Thầy gửi nhé!

Cắt như sau:

Lần 1: Cắt qua tâm chiếc bánh để chia bánh thành 2 nửa bằng nhau.
Lần 2: Cắt tiếp qua tâm, vuông góc với nhát cắt đầu, ta được 4 phần bằng nhau.
Lần 3: Đặt 4 phần đó chồng khít lên nhau rồi cắt ngang một nhát qua giữa chiều dày bánh.

Khi đó mỗi phần lại chia đôi, tổng cộng được 8 miếng bằng nhau.

Đây không phải câu hỏi lớp 12 em nhé.

Câu 15 - cách phổ thông

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, D. BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại I. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) tại M, N.

a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp

Vì E thuộc đường tròn đường kính BC nên
góc BEC = 90 độ.

Mà A, E, B thẳng hàng và H thuộc CE nên
AE vuông góc EH.
Suy ra
góc AEH = 90 độ.

Tương tự, D thuộc đường tròn đường kính BC nên
góc BDC = 90 độ.

Mà A, D, C thẳng hàng và H thuộc BD nên
AD vuông góc DH.
Suy ra
góc ADH = 90 độ.

Vậy
góc AEH = góc ADH = 90 độ,
nên bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp.

b) Chứng minh AB.BE = BI.BC, từ đó suy ra AB.BE + AC.CD = BC²

Trước hết, vì
CE vuông góc AB,
BD vuông góc AC,
nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó AH là đường cao thứ ba, suy ra
AH vuông góc BC.
Vì I = AH cắt BC nên
AI vuông góc BC.

Xét hai tam giác ABI và EBC:

góc AIB = 90 độ, góc BEC = 90 độ,
góc ABI = góc EBC = góc ABC.

Vậy
tam giác ABI đồng dạng tam giác EBC.

Suy ra
AB / BC = BI / BE.

Nhân chéo, được
AB.BE = BI.BC.

Tiếp theo, xét hai tam giác ACI và DBC:

góc AIC = 90 độ, góc BDC = 90 độ,
góc ACI = góc DCB = góc ACB.

Vậy
tam giác ACI đồng dạng tam giác DBC.

Suy ra
AC / BC = CI / CD.

Nhân chéo, được
AC.CD = CI.BC.

Cộng hai đẳng thức:
AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC
= BC.(BI + CI).

Mà I thuộc BC nên
BI + CI = BC.

Vậy
AB.BE + AC.CD = BC.BC = BC².

Đpcm.

c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng

Gọi (w) là đường tròn đường kính AO.

Vì AM là tiếp tuyến của (O) tại M nên
OM vuông góc AM,
suy ra
góc AMO = 90 độ.
Do đó M thuộc đường tròn (w).

Tương tự, vì AN là tiếp tuyến của (O) tại N nên
ON vuông góc AN,
suy ra
góc ANO = 90 độ.
Do đó N cũng thuộc đường tròn (w).

Vậy M và N là hai giao điểm của hai đường tròn:

Suy ra MN là trục đẳng phương của hai đường tròn ấy.

Bây giờ ta sẽ chứng minh H nằm trên trục đẳng phương, tức là H có cùng công suất đối với hai đường tròn.

Công suất của H đối với đường tròn (O):

Do H nằm trên các cát tuyến HBD và HCE của đường tròn (O), nên
Pow(O)(H) = HB.HD = HC.HE.

Ta lấy
Pow(O)(H) = HB.HD.

Công suất của H đối với đường tròn (w):

Ta có AI vuông góc BC, mà O, I cùng thuộc BC nên
AI vuông góc OI.
Suy ra
góc AIO = 90 độ,
nên I thuộc đường tròn (w).

Mà A, H, I thẳng hàng, nên
Pow(w)(H) = HA.HI.

Vậy chỉ cần chứng minh
HB.HD = HA.HI.

Xét hai tam giác HBI và HAD:

góc HIB = 90 độ vì HI vuông góc BC,
góc HDA = 90 độ vì HD thuộc BD và BD vuông góc AC, còn DA thuộc AC.

Lại có
góc HBI là góc tạo bởi HB và BI.
Vì HB vuông góc AC, BI thuộc BC nên
góc HBI = 90 độ - góc ACB.

Còn góc HAD là góc tạo bởi HA và AD.
Vì HA vuông góc BC, AD thuộc AC nên
góc HAD = 90 độ - góc ACB.

Do đó
góc HBI = góc HAD.

Suy ra
tam giác HBI đồng dạng tam giác HAD.

Từ đồng dạng, ta có
HB / HA = HI / HD.

Nhân chéo:
HB.HD = HA.HI.

