Ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}xy+3y-5x-15=xy\\2xy+30x-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=3y-15\\6\left(3y-15\right)-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)

Ta có pt (2) \(\Leftrightarrow3y-y^2-80=0\Leftrightarrow y^2-3y+80=0\left(VN\right)\)

=> hpy vô nghiệm

c) Ta có hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left(xy+x+y\right)=30\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y=11\end{matrix}\right.\)

Đặt j\(xy\left(x+y\right)=a;xy+x+y=b\), ta có hpt

\(\left\{{}\begin{matrix}ab=30\\a+b=11\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5;b=6\\a=6;b=5\end{matrix}\right.\)

với a=5;b=6, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=1;x+y=5\\xy=5;x+y=1\end{matrix}\right.\)

đến đây thì thế y hoặc x ra pt bậc 2, còn TH còn lại bn tự giải nhé !

b) Ta có hpt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-3y+2=-4z^2\\2\sqrt{3x}+4y-2=6z^2\\-3\sqrt{x}+y-4=-2z^2\end{matrix}\right.\)

cộng 3 vế của 3 pt, ta có \(\left(2\sqrt{3}-1\right)\sqrt{x}=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{2\sqrt{3}-1}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}\)

đến đây thay căn(x)=...vào và đặt z^2=m, ta sẽ ra 1 hệ mới chỉ có 2 ẩn y và m bậc 1 , lát thế vào sẽ ra bậc 2 thì dễ rồi !

a, #Góp ý từ nhiều người nhưng họ không giải nên t làm giùm

ĐK: \(x\le3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+1=2\left(xy-x+y\right)\left(1\right)\\x^3+3y^2+5x-12=\left(12-y\right)\sqrt{3-x}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+1-2xy+2x-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x-y+1=0\Leftrightarrow y=x+1\) Thay vào (2)

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow x^3+3\left(x+1\right)^2+5x-12=\left[12-\left(x+1\right)\right]\sqrt{3-x}\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+11x-9=\left(11-x\right)\sqrt{3-x}\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+8x=\left(11-x\right)\sqrt{3-x}+3\left(3-x\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+8x=\left(3-x\right)\sqrt{3-x}+8\sqrt{3-x}+3\left(3-x\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+8x=\sqrt{\left(3-x\right)^3}+3\sqrt{\left(3-x\right)^2}+8\sqrt{3-x}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{3-x}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2+x-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\left(tm\right)\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy...

Akai Haruma, No choice teen, Arakawa Whiter, Phạm Hoàng Lê Nguyên, Vũ Minh Tuấn, tth, HISINOMA KINIMADO, Nguyễn Việt Lâm

Mn giúp e vs ạ! thanks!

Với những bài như thế này thì nên tag @Nguyễn Thị Ngọc Thơ vô

1/PT (1) cho ta nhân tử x - y - 1:)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(17-3x\right)\sqrt{5-x}+\left(3y-14\right)\sqrt{4-y}=0\left(1\right)\\2\sqrt{2x+y+5}+3\sqrt{3x+2y+11}=x^2+6x+13\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x\le5;y\le4\); \(2x+y+5\ge0;3x+2y+11\ge0\)

PT (1) \(\Leftrightarrow\left(17-3x\right)\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-y}\right)-3\left(x-y-1\right)\sqrt{4-y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-17\right)\left(\frac{x-y-1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-y}}\right)-3\left(x-y-1\right)\sqrt{4-y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(\frac{3x-17}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-y}}-3\sqrt{4-y}\right)=0\)

Dễ thấy cái ngoặc to < 0

Do đó x= y + 1

Thay xuống PT (2):\(y^2+8y+20=2\sqrt{3y+7}+3\sqrt{5y+14}\)\(\left(y+1\right)\left(y+2\right)=y^2+3y+2\)

ĐK: \(y\ge-\frac{7}{3}\) (để các căn thức được thỏa mãn)

PT (2) \(\Leftrightarrow y^2+3y+2+2\left(y+3-\sqrt{3y+7}\right)+3\left(y+4-\sqrt{5y+14}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+3y+2\right)\left(1+\frac{2}{y+3+\sqrt{3y+7}}+\frac{3}{y+4+\sqrt{5y+14}}\right)=0\)

Cái ngoặc to > 0 =>...

P/s: Is that true? Ko đúng thì chịu thua-_- Mất nửa tiếng đồng hồ để gõ bài này đấy:(

2/ĐK: \(x\ge-y;y\ge0\)

PT (1) \(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)+\sqrt{x+y}=2y^2+\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+\sqrt{x+y}-\sqrt{2y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}\right)=0\)

Cái ngoặc to \(\ge y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}>0\).

