a: Xét ΔMIB vuông tại I và ΔMKC vuông tại K có
MB=MC
\(\widehat{IMB}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMIB=ΔMKC
=>BI=CK
b: Gọi O là giao điểm của CK với AH
Xét ΔMAB và ΔMDC có
MA=MD
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMDC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//DC
=>DC\(\perp\)CA tại C
ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC
Xét ΔDCA vuông tại C và ΔBAC vuông tại A có
DC=BA
AC chung
Do đó: ΔDCA=ΔBAC
=>DA=BC
mà AM=MD=AD/2; CM=MB=BC/2
nên AM=MD=CM=MB
Xét ΔMDB và ΔMAC có
MD=MA
\(\widehat{DMB}=\widehat{AMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMDB=ΔMAC
=>\(\widehat{MDB}=\widehat{MAC}\)
mà hai góc ở vị trí so le trong
nên BD//AC
=>BD\(\perp\)BA tại B
Xét ΔNBA vuông tại B và ΔNDC vuông tại D có
NB=ND
BA=DC
Do đó: ΔNBA=ΔNDC
=>NA=NC
=>N nằm trên đường trung trực của AC(3)
Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMKC vuông tại K có
MA=MC
\(\widehat{HMA}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMHA=ΔMKC
=>MH=MK và CK=AH
Xét ΔKCA vuông tại K và ΔHAC vuông tại H có
AC chung
KC=HA
Do đó: ΔKCA=ΔHAC
=>\(\widehat{KCA}=\widehat{HAC}\)
=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)
=>OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1),(2),(3) suy ra O,M,N thẳng hàng
=>CK,AH,MN đồng quy tại O
c:
ΔABC vuông tại A
=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(1\right)\)
ΔABC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
\(\left(BC+AH\right)^2=BC^2+2\cdot AH\cdot BC+AH^2\)
\(=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC+AH^2\)
\(=\left(AB+AC\right)^2+AH^2\)
=>\(\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)
=>BC+AH>AB+AC
=>BC-AB>AC-AH