Vậy
Pow(O)(H) = Pow(w)(H).

Suy ra H nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (w), tức là
H thuộc MN.

Do đó ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Kết luận:
a) AEHD là tứ giác nội tiếp.
b) AB.BE = BI.BC và AB.BE + AC.CD = BC².
c) M, H, N thẳng hàng.

Câu 14 - cách phổ thông

Cho đường tròn (O), bán kính R, dây BC cố định. A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE cắt nhau tại H, BE cắt lại đường tròn tại F (F khác B).

a) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp

Vì AD là đường cao nên AD vuông góc BC.
Mà D thuộc BC, H thuộc AD nên
góc CDH = 90 độ.

Vì BE là đường cao nên BE vuông góc AC.
Mà E thuộc AC, H thuộc BE nên
góc CEH = 90 độ.

Suy ra
góc CDH + góc CEH = 180 độ.

Vậy tứ giác DHEC nội tiếp.

b) Chứng minh I là trung điểm của HM và tính AF khi BC = R.căn 3

Chứng minh I là trung điểm của HM

Vì OI vuông góc BC nên I là trung điểm của dây BC.

Lại có AM là đường kính của (O) nên
góc ABM = 90 độ, suy ra BM vuông góc AB,
góc ACM = 90 độ, suy ra CM vuông góc AC.

Mà H là trực tâm nên
CH vuông góc AB,
BH vuông góc AC.

Do đó
BM song song CH,
CM song song BH.

Suy ra tứ giác BHMC là hình bình hành.

Trong hình bình hành BHMC, hai đường chéo BC và HM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của HM.

Vậy I là trung điểm của HM.

Tính AF khi BC = R.căn 3

Vì A nằm trên đường tròn (O) nên góc BAC là góc nội tiếp chắn dây BC.
Do đó
BC = 2R.sin góc BAC.

Theo giả thiết
BC = R.căn 3,
nên
2R.sin góc BAC = R.căn 3
suy ra
sin góc BAC = căn 3 / 2.

Vì tam giác ABC nhọn nên
góc BAC = 60 độ.

Mặt khác, B, E, F thẳng hàng nên
góc ABF = góc ABE.

Trong tam giác vuông ABE tại E, ta có
góc ABE = 90 độ - góc BAE = 90 độ - góc BAC = 30 độ.

Vậy
góc ABF = 30 độ.

Vì góc ABF là góc nội tiếp chắn dây AF của đường tròn (O), nên
AF = 2R.sin góc ABF = 2R.sin 30 độ = R.

Kết luận:
I là trung điểm của HM và AF = R.

c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A để DH.DA lớn nhất

Ta xét hai tam giác HCD và BAD.

Có
góc HDC = 90 độ vì HD thuộc AD và AD vuông góc BC,
góc ADB = 90 độ vì AD vuông góc BC.

Lại có
góc HCD là góc tạo bởi HC và CD.
Mà HC vuông góc AB, CD thuộc BC nên
góc HCD = 90 độ - góc ABC.

Còn góc BAD là góc tạo bởi BA và AD.
Mà AD vuông góc BC nên
góc BAD = 90 độ - góc ABC.

Vậy
góc HCD = góc BAD.

Suy ra
tam giác HCD đồng dạng tam giác BAD.

Từ đó
HD / BD = CD / AD.

Suy ra
HD.AD = BD.CD.

Hay
DH.DA = DB.DC.

Mà BC cố định nên
DB + DC = BC
là một hằng số.

Với tổng không đổi, tích DB.DC lớn nhất khi và chỉ khi
DB = DC.

Do đó
DH.DA lớn nhất khi D là trung điểm của BC.

Mà AD vuông góc BC, nếu D là trung điểm của BC thì AD là đường trung trực của BC.
Suy ra
AB = AC.

Trên đường tròn (O), điều đó có nghĩa là A là trung điểm của cung lớn BC.

Vậy:
DH.DA lớn nhất khi A là trung điểm của cung lớn BC của đường tròn (O).

Em không gửi những câu spam nhé.

