Vòng 1 đến đây là kết thúc ! Cảm ơn các bạn đã tham gia cuộc thi của mình . Sau đây là 31 bạn xuất sắc nhất được chọn vào vòng 2 .
1 . Soyeon_Tiểubàng giải +1 điểm vào vòng 2
2 . Hoàng Thảo Linh + 0,75đ vào vòng 2
3 . Truy Kích + 0,75đ vào vòng 2
4. Shinichi Kudo + 0,75đ vào vòng 2
5 . Nguyễn Xuân Tiến 24 + 0,75đ vào vòng 2
6 . Nhật Minh + 0,75đ vào vòng 2
7 . Phạm Phương Anh + 0,75đ vào vòng 2
8 . Ngô Tấn Đạt + 0,75đ vào vòng 2
9 . Hà Linh + 0,75đ vào vòng 2
10 . Nguyễn Thị Hồng Nhung + 0,75đ vào vòng 2
11 . Nhã Doanh + 0,75đ vào vòng 2
12 . Aki Tsuki + 0,75đ vào vòng 2
13 . nguyen thi vang + 0,5đ vào vòng 2
14 . kuroba kaito + 0,5đ vào vòng 2
15 . Luân Đào + 0,5đ vào vòng 2
16 . Diệp Băng Dao + 0,5đ vào vòng 2
17 . Nguyễn Công Tỉnh + 0,5đ vào vòng 2
18 . Hiếu Cao Huy + 0,5đ vào vòng 2
19 . Ngô Thanh Sang + 0,5đ vào vòng 2
20 . Dương Nguyễn + 0,5đ vào vòng 2
21 . Phùng Khánh Linh + 0,5đ vào vòng 2
22 . hattori heiji + 0,5đ vào vòng 2
23 . Feed Là Quyền Công Dân + 0,25đ vào vòng 2 .
24 . Phạm Ánh Tuyết + 0,25đ vào vòng 2
25 . Trần Quốc Lộc + 0,25đ vào vòng 2
26 . Cold Wind + 0,25đ vào vòng 2
27 . Mysterious Person + 0,25đ vào vòng 2
28 . Tâm Trần Huy + 0,25đ vào vòng 2
29 . Mến Vũ + 0,25đ vào vòng 2
30 . Kim Tuyến + 0,25đ vào vòng 2
31 . Bastkoo+ 0,25đ vào vòng 2
Cảm ơn những bạn còn lại dù rằng không được vào vòng 2 nhưng các bạn đã cố gắng hết sức và mình còn năm sau nữa nhé ^^ . Nhờ thầy phynit tặng 31 bạn trên mỗi bạn 3GP ạ .
ĐÁP ÁN VÒNG 1 . Cuộc Thi Toán do Dương Phan Khánh Dương tổ chức .
Bài 1 :
a ) ĐKXĐ \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne4\\x\ne9\end{matrix}\right.\)
b )
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}\right)}\)
c )
\(P< O\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{x}}< 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}-2< 0\) ( Vì \(x>0\) ) \(\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có : \(x\in\left\{1;2;3\right\}\)thì \(P< 0\)
d )
Ta có : \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+3-2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\)
Theo BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :
\(\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+1\times\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\ge2\sqrt{3}-4\) Hay \(\dfrac{1}{P}\ge2\sqrt{3}-4\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=4-2\sqrt{3}\\\sqrt{x}+1=-\sqrt{3}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của \(\dfrac{1}{P}\) là \(2\sqrt{3}-4\) . Dấu \(''="\) xảy ra khi \(x=4-2\sqrt{3}\)
Bài 2 :
a )
\(A=x^2-2xy+y^2+4x-4y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4-9\)
\(=\left(x-y+2\right)^2-3^2\)
\(=\left(x-y-1\right)\left(x-y+5\right)\)
b )
\(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(=x^4+x^3+x^3+x^2+x^2+x+x+1\)
\(=x^2\left(x^2+x+1\right)+x\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)
\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\)
Do \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\ge\dfrac{9}{16}\)
Vậy GTNN của P là \(\dfrac{9}{16}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{2}\)
c )
\(Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1\)
\(=x^6+2x^5+x^4+x^4+2x^3+x^2+x^2+x+x+1\)
\(=x^2\left(x^4+2x^3+x^2\right)+\left(x^4+2x^3+x^2\right)+x+2\)
\(=x^2\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)^2+x+2\)
\(=x^2+x+3=4\)
Bài 3
\(2xy+x+y=83\)
\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y=166\)
\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y+1=167\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)=167\)
Ta có : \(Ư\left(167\right)=-167;-1;1;167\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x+1=-167\\2y+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-84\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x+1=167\\2y+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=83\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy các cặp x , y gồm : \(\left(x;y\right)=\left(-84;1\right)\) và hoán vị . \(\left(x;y\right)=\left(83;0\right)\) và hoán vị .
b )
Ta có :
\(y^2+2xy-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2+3x+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
VT là một số chính phương . VP là tích 2 số nguyên liên tiếp . Hai vế bằng nhau khi VP phải bằng 0 .
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy ..........................
Bài 4 :
Kẻ \(AK\perp BC\left(K\in BC\right)\)
Gọi H là giao điểm của AK và DE . Theo bài ra ta có :
\(\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{4}{5}\)
Vì DE//BC nên theo hệ quả của định lý ta-léc độ dài 3 cạnh của tam giác ADE sẽ tương ứng với độ dài 3 cạnh tam giác ABC
\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AH}{AK}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)
\(\Rightarrow S_{BDEC}=\dfrac{9}{25}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{25}{9}.S_{BDEC}=\dfrac{25}{9}.36=100cm^2\)
Vậy ....................
Bài 5 :
GTNN :
\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2+x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{x^2-x+1+2x^2+4x+2}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\)
Ta có : \(\left(x+1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(MIN_B=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=-1\)
+ GTLN
\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2-x+1\right)-2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}=3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\)
Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\ge0\left(\forall x\right)\)
\(\Rightarrow3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le3\)
Vậy \(MAX_B=3\) khi \(x=1\)