Do đó x = y \(\ge0\)

Thay xuống pt dưới: \(x^3-5x^2+14x-4=6\sqrt[3]{x^2-x+1}\)

Lập phương hai vế lên ra pt bậc 6, tuy nhiên cứ yên tâm, nghiệm rất đẹp: x = 1:)

Em đưa kết quả luôn: \(\left(x-1\right)\left(x^2-4x+7\right)\left(x^6-10x^5+56x^4-160x^3+272x^2-64x+40\right)=0\)

P/s: khúc cuối em ko còn cách nào khác nên đành lập phương:((

Câu 1: ĐK: $x\geq 1$

Xét PT(1):

\(x^2+xy(2y-1)=2y^3-2y^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+x+(2xy^2-2y^3+2y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-y+1)+2y^2(x-y+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y^2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=x+1\\ 2y^2=-x\end{matrix}\right.\)

Nếu $y=x+1$, thay vào PT(2):

$\Rightarrow 6\sqrt{x-1}+x+8=4x^2$

$\Leftrightarrow 4(x^2-4)-6(\sqrt{x-1}-1)-(x-2)=0$

\(\Leftrightarrow 4(x-2)(x+2)-6.\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[4(x+2)-\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}-1\right]=0\)

Với mọi $x\geq 1$ dễ thấy:

$4(x+2)\geq 12$

\(\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}+1\leq 6+1=7\)

Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$

$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow y=x+1=3$

Nếu $2y^2=-x\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow x\leq 0$ (vô lý do $x\geq 1$)

Vậy $(x,y)=(2,3)$

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$

a: \(\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{5}-y=3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\cdot y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\left(4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x=-1-4\sqrt{10}+6=5-4\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}x+\dfrac{2}{5}y=2,3\\x-\dfrac{3}{5}y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{9}{4}x+\dfrac{6}{5}y=6,9\\2x-\dfrac{6}{5}y=1,6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{17}{4}x=8,5\\x-0,6y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=8,5:\dfrac{17}{4}=8,5\cdot\dfrac{4}{17}=2\\0,6y=x-0,8=2-0,8=1,2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: y>2

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|-\dfrac{3}{\sqrt{y-2}}=-1\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{6}{\sqrt{y-2}}=-2\\2\left|x-1\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{7}{\sqrt{y-2}}=-7\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-2}=1\\2\left|x-1\right|=5-1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-2=1\\\left|x-1\right|=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x-1\in\left\{2;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x\in\left\{3;-1\right\}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

1.

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a^2-1\\y=b^2+1\end{matrix}\right.\)

Hệ trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3-a\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+\left(3-a\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow2a^2-6a+4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\Rightarrow b=2\\a=2\Rightarrow b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=2\\\sqrt{y-1}=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

2.

Pt đầu tương đương:

\(x^2y-2x^2+3y-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y-2\right)+3\left(y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow y=2\)

Thay xuống dưới:

\(\sqrt{x^2+5}+3=3x-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5}=3x-6\) (\(x\ge2\))

\(\Leftrightarrow x^2+5=9x^2-36x+36\)

\(\Leftrightarrow8x^2-36x+31=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{9+\sqrt{19}}{4}\\x=\frac{9-\sqrt{19}}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

3.

ĐKXĐ: ...

Trừ vế cho vế ta được:

\(2x-2y=y-x+\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)+\sqrt{x-2}-\sqrt{y-2}=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\) (ngoặc to luôn dương)

Thay vào pt đầu:

\(2x-2=x+\sqrt{x-2}\)

\(\Leftrightarrow x-2=\sqrt{x-2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\x=y=3\end{matrix}\right.\)

Câu 1:

\(ĐK:x\ge2\)

Áp dụng BĐT cauchy ta có:

\(\left(x+1\right)+4\ge2\sqrt{4\left(x+1\right)}=4\sqrt{x+1}\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x+1}\le\dfrac{x+5}{2}\)

Ta có \(\left(x-2\right)+1\ge2\sqrt{x-2}\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\le\dfrac{x-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{x+5}{2}+\dfrac{x-1}{2}-x+2013=x+2-x+2013=2015\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\x-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)

Câu 2:

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10\sqrt{x}+15y^3=140\\4y^3-10\sqrt{x}=12\end{matrix}\right.\left(x\ge0\right)\\ \Leftrightarrow19y^3=152\\ \Leftrightarrow y^3=8\Leftrightarrow y=2\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x}+24=28\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(4;2\right)\)

Câu 3:

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+2\\my+2m+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+2\\y=\dfrac{3-2m}{m+1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{m+1}\\x=\dfrac{3-2m}{m+1}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow xy=\dfrac{5\left(3-2m\right)}{\left(m+1\right)^2}\)

Đặt \(xy=t\)

\(\Leftrightarrow m^2t+2mt+t=15-10m\\ \Leftrightarrow m^2t+2m\left(t+5\right)+t-15=0\)

PT có nghiệm nên \(\Delta'=\left(t+5\right)^2-t\left(t-15\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow10t+25+15t\ge0\Leftrightarrow t\ge-1\)

Vậy \(xy_{min}=-1\Leftrightarrow\dfrac{5\left(2m-3\right)}{\left(m+1\right)^2}=1\Leftrightarrow m^2-8m+16=0\Leftrightarrow m=4\)

Câu 4: \(a^2+b^2=4a+bc+540\)

c đâu ra vậy?

Câu 5:

Thay \(x=3\Leftrightarrow P\left(2\right)+2P\left(2\right)=3^2\Leftrightarrow P\left(2\right)=3\)

Thay \(x=\sqrt{2013}\)

\(\Leftrightarrow P\left(\sqrt{2013}-1\right)+2P\left(2\right)=\left(\sqrt{2013}\right)^2=2013\\ \Leftrightarrow P\left(\sqrt{2013}-1\right)+6=2013\\ \Leftrightarrow P\left(\sqrt{2013}-1\right)=2007\)