Bài giải Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là tia phân giác, D thuộc BC. Kẻ DH vuông góc AB tại H, DK vuông góc AC tại K. Gọi M = BK ∩ HD, N = HC ∩ DK, I = BK ∩ HC. a) Chứng minh ΔBHM đồng dạng ΔKDM, từ đó suy ra BM.HD = HM.BK Ta có: BH thuộc AB, HM thuộc HD, mà AB vuông góc HD nên ∠BHM = 90 độ. KD thuộc DK, DM thuộc HD, mà DK vuông góc HD nên ∠KDM = 90 độ. ∠BMH = ∠KMD vì đều là góc tạo bởi hai đường thẳng BK và HD. Suy ra: ΔBHM đồng dạng ΔKDM (g-g). Do đó: BM/KM = HM/DM = BH/KD. (1) Từ BM/KM = HM/DM suy ra: BM.DM = HM.KM. (2) Mà HD = HM + DM, BK = BM + KM. Nên BM.HD = BM(HM + DM) = BM.HM + BM.DM = BM.HM + HM.KM = HM(BM + KM) = HM.BK. Vậy: BM.HD = HM.BK. b) Chứng minh AHDK là hình vuông và AI vuông góc MN Chứng minh AHDK là hình vuông Vì D nằm trên tia phân giác của góc A nên khoảng cách từ D đến AB và AC bằng nhau, do đó: DH = DK. Lại có: DH vuông góc AB, mà AC vuông góc AB nên DH song song AC. DK vuông góc AC, mà AB vuông góc AC nên DK song song AB. Suy ra: AH song song DK, AK song song DH. Vậy tứ giác AHDK là hình bình hành. Mặt khác: ∠HAK = 90 độ vì AB vuông góc AC. Nên AHDK là hình chữ nhật. Vì hình chữ nhật AHDK có hai cạnh kề bằng nhau: DH = DK nên AHDK là hình vuông. Đặt AH = AK = HD = DK = a. Chứng minh AI vuông góc MN Đặt: HM = x, DM = y. Vì M thuộc HD nên x + y = HD = a. (3) Ta sẽ chứng minh: DN = x, KN = y. (4) Thật vậy: Xét ΔDBH và ΔCBA: ∠DHB = ∠CAB = 90 độ ∠DBH = ∠CBA Suy ra: ΔDBH đồng dạng ΔCBA. Do đó: BH/AB = DH/AC = a/AC. (5) Xét ΔDKC và ΔABC: ∠DKC = ∠BAC = 90 độ ∠DCK = ∠BCA Suy ra: ΔDKC đồng dạng ΔABC. Do đó: CK/AC = DK/AB = a/AB. (6) Nhân (5) và (6), ta được: BH.CK = a². (7) Mặt khác, từ câu a: BH/KD = HM/DM = x/y. Vì KD = a nên BH/a = x/y suy ra BH = ax/y. (8) Từ (7) và (8): CK = a²/BH = a²/(ax/y) = ay/x. (9) Bây giờ xét ΔHND và ΔCNK: ∠HDN = ∠CKN = 90 độ ∠HND = ∠CNK (đều là góc tạo bởi HC và DK) Suy ra: ΔHND đồng dạng ΔCNK. Do đó: HD/CK = DN/KN. Thay HD = a, CK = ay/x vào: a/(ay/x) = DN/KN suy ra x/y = DN/KN. (10) Lại có: DN + KN = DK = a. (11) Từ (10) và (11), suy ra: DN = x, KN = y. Vậy (4) đúng. Dựng hình phụ Qua I kẻ: IP song song AK, cắt AH tại P IQ song song AH, cắt AK tại Q Khi đó APQI là hình chữ nhật, nên: PI = AQ, QI = AP. (12) Lập tỉ số để tìm hướng của AI Xét ΔBPI và ΔBHM: ∠BPI = ∠BHM = 90 độ ∠PBI = ∠HBM Suy ra: ΔBPI đồng dạng ΔBHM. Do đó: PI/HM = BP/BH. Thay PI = AQ, HM = x: AQ/x = BP/BH. (13) Mà BP = BH + HP = BH + (AH - AP) = BH + a - AP. Thay vào (13), rồi dùng BH = ax/y: AQ/x = (ax/y + a - AP)/(ax/y) Suy ra: AQ = a - (y/a)AP hay a.AQ + y.AP = a². (14) Tương tự, xét ΔCQI và ΔCKN: ∠CQI = ∠CKN = 90 độ ∠QCI = ∠KCN Suy ra: ΔCQI đồng dạng ΔCKN. Do đó: QI/KN = CQ/CK. Thay QI = AP, KN = y: AP/y = CQ/CK. (15) Mà CQ = CK + KQ = CK + (AK - AQ) = CK + a - AQ. Thay vào (15), rồi dùng CK = ay/x: AP = a - (x/a)AQ hay x.AQ + a.AP = a². (16) Lấy (14) trừ (16), ta được: (a - x)AQ = (a - y)AP. Do (3): a = x + y nên a - x = y, a - y = x. Vì thế: y.AQ = x.AP suy ra AQ/AP = x/y. (17) Kết luận AI vuông góc MN Trong hình chữ nhật APQI, ta có: tan góc IAH = AQ/AP = x/y. (18) Trong tam giác vuông MDN tại D: tan góc DMN = DN/DM = x/y (vì DN = x, DM = y). (19) Từ (18) và (19), suy ra: góc IAH = góc DMN. Mà AH vuông góc DM nên AI vuông góc MN. Kết luận: AHDK là hình vuông. AI vuông góc MN.

