\(\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a-1\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\)\(3a\ge2a^2+1\)

\(P=\Sigma\dfrac{a}{b+c+1}\ge\dfrac{1}{3}\Sigma\left(\dfrac{2a^2+1}{b+c+1}\right)\ge\dfrac{1}{3}\Sigma\left(\dfrac{2a^2+1}{a+b+c+\dfrac{1}{2}}\right)\ge\dfrac{\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+3}{3\left(a+b+c+\dfrac{1}{2}\right)}\)

Cần CM: \(\dfrac{4t^2+18}{18t+9}\ge\dfrac{3}{4}\) ( với \(\dfrac{3}{2}\le t=a+b+c\le3\) )

\(\Leftrightarrow\)\(\left(t-\dfrac{15}{8}\right)\left(t-\dfrac{3}{2}\right)\ge0\) ( đúng với \(\dfrac{3}{2}\le t\le3\) ) 

...

\(P=\Sigma\dfrac{a}{b+c+1}\le\Sigma\dfrac{a}{b+c+a}=1\)

Lần sau post gõ latex cho dễ nhìn 

3) \(2P=\left(x^3+x^3+1\right)+2y^2-1\ge3x^2+2y^2-1\)

\(=\frac{3}{2}\left(x^2+1\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}y^2+1\right)+\frac{3}{2}\left(x^2+\frac{1}{4}y^2\right)+\frac{5}{4}y^2-4\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(2x+y+xy\right)+\frac{5}{4}y^2-4\ge\frac{3}{2}.6+\frac{5}{4}.2^2-4=10\)

\(\Rightarrow\)\(P\ge5\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(x=1;y=2\)

bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x^2+y^2+\frac{3}{2}xy\right)\ge0\) đúng với mọi x, y

\(f\left(a+\frac{1}{a}\right)+g\left(a-\frac{1}{a}\right)=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}-2}+\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+2}\)

\(=a-\frac{1}{a}+a+\frac{1}{a}=2a\)

1)

a) Tập hợp các chữ số của 2099: \(A=\left\{0;2;9\right\}\)

b) Tập hợp các chữ số của \(27014\): \(B=\left\{0;1;2;4;7\right\}\)

2)

a) Cách viết \(A\in N\) sai vì A không là một tự nhiên

Cách viết \(A\subset N\) đúng vì các phần tử của A đều thuộc N

3)

a) \(x+y+9=xy-7\)

\(\Leftrightarrow\)\(x-xy+y-1=-17\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\left(1-y\right)-\left(1-y\right)=-17\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)=17\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-1=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=18\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\y-1=-17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-16\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=17\\y-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=18\\y=2\end{matrix}\right.\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-17\\y-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-16\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;18\right),\left(0;-16\right),\left(18;2\right),\left(-16;0\right)\right\}\)

b) \(\left|5\left(2x+3\right)\right|+\left|2\left(2x+3\right)\right|+\left|2x+3\right|=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(8.\left|2x+3\right|=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|2x+3\right|=2\)

+) Với \(2x+3\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\ge\frac{-3}{2}\) ta có :

\(2x+3=2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-1}{2}\) ( nhận )

+) Với \(2x+3< 0\)\(\Leftrightarrow\)\(x< \frac{-3}{2}\) ta có :

\(2x+3=-2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-5}{2}\) ( nhận )

Vậy \(x=\frac{-1}{2}\) hoặc \(x=\frac{-5}{2}\)

4) \(x^2+x+1=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3=1\)\(\Leftrightarrow\)\(x=1\)

\(\Rightarrow\)\(x^n+\frac{1}{x^n}=1^n+\frac{1}{1^n}=2\)

6)

a)

b) Gọi \(DG=a;EG=b\)

Do giao điểm các đường trung tuyến của tam giác cắt ở một điểm cách mỗi đỉnh bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó, \(AM=GM=\frac{1}{2}AG\), \(CN=NG=\frac{1}{2}CG\), ta có :

\(AG=\frac{2}{3}AD\)\(\Leftrightarrow\)\(2GM=\frac{2}{3}AD\)\(\Leftrightarrow\)\(3GM=AM+GM+GD\)

\(\Leftrightarrow\)\(2GM=AM+GD\)

\(\Leftrightarrow\)\(GM=GD\) ( do AM = GM cosiiii :>> )

Chứng minh tương tự với \(EG=GN\)

Có: \(\Delta GME=\Delta GDN\) ( c-g-c ) \(\Rightarrow\)\(EM=ND\)

\(\Delta GMN=\Delta GDE\) ( c-g-c ) \(\Rightarrow\)\(MN=ED\)

Tứ giác MEDN có các cạnh đối bằng nhau EM=ND, MN=ED nên MEDN là hình bình hành ( đpcm )

Vậy MEDN là hình bình hành

7) Cosi :

\(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}\)

\(\ge\frac{1}{\frac{1+1998}{2}}+\frac{1}{\frac{2+1997}{2}}+...+\frac{1}{\frac{k+1998-k+1}{2}}+...+\frac{1}{\frac{1998+1}{2}}\) (*)

\(=\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+...+\frac{2}{1999}\) ( có 1998 số hạng )

\(=2.\frac{1998}{1999}\)

Do dấu "=" ở (*) không xảy ra nên \(S>2.\frac{1998}{1999}\)

9)

CM: \(ab+bc+cd+da=\left(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\right)^2\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\)

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+da+da+bd}=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(ab+bc+cd+da\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2.\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d