)

Pt trên có 2 nghiệm khác 2 nên có 2 tiếp tuyến

a.

Pt hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(x^2=mx+m+1\Leftrightarrow x^2-mx-m-1=0\)

\(\Delta=m^2+4\left(m+1\right)=\left(m+2\right)^2>0\Rightarrow m\ne-2\)

b. 

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-m-1\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow\) nghiệm của pt khác 3 \(\Rightarrow m\ne2\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{x_1-3}+\dfrac{1}{x_2-3}=2\)

\(\Rightarrow x_1-3+x_2-3=2\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-6=2x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+18\)

\(\Rightarrow m-6=2\left(-m-1\right)-8m+18\)

\(\Leftrightarrow11m=22\)

\(\Rightarrow m=2\) (ktm)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

a. ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\right).\left(\sqrt{x}-2\right)\)

\(=\dfrac{-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2\left(\sqrt{x}+2\right)}.\left(\sqrt{x}-2\right)\)

\(=\dfrac{-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=-\dfrac{4}{x-4}\)

b.

\(A\in Z\Rightarrow x-4=Ư\left(4\right)\)

\(\Rightarrow x-4=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;2;3;5;6;8\right\}\)

a. ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

b.

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}>0\Rightarrow\sqrt{x}-1>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}>1\)

\(\Rightarrow x>1\)

Đề bài người ta cho nhầm em, do số người phải là số nguyên mà câu b ko tính ra số nguyên => đề bài sai

\(A\left(x\right)=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+2\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x;y\)

\(\Rightarrow A\ge2\)

\(A_{min}=2\) khi  \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

Các câu sau sẽ làm tắt bước trình bày, em tự trình bày đầy đủ

b.

\(B\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2-2x+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2-2y+1\right)-2\left(x+y\right)-1\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+2+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y-1\right)^2-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(x+y\right)-2\right]^2+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y-1\right)^2-3\ge-3\)

\(B_{min}=-3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)-2=0\\x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

c.

\(C\left(x\right)=2\left(x^2+2xy+y^2\right)-8\left(x+y\right)+y^2+6y+9+9\)

\(=2\left(x+y\right)^2-8\left(x+y\right)+8+\left(y+3\right)^2+1\)

\(=4\left(x+y-2\right)^2+\left(y+3\right)^2+1\ge1\)

\(C_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-3\end{matrix}\right.\)

d.

\(D\left(x\right)=2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+3\left(y^2-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{9}\right)+4\left(z^2-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{1}{12}\)

\(=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+4\left(z-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{12}\ge-\dfrac{1}{12}\)

\(D_{min}=-\dfrac{1}{12}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4}\right)\)

e.

\(E\left(x\right)=2x^2+8xy+11y^2-4x-2y+6\)

\(=2\left(x^2+4xy+4y^2\right)-4\left(x+2y\right)+\left(3y^2+6y+3\right)+3\)

\(=2\left(x+2y\right)^2-4\left(x+2y\right)+2+3\left(y+1\right)^2+1\)

\(=2\left(x+2y+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+1\ge1\)

\(E_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y (với x;y là các số tự nhiên từ 0 đến 9)

Do chữ số hàng chục kém hàng đơn vị là 2 nên: \(y-x=2\) (1)

Do 2 lần chữ số hàng chục hơn hàng đơn vị là 4 nên: \(2x-y=4\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}y-x=2\\2x-y=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=8\end{matrix}\right.\)

Vậy số đó là \(168\)