Bài giải Ta dùng phương pháp tọa độ. Đặt hệ trục tọa độ vuông góc với gốc tại D, trục Dx trùng BC, trục Dy trùng AD. Khi đó có thể viết A(0,h), B(-m,0), C(n,0) với h,m,n > 0 và m < n (vì AB < AC nên m < n). Suy ra I là trung điểm của BC nên I((n - m)/2, 0). a) Phương trình các cạnh: AB: hx - my + hm = 0 AC: hx + ny - hn = 0 Vì F là chân đường cao từ C xuống AB nên F là hình chiếu của C lên AB. Vì E là chân đường cao từ B xuống AC nên E là hình chiếu của B lên AC. Từ công thức hình chiếu, ta được: F(m(mn - h²)/(h² + m²), hm(m + n)/(h² + m²)) E(n(h² - mn)/(h² + n²), hn(m + n)/(h² + n²)) Từ hai điểm E, F suy ra phương trình đường thẳng EF là (h² + mn)y + h(m - n)x - 2hmn = 0 Do M = EF ∩ BC, mà BC là trục hoành y = 0, nên M(2mn/(m - n), 0) Bây giờ xét tứ giác BECF. Ta có ∠BEC = 90° và ∠BFC = 90° nên B, E, C, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC. M thuộc BC và cũng thuộc EF, nên theo định lí về lực của điểm M đối với đường tròn (BECF), ta có MB.MC = ME.MF hay MF.ME = MB.MC Đẳng thức thứ nhất đã được chứng minh. Tiếp theo, vì I là trung điểm của BC nên I chính là tâm của đường tròn đi qua B, E, C, F. Do đó IE = IF Lại có ∠EBF = 90° - ∠BAC vì BE vuông góc AC và BF trùng BA. Suy ra góc ở tâm chắn cung EF là ∠EIF = 2∠EBF = 180° - 2∠BAC Trong tam giác cân IEF, ta có ∠FEI = (180° - ∠EIF)/2 = (180° - (180° - 2∠BAC))/2 = ∠BAC Vậy ∠FEI = ∠BAC a) được chứng minh. b) Gọi (Ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Phương trình của (Ω) là x² + y² + (m - n)x + ((mn - h²)/h)y - mn = 0 Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình y = h Thay y = h vào phương trình (Ω), ta được x² + (m - n)x = 0 hay x(x + m - n) = 0 Một nghiệm x = 0 cho điểm A, nên nghiệm còn lại cho điểm G là G(n - m, h) Đặt d = n - m > 0 Khi đó G(d, h) Vì D là gốc tọa độ nên đường thẳng GD có phương trình y = (h/d)x Giao điểm thứ hai của GD với (Ω) là H. Thay y = (h/d)x vào phương trình (Ω), dùng một nghiệm x = d ứng với G, suy ra nghiệm còn lại là xH = -mnd/(h² + d²) Do đó H(-mnd/(h² + d²), -hmn/(h² + d²)) Mặt khác, M(-2mn/d, 0) Từ M và H, ta thấy một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH là (2h² + d², -hd) Vậy điểm bất kỳ trên MH có dạng X(t) = (-2mn/d + t(2h² + d²), -hdt) Cho X(t) thuộc đường tròn (Ω). Thế vào phương trình (Ω), sau khi rút gọn được [d(h² + d²)t - mn][d(4h² + d²)t - (m + n)²] = 0 Nghiệm thứ nhất ứng với điểm H, nên nghiệm còn lại ứng với điểm K là tK = (m + n)² / (d(4h² + d²)) Suy ra xK = -2mn/d + (2h² + d²)(m + n)² / (d(4h² + d²)) yK = -h(m + n)² / (4h² + d²) Rút gọn hoành độ: xK = d(2h² + m² + n²) / (4h² + d²) Vậy K(d(2h² + m² + n²)/(4h² + d²), -h(m + n)²/(4h² + d²)) Bây giờ xét đường thẳng AI. Vì A(0,h), I(d/2,0) nên phương trình AI là 2hx + dy - hd = 0 Thay tọa độ K vào: 2hxK + dyK = 2h . d(2h² + m² + n²)/(4h² + d²) - d . h(m + n)²/(4h² + d²) = hd[4h² + 2m² + 2n² - (m + n)²]/(4h² + d²) = hd[4h² + m² - 2mn + n²]/(4h² + d²) = hd[4h² + (n - m)²]/(4h² + d²) = hd Vậy K thỏa mãn phương trình đường thẳng AI. Suy ra A, I, K thẳng hàng. Kết luận: a) MF.ME = MB.MC và ∠FEI = ∠BAC b) A, I, K thẳng hàng

Cách này nâng cao, thầy sẽ trình bày cách khác phổ thông nhé.

