No choice teen

tên vt sai chính tả kìa...hình như là lừa :v

mong là sẽ ứng tuyển....dù thiếu khá nhiều GP :((

Vì \(x^2+y^2=1999\) là một số lẻ nên x, y khác tính chẵn lẻ. Không mất tổng quát giả sử x chẵn y lẻ

Đặt \(x=2m,y=2n+1\)

\(\Rightarrow1999=x^2+y^2=4m^2+\left(2n+1\right)^2\\ \Leftrightarrow1999=4m^2+4n^2+4n+1\\ \Leftrightarrow4\left(m^2+n^2+n\right)=1998\)

Ta thấy vế trái là một biểu thức chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4 nên pt không tồn tại m, n thỏa mãn.

Tức là phương trình đã cho vô nghiệm.

t vt lại đề giúp:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x-y+4=0\\x+\left(m+1\right)=1\end{matrix}\right.\)

giải hệ pt

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có:

\(\left|x-y\right|=\left|x.1+2y.\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\le\sqrt{\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) vì \(x^2+4y^2=1\)

bài dễ có ai lm ko????? ko có ai thì tui lm nhá

Với a, b > 0

Ta có: \(2\sqrt{a+3}\le\frac{\left(a+3\right)+4}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{a+3}\le\frac{a+2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+3}}\ge\frac{8}{a+7}\)

Ta có: \(2\sqrt{b+3}\le\frac{\left(b+3\right)+4}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{4}{b+7}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{8}{a+7}+\frac{4}{b+7}=\frac{4}{a+7}+\frac{4}{a+7}+\frac{4}{b+7}\)

\(\ge4\left(\frac{1}{a+7}+\frac{1}{a+7}+\frac{1}{b+7}\right)\)

\(\ge4.\frac{9}{2a+b+21}=4.\frac{9}{3+21}=\frac{36}{24}\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy\(\frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x-1}{-15}=\frac{-60}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=900\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\left(\pm30\right)^2\\ \Rightarrow x-1\in\left\{30;-30\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=30\\x-1=-30\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=31\\x=-29\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a. \(\left(x+3\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=4\end{matrix}\right.\)

VẬy...

Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m\ne\pm2\)

+) Nếu \(m=0\) thì \(\left(x;y\right)=\left(4;\frac{5}{2}\right)\) T/m \(x,y>0\)

+) Nếu \(m\ne0;m\ne\pm2\) thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{8-m}{m+2}\\y=\frac{5}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{8-m}{m+2}>0\\\frac{5}{m+2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{8-m}{m+2}>0\\m>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow8>m>-2\)

ĐKXĐ: \(x\ge9\)

\(A=\frac{\sqrt{x-9}}{5x}=\frac{\sqrt{\frac{x-9}{3}}3-3}{5x}\le\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{x-9}{3}+3\right)}{5x}=\frac{\frac{x-9+9}{3}}{10x}=\frac{1}{30}\)

(dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x-9}{3}=3\Leftrightarrow x=18\))

Vậy \(A_{max}=\frac{1}{30}\) (khi và chỉ khi x = 18)

đề thiếu

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\) thì \(a,b,c\in\left[0;2\right]\) và

\(P=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có \(P=ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b^3-a^3\right)+c^3\left(a-b\right)\\ =ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2-c^2\right)\le ab\left(a^2-b^2\right)\le2b\left(4-b^2\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le4b^2\left(4-b^2\right)^2\le2\left[\frac{2b^2+2\left(4-b^2\right)}{3}\right]^3=\frac{1024}{27}\Rightarrow P\le\frac{32\sqrt{3}}{9}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{32\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow a=2,b=\frac{2\sqrt{3}}{3},c=0\) hay \(x=4,y=\frac{4}{3},c=0\)

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\2x-y=m-2\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\4x-2y=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=3m-3\\2y-x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y-m+1=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m\end{matrix}\right.\)

\(P=x^2+y^2=\left(m-1\right)^2+m^2\)

\(=2m^2-2m+1\\=2\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}+1\\ =2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall m\in R\)

Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\) dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

\(\frac{x-4}{2017}+\frac{x-3}{2018}+\frac{x-2}{2019}+\frac{x-1}{2020}=4\\ \Leftrightarrow\left(\frac{x-4}{2017}-1\right)+\left(\frac{x-3}{2018}-1\right)+\left(\frac{x-2}{2019}-1\right)+\left(\frac{x-1}{2020}-1\right)=4-1-1-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2021}{2017}+\frac{x-2021}{2018}+\frac{x-2021}{2019}+\frac{x-2021}{2020}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2021\right)\left(\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2021=0\\\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=2021\)

Vậy...

