Bài 14.

Áp dụng định lí hàm số Cô sin, ta có:

\(\dfrac{{{\mathop{\rm tanA}\nolimits} }}{{\tan B}} = \dfrac{{\sin A.\cos B}}{{\cos A.\sin B}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}} \)

Bài 19.

Áp dụng định lí sin và định lí Cô sin, ta có:

\( \cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}} = \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\left( {dpcm} \right) \)

Bài 16.

Đối với tam giác ABC ta có: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}{h_C}.c = \dfrac{{abc}}{{4R}} \)

Ta suy ra \({h_c} = \dfrac{{ab}}{{2R}} \). Tương tự ta có \({h_b} = \dfrac{{ac}}{{2R}},{h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}} \)

Do đó:

\(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right) = 2R\dfrac{{b + c}}{{abc}}\ \)mà $b + c = 2a$

Nên \(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{{2R.2a}}{{abc}} = \dfrac{{2R.2}}{{bc}} = \dfrac{2}{{{h_a}}} \)

Vậy \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} \)

ai giải dùm mik xem cái, nhớ vẽ hình

a)Xét đồng dạng ms đc, bằng nhua cái kiểu j

Xét ABM và ACN có góc A chung góc N=M=90

b/Từ 2 tam giác đồng dạng bằng nhau ở a➩AN/AC=AM/AB,Lại có góc A chung nên suy ra AMN đồng dạng ABC

2 tgiac vuog BHK và BCM đồng dạng vì chung góc B➩BH/BC=BK/BM➩BH.BM=BC.BK(1)

2 tgiac vuog CHK và CBN đôg dạng vì chung góc C➩CH/CB=CK/CN➩CH.CN=BC.CK(2)

Công (1) và (2) suy ra BH.BM+CH.CN=BC(BK+CK)=BC bình

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ ;\,\,\widehat B\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HBA\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow A{B^2} = BC.HB\)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\,\,\widehat C\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HAC\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CH\)

c) Ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta HBA\) và  nên \(\Delta ABH \backsim \Delta CAH\)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)

d) Ta có:

\(A{B^2} = BC.BH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}}\)

\(A{C^2} = BC.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.CH}}\)

\(A{H^2} = BH.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{BH.CH}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}} + \frac{1}{{BC.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\left( {\frac{1}{{BH}} + \frac{1}{{CH}}} \right)\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BH + CH}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BC}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{A{H^2}}}\end{array}\)

a) Kẻ  \(CE\perp AB\)

Ta có :  \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)

Xét  \(\Delta ACE\)có  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)

b) Kẻ  \(BD\perp AC\)

Xét  \(\Delta ADB\)có  \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)

Lại có :  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)

Xét  \(\Delta BEC\)có  \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)

Xét  \(\Delta BDC\)có  \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)

Từ (3) ; (4) ; (5) và (6)  \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)

c) Xét  \(\Delta ABD\)có  \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :

\(AB^2=BD^2+AD^2\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :

\(BD^2+DC^2=BC^2\)

Ta có :  \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)

\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)

\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)

\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)

\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)

\(=BD^2+DC^2\)

\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)

@Nguyễn Huy Tú, @Akai Haruma, @Phùng Tuệ Minh, @tran nguyen bao quan, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ

Giúp e vs ạ!

E cảm ơn !

Luân Đào, tran nguyen bao quan, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh,

Ribi Nkok Ngok, Nguyễn Huy Tú, Akai Haruma, Lightning Farron,

Nguyễn Thanh Hằng, Mysterious Person, Nguyễn Thị Ngọc Thơ,

?Amanda?, Hoàng Đình Bảo, Hoàng Tử Hà

giúp e vs ạ! Gấp lắm!