a: Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\left(1\right)\)

Xét ΔEAD và ΔECG có

\(\hat{EAD}=\hat{ECG}\) (hai góc so le trong, AD//CG)

\(\hat{AED}=\hat{CEG}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔEAD~ΔECG

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{ED}{EG}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{DA}{DB}=\frac{ED}{EG}\)

=>\(DA\cdot EG=DB\cdot ED\)

b: Xét ΔHEG và ΔHCB có

\(\hat{HEG}=\hat{HCB}\) (hai góc so le trong, EG//CB)

\(\hat{EHG}=\hat{CHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEG~ΔHCB

=>\(\frac{HE}{HC}=\frac{HG}{HB}\) (1)

Xét ΔHGC và ΔHBA có

\(\hat{HGC}=\hat{HBA}\) (hai góc so le trong, GC//BA)

\(\hat{GHC}=\hat{BHA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHGC~ΔHBA

=>\(\frac{HG}{HB}=\frac{HC}{HA}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{HE}{HC}=\frac{HC}{HA}\)

=>\(HC^2=HE\cdot HA\)

\(x=\frac{20^{12}\cdot8^5\cdot3^{14}}{15^{13}\cdot2^{36}}\)

\(=\frac{2^{24}\cdot2^{15}\cdot5^{12}\cdot3^{14}}{5^{13}\cdot3^{13}\cdot2^{36}}=\frac{2^{39}}{2^{36}}\cdot\frac15\cdot3=2^3\cdot\frac35=8\cdot\frac35=\frac{24}{5}\)

a: Xét (O) có

\(\hat{BA^{\prime}A}\) là góc nội tiếp chắn cung BA

\(\hat{BCA}\) là góc nội tiếp chắn cung BA

Do đó: \(\hat{BA^{\prime}A}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)

nên \(\hat{BHA^{\prime}}=\hat{BA^{\prime}H}\)

=>ΔBHA' cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là đường trung trực của HA'

=>A' đối xứng H qua BC

b:

XétΔABC có

AD,BE là các đường cao

AD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BK⊥BA

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CK⊥CA

mà BH⊥CA

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

c: Gọi M là giao điểm của HK và BC

BHCK là hình bình hành

=>HK cắt BC tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của BC và HK

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và AG=2/3AM

XétΔAHK có

AM là đường trung tuyến

AG=2/3AM

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHK

Xét ΔAHK có

G là trọng tâm

O là trung điểm của AK

Do đó: H,G,O thẳng hàng

ĐKXĐ: x<>0; y<>0

\(\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1\)

=>\(\frac{4y+2x}{xy}=1\)

=>xy=2x+4y

=>xy-2x-4y=0

=>x(y-2)-4y+8=8

=>(x-4)(y-2)=8

mà x-4<>-4; y-2<>-2

nên (x-4;y-2)∈{(1;8);(8;1);(-1;-8);(-8;-1);(2;4);(4;2);(-2;-4)}

=>(x;y)∈{(5;10);(12;3);(3;-6);(-4;1);(6;6);(8;4);(2;-2)}

Đặt \(A = (a^3 - b^3 + c^3) - (a - b + c)\)

\(=\left(a^3-a\right)-\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

Vì 3 là số nguyên tố

nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có:

\(a^3-a\) ⋮3; \(b^3-b\) ⋮3; \(c^3-c\) ⋮3

=>A⋮3

=>\(\left(a^3-b^3+c^3\right)-\left(a-b+c\right)\) ⋮3

mà a-b+c=2010=3*670

=>a-b+c⋮3

nên \(a^3-b^3+c^3\) ⋮3

Gọi thời gian máy 1 và máy 2 bơm một mình đầy bể lần lượt là a(phút) và b(phút)

(Điều kiện: a>0; b>0)

1/5 giờ=12 phút

Trong 1 phút, máy 1 bơm được: \(\frac{1}{a}\) (bể)

Trong 1 phút, máy 2 bơm được: \(\frac{1}{b}\) (bể)

Trong 1 phút, hai máy bơm được: \(\frac{1}{12}\) (bể)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\) (1)

Trong 10 phút, máy 1 bơm được: \(10\cdot\frac{1}{a}=\frac{10}{a}\) (bể)

Trong 6 phút, máy 2 bơm được: \(6\cdot\frac{1}{b}=\frac{6}{b}\) (bể)

Nếu máy 1 bơm trong 10p và máy 2 bơm trong 6p thì hai máy bơm được 7/10 bể

=>\(\frac{10}{a}+\frac{6}{b}=\frac{7}{10}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\\ \frac{10}{a}+\frac{6}{b}=\frac{7}{10}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{10}{a}+\frac{10}{b}=\frac{10}{12}=\frac56\\ \frac{10}{a}+\frac{6}{b}=\frac{7}{10}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac{10}{a}+\frac{10}{b}-\frac{10}{a}-\frac{6}{b}=\frac56-\frac{7}{10}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{4}{b}=\frac{25}{30}-\frac{21}{30}=\frac{4}{30}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=30\\ \frac{1}{a}=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{5}{60}-\frac{2}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=30\\ a=20\end{cases}\) (nhận)

Vậy: thời gian máy 1 và máy 2 bơm một mình đầy bể lần lượt là 20(phút) và 30(phút)

a: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

b: Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\hat{AMC}=\hat{DMB}\) (hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>AC=DB

c: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

a: Thay x=-1 vào phương trình, ta được:

-1+5-m=0

=>4-m=0

=>m=4

b: \(x^2+2x+3=0\)

=>\(x^2+2x+1+2=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2+2=0\) (vô lý)

=>Phương trình vô nghiệm

\(P=3+3^2+\cdots+3^{2020}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+\cdots+\left(3^{2019}+3^{2020}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+\cdots+3^{2019}\left(1+3\right)\)

\(=4\left(3+3^3+\cdots+3^{2019}\right)\) ⋮4

a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại