Violympic toán 8

Bài 2: 

a: Ta có: \(A=3x^2+x+2\)

\(=3\left(x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\right)\)

\(=3\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{23}{36}\right)\)

\(=3\left(x+\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{23}{12}\ge\dfrac{23}{12}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{6}\)

a: Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác MBND có 

MB//ND

MB=ND

Do đó: MBND là hình bình hành

Suy ra: MD//BN và MD=BN(1)

b: Xét tứ giác AMND có 

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Suy ra: I là trung điểm của DM

hay \(IM=\dfrac{DM}{2}\left(2\right)\)

Xét tứ giác BMNC có 

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Suy ra: K là trung điểm của BN

hay \(KN=\dfrac{BN}{2}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IM//KN và IM=KN

Xét tứ giác INKM có 

IM//KN

IM=KN

Do đó: INKM là hình bình hành

\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=m^2-2n\\ x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=m^3-3mn\\ \Rightarrow x^5+y^5=\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)-x^2y^2\left(x+y\right)=\left(m^3-3mn\right)\left(m^2-2n\right)-n^2m\\ \Rightarrow x^7+y^7=\left(x^2+y^2\right)\left(x^5+y^5\right)-x^2y^2\left(x^3+y^3\right)=.....\)

tick mik nha

a) \(N=-1-x-x^2=-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{3}{4}=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\le-\dfrac{3}{4}\)

\(maxN=-\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

b) \(B=3x^2+4x-13=3\left(x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}\right)-\dfrac{35}{3}=3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{35}{3}\ge-\dfrac{35}{3}\)

\(minB=-\dfrac{35}{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\)

a: Ta có: \(N=-x^2-x-1\)

\(=-\left(x^2+x+1\right)\)

\(=-\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\le-\dfrac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{2}\)

b: ta có: \(B=3x^2+4x-13\)

\(=3\left(x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{13}{3}\right)\)

\(=3\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{43}{9}\right)\)

\(=3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{43}{3}\ge-\dfrac{43}{3}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{2}{3}\)

1:

Ta có: \(A=x^2-4x+24\)

\(=x^2-4x+4+20\)

\(=\left(x-2\right)^2+20\ge20\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

1. Tìm max, min

\(A=x^2-4x+24=\left(x-2\right)^2+20\ge20\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(A_{min}=20\) khi \(x=2\)

\(B=3x^2+x-1=\left(x\sqrt{3}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2-\dfrac{13}{12}\ge-\dfrac{13}{12}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x\sqrt{3}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}\)

Vậy \(B_{min}=-\dfrac{13}{12}\) khi \(x=-\dfrac{1}{6}\)

\(C=-5x^2-4x+1=-\left(x\sqrt{5}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2+\dfrac{9}{5}\le\dfrac{9}{5}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x\sqrt{5}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{5}\)

Vậy \(C_{max}=\dfrac{9}{5}\) khi \(x=-\dfrac{2}{5}\)

\(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-x\left(x-3\right)\left(x+3\right)=10\\ \Leftrightarrow x^3-8-x\left(x^2-9\right)=10\\ \Leftrightarrow x^3-8-x^3-9x=10\\ \Leftrightarrow-9x=18\\ \Leftrightarrow x=-2\)

x=2

(x−2)(x2+2x+4)−x(x−3)(x+3)=10⇔x3−8−x(x2−9)=10⇔x3−8−x3−9x=10⇔−9x=18⇔x=−2