Nguyễn Phương Trâm

\(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\)

\(=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)

\(=\frac{a^2}{2ab+ac}+\frac{b^2}{2bc+ab}+\frac{c^2}{2ac+bc}\)

Ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta được đpcm.

Hihi bài này mình nghĩ lại rồi :3

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là a(m), chiều dài là b(m).

Đk: a,b > 0

Ta có: Nếu tăng mỗi chiều thêm 2m thì diện tích tăng thêm 64m vuông

\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)=64+ab\) (1)

Cho biết chiều dài bằng 4, tăng chiều rộng thêm 2m thì mảnh đất thành hình vuông:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=b\\\left(a+2\right)\left(b+2\right)=64+a\left(a+2\right)\end{matrix}\right.\) (2)

Từ (1,2) giải ra ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=14\\b=16\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài là 16m, chiều rộng là 14m.

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a(m), chiều rộng là b(m).

ĐK: a,b > 0.

Ta có: Nếu tăng mỗi chiều thêm 2m thì diện tích tăng thêm 64m vuông
\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)=64+ab\) (1)

Nếu biết chiều dài 4m, tăng chiều rộng thêm 2m thì mảnh đất trở thành hình vuông:

\(4.\left(b+2\right)=ab\) (2)

Từ (1,2) ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+2\right)\left(b+2\right)=64+ab\\4\left(b+2\right)=ab\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a-2b-68+ab=0\)

Giải ra ta có, à ừm mình thua =))))))))))

Ta có: \(8.2^n+2^{2n+1}=8.2^n+2^n.2=2^n.10\)

\(2^n.10\) luôn có chữ số tận cùng bằng \(0\forall n\in N\)*

1. which

2. so

3. where

4. when

5. when

6. when

7. when

8. that

9. who

10. that

\(\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\)

ĐKXĐ: \(x\ne5,x\ne2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(2-x\right)+3\left(x-5\right)\left(2-x\right)-6\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-15x-4=0\)

Giải pt trên ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=-\frac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy..

\(\Delta=\left(-2\left(m+1\right)\right)^2-4\left(m^2-1\right)\)

\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4m^2+4\)

\(=4m^2+8m+4-4m+4\)

\(=8m+8\)

Để pt có no thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1+x_2+x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow2m+1+m^2-1-1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-1=0\)

Giải pt ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{2}\left(tm\right)\\m=-1-\sqrt{2}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy..

3R luôn á hả bạn?

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4.\left(2m^2-1\right)\)

\(=4m^2-8m^2+4\)

\(=4-4m^2\ge0\forall m\)

Theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m^2-1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x^3_1-x^2_1+x^3_2-x^2_2=2\)

\(\Leftrightarrow x^3_1+x^3_2-\left(x^2_1+x^2_2\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x^2_1-x_1x_2+x^2_2\right)-\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2\right]-\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-2=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left[\left(2m\right)^2-3\left(2m^2-1\right)\right]-\left[\left(2m^2\right)-2\left(2m^2-1\right)\right]-2=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(4m^2-6m^2+1\right)-4m^2+4m^2-2-2=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(-2m^2+1\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow-4m^3+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^3-2m+4=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2m^2-m\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow2m^2-m=-2\)

\(\Leftrightarrow2m^2-m+2=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.2.2=-15< 0\Rightarrow\) Vô no.

??

\(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

Ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow M\ge8\)

\(M=\frac{x^2}{x^2-x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2=Mx^2-Mx+m\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-Mx+M-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-x^2-Mx+M=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(M-1\right)-Mx+M=0\)

\(\Delta=\left(-M\right)^2-4M\left(M-1\right)=M^2-4M^2+4M\)

\(=-3M^2+4M\ge0\)

\(\Rightarrow M\left(3M-4\right)\le0\)

Vậy ...

\(\left\{{}\begin{matrix}2xy+y+2=-8x\\x^2y^2+xy+1=7x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(y+1\right)=-\left(8x+y\right)\\\left(xy+1\right)^2=7x^2+xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\frac{-\left(8x+y\right)}{2}\right]^2=7x^2+xy\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(8x+y\right)^2}{4}=7x^2+xy\)

\(\Leftrightarrow64x^2+16xy+y^2=28x^2+4xy\)

\(\Leftrightarrow36x^2+12xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow6x+y=0\)

\(\Leftrightarrow y=-6x\)

Thay \(y=-6x\) vào phương trình trên ta được:

\(2x\left(-6x\right)+\left(-6x\right)+2=-8x\)

\(\Leftrightarrow-12x^2-6x+2+8x=0\)

\(\Leftrightarrow12x^2-2x-2=0\)

Giải pt trên ta được \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\frac{1}{2}\Rightarrow y_1=-3\\x_2=-\frac{1}{3}\Rightarrow y=2\end{matrix}\right.\)

Bài này thiếu đề. Đề đúng là phải có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) nữa nha bạn.

\(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) \(\Rightarrow ab+bc+ac=abc\)

\(VT=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a^2.a}{a\left(a+bc\right)}+\frac{b^2.b}{b\left(b+ac\right)}+\frac{c^2.c}{c\left(c+ab\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)

Ta có:

\(\frac{3a}{4}+\frac{3b}{4}+\frac{3c}{4}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3a}{4}+\frac{3b}{4}+\frac{3c}{4}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}=VP\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)

\(\RightarrowĐpcm.\)

- Min:

\(A=x\sqrt{4-x^2}\)

ĐK: \(-2\le0\le2\)

\(\Rightarrow2A=2x\sqrt{4-x^2}\)

\(=x^2+2x\sqrt{4-x^2}+4-x^2-4\)

\(=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2-4\ge-4\)

\(\Rightarrow A\ge-2\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{4-x^2}\\x\sqrt{4-x^2}=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2=4-x^2\)

\(\Rightarrow2x^2=4\)

\(\Rightarrow x^2=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\left(ktm\right)\\x=-\sqrt{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A_{min}=-2\) \(\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\)

- Max:

Ta có: \(\sqrt{x^2\left(4-x^2\right)}\le\frac{x^2+4-x^2}{2}=2\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=4-x^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\left(tm\right)\\x=-\sqrt{2}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A_{max}=2\) \(\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)