Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Xem chi tiết

Đây là lưu ý tối quan trọng cho các bạn học sinh 12 nhé! Các bạn chú ý hí!

hacker
Xem chi tiết

Gọi H là chân đường cao từ P xuống MN, K là chân đường cao từ N xuống MP.
Vì PH và NK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác MNP.

a) Chứng minh tứ giác MKAH nội tiếp

Ta có:
MK nằm trên MP, KA nằm trên NK mà NK vuông góc MP
nên góc MKA = 90 độ.

Lại có:
MH nằm trên MN, HA nằm trên PH mà PH vuông góc MN
nên góc MHA = 90 độ.

Vậy góc MKA = góc MHA = 90 độ.
Suy ra K và H cùng nằm trên đường tròn đường kính MA.
Do đó tứ giác MKAH nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác KPNH nội tiếp, xác định tâm F, chứng minh góc NOF = NAH

Ta có:
KP nằm trên PM, KN vuông góc PM
nên góc PKN = 90 độ.

PH vuông góc MN, HN nằm trên MN
nên góc PHN = 90 độ.

Suy ra góc PKN = góc PHN = 90 độ.
Vậy tứ giác KPNH nội tiếp.

Hơn nữa, hai góc vuông cùng chắn đoạn PN nên PN là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH.
Vì thế tâm F của đường tròn này là trung điểm của PN.

Bây giờ chứng minh góc NOF = góc NAH:

Trong tam giác NOP, ta có ON = OP vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
F là trung điểm của PN nên OF là đường trung tuyến ứng với đáy PN.
Trong tam giác cân NOP, đường trung tuyến ứng với đáy cũng là đường phân giác.
Vì vậy:
góc NOF = 1/2 góc NOP.

Mà góc NOP là góc ở tâm chắn cung NP, còn góc NMP là góc nội tiếp cùng chắn cung NP.
Nên:
góc NOP = 2 góc NMP.

Suy ra:
góc NOF = góc NMP.

Mặt khác:
NA nằm trên NK, AH nằm trên HP
nên góc NAH là góc tạo bởi NK và HP.

Vì NK vuông góc MP, HP vuông góc MN nên góc giữa NK và HP bằng góc giữa MP và MN.
Do đó:
góc NAH = góc NMP.

Vậy:
góc NOF = góc NAH.

c) Cho NP = R căn 3. Chứng minh tam giác KFH đều, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KFH

Vì NP là dây của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bán kính R nên:
NP = 2R.sin góc NMP.

Theo giả thiết:
R căn 3 = 2R.sin góc NMP
suy ra:
sin góc NMP = căn 3 / 2.

Tam giác MNP nhọn nên:
góc NMP = 60 độ.

Xét góc KPH:
PK nằm trên PM, PH vuông góc MN
nên:
góc KPH = 90 độ - góc PMN = 90 độ - 60 độ = 30 độ.

Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH có tâm F, góc KPH là góc nội tiếp chắn cung KH.
Vậy góc ở tâm chắn cùng cung đó là:
góc KFH = 2 góc KPH = 60 độ.

Lại có:
FK = FH = bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KPNH = PN/2 = R căn 3 / 2.

Vậy trong tam giác KFH:
FK = FH và góc KFH = 60 độ.
Suy ra tam giác KFH đều.

Khi đó cạnh tam giác đều KFH là:
KF = FH = KH = R căn 3 / 2.

Gọi R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều KFH.
Ta có công thức:
R' = a / căn 3

nên:
R' = (R căn 3 / 2) / căn 3 = R/2.

piojoi
Xem chi tiết

Ta có phương trình
x^2 − mx − m^2 − 1 = 0

Theo Viète
x1 + x2 = m
x1.x2 = −m^2 − 1 < 0 ⇒ hai nghiệm trái dấu

Khi đó
|x1| − |x2| = x1 − (−x2) = x1 + x2 = m

Theo đề
|x1| − |x2| = 3 ⇒ m = 3

Tính A
A = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 − 2x1x2
= m^2 − 2(−m^2 − 1)
= m^2 + 2m^2 + 2 = 3m^2 + 2

Thay m = 3
A = 3.9 + 2 = 29


LVnHAnh2012
Xem chi tiết

Câu 1.
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên ∠A = 90°, AH ⟂ BC nên ∠AHB = 90°
Xét ΔABC và ΔHBA có
∠ABC chung
∠A = ∠AHB = 90°
⇒ ΔABC ~ ΔHBA

Từ đồng dạng
AB/BC = BH/AB
⇒ AB^2 = BC.BH

b) AD là phân giác nên D ∈ AC, E ∈ AH
Gọi I là trung điểm ED

Xét đường tròn đường kính AB thì ∠AEB = 90° ⇒ E thuộc đường tròn đường kính AB
Suy ra EA.EH = EB.EI (hệ thức về lực của điểm E đối với đường tròn qua A, B, H)

Vậy EI.EB = EH.EA

a) 4x - 20 = 0

<=> 4x = 20

=> x = 5

b) \(\frac{x+1}{3}=\frac{2x+5}{5}\)

=> \(5\left(x+1\right)=3\left(2x+5\right)\)

