Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp)

ta có: a+b=1 => (a+b)²=1

a²+2ab+b²=1 (1)

Mặt khác: (a-b)²\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

2(a²+b²) > 1

a²+b²> \(\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)

\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)

cộng (3) và (4) vế theo vế:

2(a⁴+b⁴) >\(\dfrac{1}{4}\)

=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)mà a+b=1

\(\Rightarrow ab< \dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \dfrac{1}{16}\)

Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4>2.\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}\)

nhớ tick cho mik nhé

Chỗ cuối kia phải là +2 chứ bạn ??!

Giải:

Gọi số thứ 1, 2, 3 lần lượt là a, b, c

Ta có: \(\dfrac{2}{3}a=\dfrac{3}{4}b=\dfrac{4}{5}c\) và a + b + c = 147

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{5}{4}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{a+b+c}{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{147}{\dfrac{49}{12}}=36\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=36.\dfrac{3}{2}=54\\b=\dfrac{36.4}{3}=48\\c=\dfrac{36.5}{4}=45\end{matrix}\right.\)

Vậy số thứ 1 là 84

số thứ 2 là 48

số thứ 3 là 45

gghxc

ta có: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left(\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\right)\Rightarrow\)DE//BC(định lí ta lt đảo)

Bạn ghi đề s s á

a) Xét tam giác AHB và tam giác BCD ta có góc B chung(gt); góc A bằng góc H(=90độ)

=> tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD(g.g)

b) Ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD suy ra HB/AD=AD/BD

=> HB.BD=AD^2

c) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADB ta có: BD^2=AD^2+AB^2=> BD^2=6^2+8^2=36+64=100=> BD=10cm

Ta có HD/AD=AD/BD=> HD=AD^2/BD=36/10=3.6cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH ta có:

AH^2=AD^2-DH^2=36-12.96= 23.04

=> AH= 4.8 cm

n+18 và n-41 là số cp=>n>41
đặt n+18=k²=>n=k²-18(1)
n-41=t²=>n=t²+41(2)
từ (1)và(2) => k²-18=t²+41
⇔k²-t²=41+18=59
⇔(k-t)(k+t)=59=1.59=(-1).(-59)
TH1 :.....k-t=1
.............k+t=59
=>k=30 , t=29
Thử lại n+18=30²=>n=882
............n-41=882-41=841=29² (t/m~)
............n-41=29²=>n=872
...........n+18=872+18=900=30² (t/m~)
TH2 :k-t=-1
k+t=-59
=>k=-30
....t=-29
Thử lại n+18=(-30)²=>n=882
...........n-41=(-29)²=>n=872
Vậy số tự nhiên n là 872 hoặc 882.

Nguồn Yahoo.

Giải:

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}\)

Thay vào vế trái ta có:

\(\dfrac{2a+3b}{2a-3b}=\dfrac{2bk+3b}{2bk-3b}=\dfrac{b\left(2k+3\right)}{b\left(2k-3\right)}=\dfrac{2k+3}{2k-3}\)

Thay vào vế phải ta có:

\(\dfrac{2c+3d}{2c-3d}=\dfrac{2dk+3d}{2dk-3d}=\dfrac{d\left(2k+3\right)}{d\left(2k-3\right)}=\dfrac{2k+3}{2k-3}\)

\(\Rightarrow VP=VT=\dfrac{2k+3}{2k-3}\Rightarrow\) Đpcm

Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{3b}{3d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{3b}{3d}=\dfrac{2a+3b}{2c+3d}=\dfrac{2a-3b}{2c-3d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a+3b}{2c+3d}=\dfrac{2a-3b}{2c-3d}\Rightarrow\dfrac{2a+3b}{2a-3b}=\dfrac{2c+3d}{2c-3d}\) (ĐPCM)

\(\dfrac{7}{8}x-5\left(x-9\right)=\dfrac{5\left(4x+0,3\right)}{6}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{21}{24}x-\dfrac{120\left(x-9\right)}{24}=\dfrac{20\left(4x+0,3\right)}{24}\)

\(\Leftrightarrow21x-120\left(x-9\right)=20\left(4x+0,3\right)\)

\(\Leftrightarrow21x-120x+1080=80x+6\)

\(\Leftrightarrow21x-120x-80x=6-1080\)

\(\Leftrightarrow-179x=-1074\)

\(\Leftrightarrow x=6\)

Vậy nghiệm của pt là x=6

Haha không giỡn nữa :v

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(L.H.S=Σ\dfrac{1}{2x+y+z}=7Σ\dfrac{1}{2\left(x+3y\right)+\left(y+3z\right)+4\left(z+3x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{7}Σ\dfrac{\left(2+1+4\right)^2}{2\left(x+3y\right)+\left(y+3z\right)+4\left(z+3x\right)}\)

\(\le\dfrac{1}{7}Σ\left(\dfrac{2^2}{2\left(x+3y\right)}+\dfrac{1^2}{y+3z}+\dfrac{4^2}{4\left(z+3x\right)}\right)\)

\(=\dfrac{1}{7}Σ\left(\dfrac{2}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{4}{z+3x}\right)\)

\(=\dfrac{1}{7}Σ\dfrac{7}{x+3y}=Σ\dfrac{1}{x+3y}=R.H.S\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le\dfrac{4}{x+y}\) \(\forall x,y>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+2z+x}\le\dfrac{4}{2x+4y+2z}=\dfrac{2}{x+2y+z}\\\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+2x+y}\le\dfrac{4}{2x+2y+4z}=\dfrac{2}{x+y+2z}\\\dfrac{1}{z+3x}+\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{4}{4x+2y+2z}=\dfrac{2}{2x+y+z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+3x}+\dfrac{1}{y+2z+x}+\dfrac{1}{z+2x+y}+\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{2}{x+2y+z}+\dfrac{2}{x+y+2z}+\dfrac{2}{2x+y+z}\)

\(\Rightarrow VT\le\left(\dfrac{2}{x+2y+z}-\dfrac{1}{x+2y+z}\right)+\left(\dfrac{2}{x+y+2z}-\dfrac{1}{y+x+2z}\right)+\left(\dfrac{2}{2x+y+z}-\dfrac{1}{z+2x+y}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}+\dfrac{1}{2x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+3x}\le\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}+\dfrac{1}{2x+y+z}\) ( đpcm )

cau nay cau de y mot y la ra

chi lam the nay thoi cac cai sau cau dua vao ma lam tuong tu\(\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{x+y+2z}\ge\dfrac{4}{2x+4y+2z}=\dfrac{2}{x+2y+z}\)