Đặt \(a=y+z,b=z+x,c=x+y\) (với a > 0, b > 0, c> 0)

\(\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\). Ta có

\(VT\) \(P=\frac{25\left(b+c-a\right)}{2a}+\frac{4\left(c+a-b\right)}{2b}+\frac{9\left(a+b-c\right)}{2c}\)\(=\left(\frac{25b}{2a}+\frac{4a}{2b}\right)+\left(\frac{25c}{2a}+\frac{9a}{2c}\right)+\left(\frac{4c}{2b}+\frac{9b}{2c}\right)-19\ge10+15+6-19=12\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}5b=2a\\5c=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5b+5c=5a\Rightarrow x=0\left(vôlis\right)\)

Vậy BĐT P đúng

1.\(A=2\left|3x-1\right|-4\)

+Có: \(\left|3x-1\right|\ge0với\forall x\\ \Rightarrow2\left|3x-1\right|-4\ge-4\\ \Leftrightarrow A\ge-4\)

+Dấu ''='' xảy ra khi \(\left|3x-1\right|=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

+Vậy \(A_{min}=-4\) khi \(x=\frac{1}{3}\)

2.\(B=10-4\left|x-2\right|\)

+Có: \(-4\left|x-2\right|\le0với\forall x\\ \Rightarrow10-4\left|x-2\right|\le10\\ \Leftrightarrow B\le10\)

+Dấu ''='' xảy ra khi \(\left|x-2\right|=0\Leftrightarrow x=2\)

+Vậy \(B_{max}=10\) khi \(x=2\)

a)\(A=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{x\sqrt{x}-x}{1-\sqrt{x}}\left(ĐK:x>1\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}-\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}{x\left(x-1\right)}-\frac{x\left(\sqrt{x}-1\right)}{1-\sqrt{x}}\\ =\frac{-2\sqrt{x-1}}{1}+x=x-2\sqrt{x-1}\)

b) Với ĐK x > 1

Để A > 0 ta phải có:

\(x-2\sqrt{x-1}>0\\ \Leftrightarrow x>2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x^2>4\left(x-1\right)\left(do,x>1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4>0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2>0\Leftrightarrow x\ne2\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}>0\) và \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0\)

nên \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}=4\)

Dấu đảng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Cách khác: Ta có thể viết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương liên tiếp:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

vt lại thế này cho dễ hiểu:

Cho hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}mx-2y=2\left(1\right)\\2x+my=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\). Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn \(x+y-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\left(3\right)\)

BÀI LÀM:

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow y=\frac{mx-2}{2}\). Thế vào (2) đc

\(2x+m.\frac{mx-2}{2}=5\Leftrightarrow\left(m^2+4\right)x=2m+10\Leftrightarrow x=\frac{2m+10}{m^2+4}\left(m^2>0\right)\)Từ đó tìm đc \(y=\frac{5m-4}{m^2+4}\)

Từ (3) ta có \(\frac{2m+10}{m^2+4}+\frac{5m-4}{m^2+4}-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m+6=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-6\right)=0\Leftrightarrow m\in\left\{1;6\right\}\)

Điều kiện : \(\left(x-1\right)\left(y+1\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\&y>-1\\x< 1\&y< -1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{\frac{x-1}{y+1}}=t>0\Rightarrow\sqrt{\frac{y+1}{x-1}}=\frac{1}{t}\)

Phương trình 2 trở thành \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2=0\Leftrightarrow t=1\)

Do đó \(\sqrt{\frac{x-1}{y+1}}=1\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow x-y=2\)

Hệ đã cho trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}4x-7y=-1\\x-y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=3\end{matrix}\right.\)