Cho x,y,z ko âm t/m xyz=1. CMR
\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+z^2+1}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+x^2+1}\le\frac{1}{2}\)
Cho các số thực x, y, z thõa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(2+x\right)\left(2+\frac{1}{y}\right)}+\frac{1}{\left(2+y\right)\left(2+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\left(2+z\right)\left(2+\frac{1}{x}\right)}\le\frac{1}{3}\)
\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\) (*)
Đặt (x;y;z) -------> \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra (*) <=> \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)
Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1.CMR :
1) A\(=\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\ge1\)
2) B\(=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(y+2\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{1}{2}\)
cau a la bdt vas
con cau b la van dung he qua cua bdt vas
1.Cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3 . CMR:
\(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(z+x\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(x+y\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
2. Cho biểu thức \(f\left(x\right)=\frac{\left(2-m\right)x^2+2\left(m-2\right)x-3m+1}{-4x^2+12x-10}\)
a. Tìm m để f(x) =0 có 2 nghiệm pb
b. tìm m để f(x) > 0 với mọi x ∈ R
Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn xy+yz+zx=3.C/m:
\(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(x+z\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(x+y\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz. Cmr:
\(A=\frac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{xz}+\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}=0\)
Bạn tham khảo tại đây:
cho x,y,z>0 với xy+yz+zx=3
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(x+z\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(y+x\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
1. \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)\
2. \(a,b,c>0.\) cmr: \(\Sigma\frac{a^3}{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{a+b+c}\)
Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:
Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Câu 2:
\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm
Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,
tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,
giúp e vs ạ! thanks trước
Cho xyz=1. Tính \(E=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=xyz
CMR: \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Trả lời
Từ giả thiết x+y+z=xyz <=> 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1
Khi đó: x/1+x2 = \(\frac{1}{\frac{x}{\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}}\)\(=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có:\(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra VT=\(\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
ĐPCM
Ta có:\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{xyz}{yz+x^2yz}=\frac{xyz}{yz+x\left(xyz\right)}=\frac{xyz}{yz+x\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{yz+x^2+xy+xz}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)}\)
\(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\)
Chứng minh tương tự : \(\frac{2y}{1+y^2}=\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
\(\frac{3z}{1+z^2}=\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\)
Khi đó VT \(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
\(=\frac{xyz\left[y+z+2\left(z+x\right)+3\left(x+y\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(đpcm\right)\)
( mình đang vội nên làm hơi tắt mong bạn thông cảm )