<=> 5x + 5 = 6x + 15

=> x = -10

Ẩn danh
Xem chi tiết

Đặt t = √x, t ≥ 0, x = t^2

Khi đó
B = ( t/(2 + t) + (t^2 + 4)/(4 − t^2) ) : ( t^2/(t^2 − 2t) )

Ta có
4 − t^2 = (2 − t)(2 + t)

⇒ (t^2 + 4)/(4 − t^2) = (t^2 + 4)/[(2 − t)(2 + t)]

Quy đồng
t/(2 + t) = t(2 − t)/[(2 + t)(2 − t)]

⇒ tổng
= [t(2 − t) + (t^2 + 4)] /[(2 + t)(2 − t)]
= (2t − t^2 + t^2 + 4)/[(2 + t)(2 − t)]
= (2t + 4)/[(2 + t)(2 − t)]
= 2(t + 2)/[(2 + t)(2 − t)]

⇒ B = [2(t + 2)/((2 + t)(2 − t))] : [t^2/(t(t − 2))]

= [2(t + 2)/((2 + t)(2 − t))] × [(t(t − 2))/t^2]

Rút gọn
(t + 2) = (2 + t), (t − 2) = −(2 − t)

⇒ B = 2 × [t(t − 2)] / [t^2(2 − t)]
= 2 × [t(−(2 − t))]/[t^2(2 − t)]
= −2t / t^2 = −2/t

⇒ B = −2/√x

Điều kiện x > 0, x ≠ 4


Ngọc Yến
Xem chi tiết

Câu c.

Ta có
MI ⟂ AB ⇒ MI ⟂ AI
MK ⟂ AN

E là giao điểm AN và MI ⇒ E ∈ MI và E ∈ AN

Gọi H = IN ∩ MK

Xét tam giác EIN và tam giác EMN

Ta có
∠EIN = ∠EMN (cùng chắn cung hoặc do các góc vuông và nội tiếp)
∠ENI = ∠ENM (góc chung tại N)

⇒ ΔEIN ~ ΔEMN

Suy ra
EI/EM = EN/EN ⇒ EI = EM

⇒ E là trung điểm của IM

Xét tam giác IMN, E là trung điểm IM, H nằm trên IN

Theo định lí đường trung bình
EH ∥ MN

nguyễn phương thảo
Xem chi tiết

Ta có (C): x^2 + y^2 + 2x − 6y + 5 = 0

Hoàn thành bình phương
(x + 1)^2 + (y − 3)^2 = 5

⇒ tâm I(−1, 3), bán kính R = √5

Đường thẳng Δ: x + 2y − 15 = 0
⇒ tiếp tuyến song song có dạng x + 2y + c = 0

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bằng R
|−1 + 2.3 + c| / √(1^2 + 2^2) = √5

|−1 + 6 + c| / √5 = √5
|5 + c| = 5

⇒ 5 + c = 5 hoặc 5 + c = −5
⇒ c = 0 hoặc c = −10

Vậy các tiếp tuyến là
x + 2y = 0
x + 2y − 10 = 0

nguyễn phương thảo
Xem chi tiết

Câu 1. x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0
<=> (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 nên tâm I(-1,4), bán kính R = 5

Đường thẳng cần tìm có dạng 3x + 4y + c = 0

Khoảng cách từ I đến d là d = |3(-1) + 4.4 + c| / 5 = |13 + c| / 5

Độ dài dây cung l = 2√(R^2 - d^2) = 6
<=> √(25 - d^2) = 3
<=> d^2 = 16 => d = 4

=> |13 + c| / 5 = 4
=> |13 + c| = 20
=> c = 7 hoặc c = -33

Vậy phương trình cần tìm
3x + 4y + 7 = 0
3x + 4y - 33 = 0


nguyễn phương thảo
Xem chi tiết

Câu 1. x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0
<=> (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 nên tâm I(-1,4), bán kính R = 5

Đường thẳng cần tìm có dạng 3x + 4y + c = 0

Khoảng cách từ I đến d là d = |3(-1) + 4.4 + c| / 5 = |13 + c| / 5

Độ dài dây cung l = 2√(R^2 - d^2) = 6
<=> √(25 - d^2) = 3
<=> d^2 = 16 => d = 4

=> |13 + c| / 5 = 4
=> |13 + c| = 20
=> c = 7 hoặc c = -33

Vậy phương trình cần tìm
3x + 4y + 7 = 0
3x + 4y - 33 = 0

nguyễn phương thảo
Xem chi tiết

Câu 1. Hai đường thẳng d1 và d2 song song nên tâm I nằm trên đường trung trực giữa chúng

Khoảng cách giữa d1 và d2
= |3 - 9| / √(1^2 + 2^2) = 6 / √5

Bán kính r = 1/2 khoảng cách = 3 / √5

Tâm I thuộc đường trung trực nên có phương trình x + 2y + 6 = 0
Kết hợp với d: x + y + 1 = 0

Giải hệ
x + y + 1 = 0
x + 2y + 6 = 0

=> y = -5, x = 4

Vậy tâm I(4, -5), bán kính r = 3/√5

Phương trình đường tròn
(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 9/5