a: Xét ΔMIB vuông tại I và ΔMKC vuông tại K có

MB=MC

\(\widehat{IMB}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMIB=ΔMKC

=>BI=CK

b: Gọi O là giao điểm của CK với AH

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

=>DC\(\perp\)CA tại C

ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC

Xét ΔDCA vuông tại C và ΔBAC vuông tại A có

DC=BA

AC chung

Do đó: ΔDCA=ΔBAC

=>DA=BC

mà AM=MD=AD/2; CM=MB=BC/2

nên AM=MD=CM=MB

Xét ΔMDB và ΔMAC có

MD=MA

\(\widehat{DMB}=\widehat{AMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMDB=ΔMAC

=>\(\widehat{MDB}=\widehat{MAC}\)

mà hai góc ở vị trí so le trong

nên BD//AC

=>BD\(\perp\)BA tại B

Xét ΔNBA vuông tại B và ΔNDC vuông tại D có

NB=ND

BA=DC

Do đó: ΔNBA=ΔNDC

=>NA=NC

=>N nằm trên đường trung trực của AC(3)

Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMKC vuông tại K có

MA=MC

\(\widehat{HMA}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMHA=ΔMKC

=>MH=MK và CK=AH

Xét ΔKCA vuông tại K và ΔHAC vuông tại H có

AC chung

KC=HA

Do đó: ΔKCA=ΔHAC

=>\(\widehat{KCA}=\widehat{HAC}\)

=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)

=>OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2),(3) suy ra O,M,N thẳng hàng

=>CK,AH,MN đồng quy tại O

c:

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(1\right)\)

ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

 \(\left(BC+AH\right)^2=BC^2+2\cdot AH\cdot BC+AH^2\)

\(=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC+AH^2\)

\(=\left(AB+AC\right)^2+AH^2\)

=>\(\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)

=>BC+AH>AB+AC

=>BC-AB>AC-AH

Số chữ số cần dùng để viết số có 1 chữ số là:

(9-1+1)x1=9(chữ số)

Số chữ số cần dùng để viết số có 2 chữ số là:

(99-10+1)x2=180(chữ số)

Số chữ số cần dùng để viết số có 3 chữ số là:

(130-100+1)x3=31x3=93(chữ số)

Tổng số chữ số cần dùng là:

9+180+93=282(chữ số)

a: Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAEB vuông tại E)

\(\widehat{ACF}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAFC vuông tại F)

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(2)

Xét ΔAFO vuông tại F và ΔAEO vuông tại E có

AF=AE

AO chung

Do đó: ΔAFO=ΔAEO

=>OE=OF
=>O nằm trên đường trung trực của EF(1)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của EF

c: Ta có: OE+OB=EB

OF+OC=FC

mà EB=FC và OE=OF

nên OB=OC

Xét ΔABO và ΔACO có

AB=AC

BO=CO

AO chung

Do đó: ΔABO=ΔACO

d: Xét ΔOBC có OB=OC

nên ΔOBC cân tại O

e:

Cách 1: Xét ΔAEF có AE=AF

nên ΔAEF cân tại A

=>\(\widehat{AEF}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(3\right)\)

TA có: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EF//BC

Cách 2: Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

nên EF//BC

Xét ΔNAC và ΔNEB có

NA=NE

\(\widehat{ANC}=\widehat{ENB}\)(hai góc đối đỉnh)

NC=NB

Do đó: ΔNAC=ΔNEB

=>\(\widehat{NAC}=\widehat{NEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BE

Ta có: AC//BE

AC//BD

mà BE,BD có điểm chung là B

nên D,B,E thẳng hàng

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)

\(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk\cdot dk}{bd}=k^2\)

Do đó: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}\)

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại J và J là trung điểm của AB

Ta có: MO\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: MO//AC

Xét ΔMOB vuông tại M và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{MOB}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, OM//AC)

Do đó: ΔMOB~ΔHCA

c: ΔABC vuông tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

nên O là trung điểm của BC

=>\(OB=OC=OA=\dfrac{BC}{2}=R\)

ΔOAM vuông tại A

=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{R^2-x^2}\)

Xét ΔAOM vuông tại A có AJ là đường cao

nên \(AJ\cdot OM=AO\cdot AM\)

=>\(AJ=\dfrac{AO\cdot AM}{OM}=\dfrac{R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}\)

=>\(AB=2\cdot AJ=\dfrac{2\cdot R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=\left(2R\right)^2-\left(\dfrac{2R\sqrt{R^2-x^2}}{x}\right)^2=4R^2-\dfrac{4R^2\cdot\left(R^2-x^2\right)}{x^2}\)

=>\(AC^2=\dfrac{4\cdot R^2\cdot x^2-4R^4+4\cdot R^2\cdot x^2}{x^2}=\dfrac{8R^2x^2-4R^4}{x^2}\)

=>\(AC=\sqrt{\dfrac{4R^2\left(2x^2-R^2\right)}{x^2}}=\dfrac{2R\cdot\sqrt{2x^2-R^2}}{x}\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{2R\cdot\dfrac{\sqrt{2x^2-R^2}}{x}\cdot\dfrac{2\cdot R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}}{2R}=\dfrac{2R\sqrt{\left(2x^2-R^2\right)\left(R^2-x^2\right)}}{x^2}\)

Diện tích xung quanh hồ là:

\(\left(16+8,5\right)\times2\times3=147\left(m^2\right)\)

Diện tích cần lát gạch là:

\(147+16\times8,5=283\left(m^2\right)\)

Độ dài cạnh mỗi viên gạch là:

8:4=2(dm)

Diện tích mỗi viên gạch là:

2x2=4(dm²)=0,04(m²)

Số viên gạch cần dùng là:

283:0,04=7075(viên)

a: ΔNEF vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KE=KF=KN

=>K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔNEF

Ta có: ΔEMF vuông tại M

mà MK là đường trung tuyến

nên KM=KE=KF

=>K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔEMF