Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

\(A=\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\ge2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}=2.\) (vì x.y=1>0 )

Amin = 2 khi x = y = 1 hoặc x =y =-1.

Ta có :

xy=1

=>x=1 , y=1

=> l 1+1 l

=> l x+y l = l 2 l

=>GTNN của l x+y l=GTNN của l 2 l =-2

Vậy GTNN của l x+y l là -2

A=x²+2y²+2xy+2x-4y+2013

=x²+y²+1+2xy+2x+2y+y²-6y+9+2003

=(x+y+1)²+(y-3)²+2003

Min A=2003 tại x=-4;y=3

A= (X²+2XY+Y²) + 2(X+Y)+1+Y²-6Y+9+2003

A=(X+Y)²+ 2(X+Y)+1+(Y-3)²+2003

A=(X+Y+1)²+(Y-3)²+2003

=> A>=2003

(DẤU "=" XẢY RA KHI X=-4;Y=3)

vào nút Σ viết lại đề

Chẳng thấy gì cả ,đau mắt phết

Vô ghi lại đề gấp

Áp dụng BĐT cauchy ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\x^2+z^2\ge2xz\end{matrix}\right.\)

\(P\le\dfrac{1}{4xy+4x+4}+\dfrac{1}{4yz+4y+4}+\dfrac{1}{4xz+4z+4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

xét biểu thức \(\dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}+\dfrac{1}{zx+z+1}=\dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{x}{1+yx+x}+\dfrac{xy}{x+1+xy}=\dfrac{xy+x+1}{xy+x+1}=1\)do đó \(P\le\dfrac{1}{4}\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Trước tiên ta tính:

\(\dfrac{1}{x+xy+1}+\dfrac{1}{y+yz+1}+\dfrac{1}{z+zx+1}\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a}{b}\\y=\dfrac{b}{c}\\z=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\left(a,b,c\ne0\right)\)

Thì ta có: \(\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{b}+1}\)

\(=\dfrac{bc}{ab+ac+bc}+\dfrac{ca}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab}{ab+bc+ca}=1\)

Quay về bài toán ban đầu. Ta có:

\(P=\dfrac{1}{\left(x+2\right)^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\left(y+2\right)^2+z^2+2yz}+\dfrac{1}{\left(z+2\right)^2+x^2+2xz}\)

\(=\dfrac{1}{x^2+4x+4+y^2+2xy}+\dfrac{1}{y^2+4y+4+z^2+2yz}+\dfrac{1}{z^2+4z+4+z^2+2xz}\)

\(=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2+4x+4xy+4}+\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2+4y+4yz+4}+\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2+4z+4zx+4}\)

\(\le\dfrac{1}{4x+4xy+4}+\dfrac{1}{4y+4yz+4}+\dfrac{1}{4z+4zx+4}\)

\(=\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+xy+1}+\dfrac{1}{y+yz+1}+\dfrac{1}{z+zx+1}\right)=\dfrac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\dfrac{1}{4}\ge ab\)

Lại có theo AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3}{2ab}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{2}{ab}\ge\dfrac{3}{2\cdot\dfrac{1}{4}}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=14\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\sqrt{ab}\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{Min}=14\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

\(A=\dfrac{3}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{12}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}=14\)

dùng cô si, chiều mình làm cho bạn xem, gợi ý trước, dùng cô si áp dụng lên cái a+b=1 kia kìa, rồi giải ra, thế thôi, còn ko làm được, chièu mình làm cho, giờ đang bận

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\cdot1=2\ge\left(x+y\right)^2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Câu trả lời hay nhất: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^3-b^3
(b-c)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3
(c-a)^3=c^3-3c^2a+3ca^2-a^3
Cộng ba pt, ta được
-3a^2b+3ab^2-3b^2c+3bc^2-3c^2a+3ca^2
-3(a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2)
-3(a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b^2-c^2))
-3(b-c)(a^2+bc-a(b+c))
-3(b-c)(a-b)(a-c)=210
(b-c)(a-b)(a-c)=-70
(b-c)(a-b)(a-c)=2*5*(-7)
=>b-c=2, a-b=5, a-c=-7
=>|a-b|+|b-c|+|c-a|=14

a) \(-4x^2+12xy-9y^2+25\)

\(=-\left(4x^2-12xy+9y^2\right)+25\)

\(=-\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3y+\left(3y\right)^2\right]+25\)

\(=-\left(2x-3y\right)^2+25\)

\(=-\left(2x-3y\right)^2+5^2\)

\(=5^2-\left(2x-3y\right)^2\)

\(=\left(5-2x-3y\right)\left(5+2x-3y\right)\)

b) \(\left(3x-1\right)^2-16\)

\(=\left(3x-1\right)^2-4^2\)

\(=\left(3x-1-4\right)\left(3x-1+4\right)\)

\(=\left(3x-5\right)\left(3x+3\right)\)

a ) \(-4x^2+12xy-9y^2+25\)

\(=-\left(4x^2-12xy+9y^2-25\right)\)

\(=-\left[\left(2x-3y\right)^2-25\right]\)

\(=-\left(2x-3y+5\right)\left(2x-3y-5\right)\)

b ) \(\left(3x-1\right)^2-16\)

\(=\left(3x-1+4\right)\left(3x-1-4\right)\)

\(=\left(3x+3\right)\left(3x-5\right)\)

\(A=(x-y+1)^2+(2y-1)^2+3\ge 3\)

Vậy minA=3 khi \(x=-\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a^3\cdot\dfrac{1}{a}+b^3\cdot\dfrac{1}{b}+c^3\cdot\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

Cần chỉ ra \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\left(a,b,c>0\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Cauchy-Schwarz 2 bộ (left(sqrt{a^3};sqrt{b^3};sqrt{c^3} ight);left(sqrt{dfrac{1}{a}};sqrt{dfrac{1}{b}};sqrt{dfrac{1}{c}} ight))

(left(a^3+b^3+c^2 ight)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c} ight)geleft(sqrt{dfrac{a^3.1}{a}}+sqrt{dfrac{b^3.1}{b}}+sqrt{dfrac{c^3.1}{c}} ight)^2)

(Leftrightarrowleft(a^3+b^3+c^2 ight)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c} ight)geleft(a^2+b^2+c^2 ight)^2)

Bđt cần c/m tương đương với :

(left(a^2+b^2+c^2 ight)^2geleft(a+b+c ight)^2)

(Leftrightarrow a^2+b^2+c^2ge a+b+c) ( vì a,b,c > 0 )

Phản đề :

Xét bộ (left(a;b;c ight)=left(dfrac{1}{4};dfrac{1}{4};dfrac{1}{4} ight))

(Leftrightarrowdfrac{3}{16}gedfrac{3}{4}left(sai ight))

Vậy bđt cần cm không tồn tại với a , b , c > 0

Dùng bu nhi a ta có:

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{c}}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)