Chứng minh rằng:
Nếu \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cx\right)^2\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\).
Cho \(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
CMR : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
b) \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
Chứng minh rằng nếu \(\left(a^2+b^2+b^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)với x,y,z khác 0 thì \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
help
Chi tham khao tai day:
Câu hỏi của Vương Nguyễn Thanh Triều - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
1. Biết a, b, c đôi 1 khác nhau . Chứng miinh rằng :
\(\dfrac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{2}{a-b}+\dfrac{2}{b-c}+\dfrac{2}{c-a}\).
2. Cho x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn \(\dfrac{xy+1}{y}+\dfrac{yz+1}{z}+\dfrac{zx+1}{x}\). Chứng minh rằng : \(\left|xyz\right|=1\)
Chứng minh:
a) \(x\ne0,y\ne0\) và \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
b) \(x\ne0,y\ne0,z\ne0\) và \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Chứng minh rằng nếu :
\(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}\) = \(\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}\) = \(\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
thì : \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}\) = \(\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}\) = \(\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
Help me
Phương Ann Nhã Doanh Đinh Đức Hùng Mashiro Shiina
Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Huy Tú Lightning Farron
mấy anh chị cm cho e thêm cái : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
Chứng minh rằng các biểu thức sau bằng nhau
a. \(\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right)\)và \(\left(ac+bd\right)^2-\left(ad+bc\right)^2\)
b. Nếu \(x^2+y^2+z^2\) và \(xy+xz+yz\) thì x = y = z
a: Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2-\left(ad+bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+2abcd-a^2d^2-b^2c^2-2abcd\)
\(=a^2\left(c^2-d^2\right)-b^2\left(c^2-d^2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right)\)
Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(ax-by\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2-\left(a^2x^2+b^2b^2+c^2y^2+2axby+2azcx+2bzcy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+ab+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) ( theo bđt Bu-nhi-a Cop-xki )
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Vậy nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Áp dụng Bunyakovsky:
\(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Dấu "=" khi: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) hay \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì thỏa mãn đẳng thức
p/s: Tham khảo,vì t biết lớp 8 chưa học Bunyakovsky,đúng ko Phùng Khánh Linh
cho \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) rut gon\(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ax+by+cz\right)^22}\)
Bài 1:
a, Cho ba số x,y,z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\)
mình nghĩ ra cách này ko biết đúng hay sai, nhưng mình sẽ cm cho bạn xem trước cái này để mình đảo lại trong quá trình làm bài luôn cho đỡ mất thời gian
\(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}=\dfrac{x-z-x+y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
thế nên sẽ đảo ngược lại trong bài này, vây ta sẽ có
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}\\ \dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{x-y}\\ \dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-z}\)
thay vào đề bài ta được
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}\\ =\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{y-x}+\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-x}\\ =\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{z-x}\\ =\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-x}+\dfrac{2}{z-x}\left(đpcm\right)\)
vậy ...
mình nghĩ ra thì là như z, chúc may mắn :)