Câu 15

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, D. BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại I. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp

Vì E thuộc đường tròn đường kính BC nên:
góc BEC = 90 độ.
Mà A, E, B thẳng hàng nên:
AE vuông góc CE.

Do H thuộc CE nên:
AE vuông góc EH
=> góc AEH = 90 độ.

Tương tự, D thuộc đường tròn đường kính BC nên:
góc BDC = 90 độ.
Mà A, D, C thẳng hàng nên:
AD vuông góc BD.

Do H thuộc BD nên:
AD vuông góc DH
=> góc ADH = 90 độ.

Vậy:
góc AEH = góc ADH = 90 độ.

Suy ra bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.
Tức là tứ giác AEHD nội tiếp.

b) Chứng minh AB.BE = BI.BC, từ đó suy ra AB.BE + AC.CD = BC^2

Trước hết, vì E thuộc đường tròn đường kính BC nên CE vuông góc AB.
Do đó CE là đường cao từ C của tam giác ABC.

Tương tự, BD vuông góc AC nên BD là đường cao từ B.

Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
Vì vậy AH là đường cao thứ ba, nên:
AH vuông góc BC tại I.

Xét tam giác vuông BEC:
cos B = BE/BC
=> BE = BC cos B. (1)

Xét tam giác vuông ABI:
cos B = BI/AB
=> BI = AB cos B. (2)

Từ (1) và (2):
AB.BE = AB.(BC cos B)
= BC.(AB cos B)
= BC.BI.

Vậy:
AB.BE = BI.BC.

Tương tự:

Xét tam giác vuông BCD:
cos C = CD/BC
=> CD = BC cos C. (3)

Xét tam giác vuông ACI:
cos C = CI/AC
=> CI = AC cos C. (4)

Từ (3) và (4):
AC.CD = BC.CI.

Cộng hai đẳng thức:
AB.BE + AC.CD = BC.BI + BC.CI
= BC(BI + CI)
= BC.BC
= BC^2.

Đpcm.

c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng

Ta dùng tọa độ.

Đặt:
B(-1,0), C(1,0), O(0,0).

Khi đó đường tròn (O) đường kính BC có phương trình:
x^2 + y^2 = 1.

Gọi A(p,q), với q > 0.
Vì tam giác ABC nhọn nên A nằm phía trên BC và ở ngoài đường tròn này.

Tìm tọa độ H

Vì AH vuông góc BC nên AH là đường thẳng:
x = p.

Đường thẳng AC đi qua C(1,0) và A(p,q), nên có hệ số góc:
mAC = q/(p - 1).

Do đó đường cao qua B có hệ số góc:
mBH = -(p - 1)/q = (1 - p)/q.

Phương trình đường cao qua B:
y = (1 - p)(x + 1)/q.

Cho x = p, ta được:
yH = (1 - p)(p + 1)/q = (1 - p^2)/q.

Vậy:
H(p, (1 - p^2)/q). (1)

Tìm phương trình đường thẳng MN

Lấy một tiếp điểm bất kỳ T(x0,y0) của tiếp tuyến từ A đến đường tròn.

Vì T thuộc đường tròn:
x0^2 + y0^2 = 1.

Tiếp tuyến của đường tròn x^2 + y^2 = 1 tại T(x0,y0) có phương trình:
x0 x + y0 y = 1.

Do A(p,q) nằm trên tiếp tuyến đó nên:
p x0 + q y0 = 1.

Điều này đúng với cả hai tiếp điểm M và N.
Vậy cả M và N đều thuộc đường thẳng:
p x + q y = 1.

Suy ra:
MN có phương trình p x + q y = 1. (2)

Kiểm tra H có thuộc MN hay không

Thế tọa độ H từ (1) vào (2):
p.p + q.(1 - p^2)/q = p^2 + 1 - p^2 = 1.

Vậy H thuộc đường thẳng MN.

Suy ra ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Kết luận:
a) Tứ giác AEHD nội tiếp.
b) AB.BE = BI.BC và AB.BE + AC.CD = BC^2.
c) Ba điểm M, H, N thẳng hàng.