Violympic toán 8

Nguyễn Việt Lâm
9 giờ trước (11:52)

Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)

\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)

Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên

Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c

\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)

(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Hôm qua lúc 21:14

\(\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{8}=0,125\right)\)

\(\dfrac{4}{7}x=1\)

->x=1:\(\dfrac{4}{7}\)

-> x= \(\dfrac{7}{4}\)

Bình luận (0)

Ta có: \(\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-0.125\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{7}x=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}=1\)

hay \(x=\dfrac{7}{4}\)

Vậy: \(x=\dfrac{7}{4}\)

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Hôm qua lúc 21:03

vừa chị làm rồi em ko hiểu à?

Bình luận (1)

Ta có: \(\dfrac{-3}{7}-\dfrac{4}{7}:x=-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{7}:x=\dfrac{-3}{7}+2=\dfrac{11}{7}\)

hay \(x=\dfrac{11}{7}:\dfrac{4}{7}=\dfrac{11}{7}\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{11}{4}\)

Vậy: \(x=\dfrac{11}{4}\)

 

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Hôm qua lúc 20:53

\(-\dfrac{4}{7}:x=-\dfrac{3}{7}+2\)

\(-\dfrac{4}{7}:x=\dfrac{11}{7}\)

-> x= \(\dfrac{-4}{11}\)

Bình luận (0)

Ta có: \(\dfrac{-3}{7}-\dfrac{4}{7}:x=-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{7}:x=\dfrac{-3}{7}+2=\dfrac{11}{7}\)

hay \(x=\dfrac{11}{7}:\dfrac{4}{7}=\dfrac{11}{7}\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{11}{4}\)

Vậy: \(x=\dfrac{11}{4}\)

 

Bình luận (0)

\(\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4}{5}x=\dfrac{3}{5}\\ \dfrac{4}{5}x=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\\ \dfrac{4}{5}x=1\\ x=1:\dfrac{4}{5}\\ x=\dfrac{5}{4}\)

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Hôm qua lúc 20:47

\(\dfrac{4}{5}x=\dfrac{3}{5}-\dfrac{-2}{5}\)

\(\dfrac{4}{5}x=1\)

-> x= \(\dfrac{5}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
23 giờ trước (21:38)

Ta có: \(\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4}{5}x=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{5}x=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1\)

hay \(x=\dfrac{5}{4}\)

Vậy: \(x=\dfrac{5}{4}\)

Bình luận (0)

Ta có: \(\dfrac{-1}{3}\cdot\dfrac{141}{17}-\dfrac{39}{3}\cdot\dfrac{-1}{17}\)

\(=\dfrac{-1}{3}\cdot\dfrac{141}{17}-\dfrac{-1}{3}\cdot\dfrac{39}{17}\)

\(=\dfrac{-1}{3}\cdot\left(\dfrac{141}{17}-\dfrac{39}{17}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{3}\cdot6=-2\)

Bình luận (0)
Hồng Nhan
Hôm qua lúc 18:44

undefined

Bình luận (0)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{2}{2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)

Lại có:

\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{a}{b}+1\right)}+\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{b}{a}+1\right)}=\dfrac{1}{ab+1}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{c\left(c+1\right)+c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (1)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN