HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
\(\left\{{}\begin{matrix}0< z\le y\le z\le3\\\dfrac{3}{xy}+\dfrac{2}{yz}\ge1\\\dfrac{18}{x^2y}+\dfrac{4}{y^2z}+\dfrac{3}{z^2x}\ge3\end{matrix}\right.\)
tìm max \(P=\dfrac{1}{2xyz}+\dfrac{80}{27x^3}+\dfrac{18}{8y^3}\)
Ta có\(\sqrt{2}\) A=\(\sum\sqrt{\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=\sum\dfrac{\sqrt{2ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\)
=> \(\sqrt{2}A+3=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=4\Rightarrow\sqrt{2}A+3\ge4\)
=> \(A\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
dấu = xảy ra <=> 2 số =1, 1 số =0
Ta có pt \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4\sqrt{x^2-4}}=16-2x^2\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4-4\sqrt{x^2-4}+4}=16-2x^2\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x^2-4}-2\right)^2}=16-2x^2\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x^2-4}-2\right|=16-2x^2\)
đến đây đặt x^2-a rồi xét 2 th nhá !
Ta có A=\(+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+\dfrac{4}{a}+b+\dfrac{9}{b}+c+\dfrac{16}{c}-\dfrac{4}{a}-\dfrac{8}{b}-\dfrac{15}{c}\)\(\ge2\sqrt{a.\dfrac{4}{a}}+2\sqrt{b.\dfrac{9}{b}}+2\sqrt{c.\dfrac{16}{c}}-\dfrac{4}{2}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{15}{4}=4+6+8-2-\dfrac{8}{3}-\dfrac{15}{4}=\dfrac{115}{12}\)
dấu = xảy ra <=> a=2,b=3,c=4
TA có \(P^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+2\left(\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng BĐt AM-GM, ta có \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4x\)
tương tự rồi cộng lại, ta có \(P^2+\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow P^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge36\Rightarrow P\ge6\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=4
thôi cho =3 nhá :V
Ta có \(\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\left(\sqrt{x^2+3}+x\right)=3\Rightarrow y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)
Tương tự thì \(x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{y^2+3}-y\)
cộng 2 vế của 2 cái vào, ta có
\(2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}}=2;\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}}=2\)
=> VT\(\ge4\)
dấu = xảy ra <=> x=y=1 (thỏa mãn điều kiện )
:V dán ảnh vầy cho nhanh
nguồn T. Phương
đây bn nhé !