\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

a.

\(\frac{3x-36}{12}=\frac{5y-45}{15}=\frac{z-1}{1}=\frac{3x+5y-z-50}{26}=\frac{-48}{26}\)

\(\Rightarrow\frac{x-12}{4}=\frac{-48}{26}\Rightarrow x=...\)

Tương tự với y, z, nhưng chắc bạn nhầm đề, nếu pt bên dưới là -2 thì nó ra \(\frac{-52}{26}=-2\) kết quả đẹp hơn nhiều

b. Không rõ đề

c.

\(x+y+z=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=81=3.27=3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow\frac{3}{x}=1\Rightarrow x=y=z=3\)

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

Mới nghĩ ra 3 câu:

a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)

c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)

\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)

d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm

Mn giúp e vs ạ! Thanks!

Ta có: \(a+b+c=1 \)

\(\Leftrightarrow(a+b+c)^2=1 \)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0 (1) \)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{(x+y+z)}{\left(a+b+c\right)}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x=a\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow y=b.\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow z=c.\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=ab.\left(x+y+z\right)^2+bc.\left(x+y+z\right)^2+ca.\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=\left(ab+bc+ca\right).\left(x+y+z\right)^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(xy+yz+zx=0\)

1, Mk nghĩ là yêu cầu: Tính \(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}\) theo x,y,z

Có \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2+xz=b\\z^2+xy=c\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3+xyz=by\\z^3+xyz=cz\end{matrix}\right.\)

Có: \(ax-by-cz=x^3-xyz-y^3-xyz-z^3-xyz=x^3-y^3-z^3-3xyz\)

=\(\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-z^3-3xyz\)

=\(\left(x-y-z\right)\left[\left(x-y\right)^2+z\left(x+y\right)+z^2\right]+3xy\left(x-y-z\right)\)

=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2-2xy+y^2+xz+yz+z^2+3xy\right)\)

=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\right)\)

=>\(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}=x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\)

Bài 2 là loại bài buồn ngủ, cách làm cơ bản như sau:

Nhìn hệ số dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(x=y\), vậy để tìm hệ số, ta thiết lập các BĐT sau:

\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(a^2x^2+b^2z^2\ge2abxz\) ; \(a^2y^2+b^2z^2\ge2abyz\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)x^2+\left(a^2+1\right)y^2+2b^2z^2\ge2\left(xy+abyz+abzx\right)\) (1)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2b^2}{a^2+1}=\frac{9}{2}\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4b^2=9a^2+9\\a=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4b^2=\frac{9}{b^2}+9\Rightarrow4b^4-9b^2-9=0\Rightarrow b=\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Hệ số đã xong, vậy thì bài toán được giải như sau:

Ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(\frac{1}{3}y^2+3z^2\ge2yz\) ; \(\frac{1}{3}x^2+3z^2\ge2xz\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{4}{3}\left(x^2+y^2+\frac{9}{2}z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\sqrt{2};z=\frac{\sqrt{2}}{3}\\x=y=-\sqrt{2};z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

@Nguyễn Việt Lâm

?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương

giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!

Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:

1/ Đặt \(m=n-2008>0\)

\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương

\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương

m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương

\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)

b/

\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)

\(\Rightarrow x=y=4\)

2/

\(A\ge\frac{8a^2+1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}+b^2-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+b^2+a-\frac{1}{4}\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2+1-b-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b/ Giả thiết tương đương:

\(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=2\)

Hình như bạn ghi nhầm biểu thức

Đặt \(\left(\frac{a}{b+1};\frac{b}{a+1}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\0\le x;y\le2\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)=1+x^3+y^3+\left(xy\right)^3\)

\(=1+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3\)

\(=\left(xy\right)^3-6xy+9=9-xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\)

Do \(xy\le1\Rightarrow6-\left(xy\right)^2>0\Rightarrow xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\le9\Rightarrow P_{max}=9\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) hay \(\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)

Câu c giống câu này:

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/790896.html

Bạn tham khảo tạm, cách đó quá dài nên chắc chắn ko tối ưu, nó trâu bò quá

Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước