Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

câu b phân tích đa thức thành nhân tử hả bạn

a, x+y+z=0

=>x+y=-z

<=>(x+y)^3=(-z)^3

<=>x^3+3x^2y+3xy^2 +y^3=-z^3

<=>x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2

<=>x^3+y^3+z^3-3xy(x+y)

<=>x^3y^3+z^3=-3xy(-z)

<=>x^3+y^3+z^3=3xyz

-Nguồn: Tìm giá trị nhỏ nhất của - Bài tập Toán học Lớp 8 - | Lazi.vn - Kết nối tri thức - Giải đáp vấn đề của bạn

-Cách khác tham khảo :Câu hỏi tương tự

Phân tích đa thức thành nhân tử à bạn ?!

\(x^4+2007x^2+2006x+2007\\ =x^4+x^3-x^3+x^2-x^2-x+2007x^2+2007x+2007\\ =\left(x^4+x^3+x^2\right)-\left(x^3+x^2+x\right)+\left(2007x^2+2007x+2007\right)\\ =x^2\left(x^2+x+1\right)-x\left(x^2+x+1\right)+2007\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+2007\right)\)

Đặt \(\text{A=(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 24 }\)
\(\text{= (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) - 24 }\)
\(=\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)-24 \)
Đặt \(a=x^2+7x+11\) thay vào A ta được :
A=(a-1)(a+1)=a^2-25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) ( 2)
Thế a vào (2) ta được :
\(A=\left(x^2+7x+11-5\right)\left(x^2+7x+11+5\right)\)
\(=\text{(x^2+7x+6)(x^2+7x+16) }\)

\(\left|x-2010\right|+\left|x-2012\right|=2\)

\(\Rightarrow\left|2010-x\right|+\left|x-2012\right|=2\)

Ta có : \(\left|2010-x\right|+\left|x-2012\right|\ge\left|2010-x+x-2012\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2010-x\right)\left(x-2012\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2010\le x\le2012\)

Vậy \(\Leftrightarrow2010\le x\le2012\)

\(x^2+2xy+y^2+7x+7y+10\)

\(=\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+10\)

\(=\left(x+y\right)^2+2\times\dfrac{7}{2}\times\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{4}+10\)

\(=\left(x+y+\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)

\(=\left(x+y+\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\times\left(x+y+\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2}\right)\)

\(=\left(x+y+2\right)\times\left(x+y+5\right)\)

x²+2xy+7x+7y+y²+10

=x²+y²+12,25+2xy+7x+7y-2,25

=(x+y+3,5)²-(1,5)²

=(x+y+3,5+1,5)(x+y+3,5-1,5)

=(x+y+5)(x+y+2)

\(\Leftrightarrow\)(x²+2xy+y²)+(7x+7y)+10

\(\Leftrightarrow\)(x+y)²+7(x+y)+10

\(\Leftrightarrow\)(x+y)+(x+y+7)+10

\(A=x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)=xy\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

Thây vì c/m A chia hết cho 30 ta chia nhỏ 30 =2.3.5

1)c/m A chia hết cho

1.1)nếu x hoặc y chẵn hiển nhiên

1.2 x và y lẻ => x-y phải chẵn {tổng đại số hai số lẻ là số chẵn}

=> A chia hết cho 2

2)c/m A chia hết cho 3

2.1)nếu x hoặc y =3k hiển nhiên

2.2 x=3k+1 và y=3t+1 => (x-y)=3(k-t) hiển nhiên chia hết cho 3

2.3 x=3k+1 và y=3t+2 => (x+y) =3(k+t+1) hiển nhiên chia hết cho 3

x,y vai trò như nhau => A chia hết cho 3 (**)

3)

c/m A chia hết cho 5

3.1)nếu x hoặc y =5k hiển nhiên

3.2 x=5k+1 và y=5t+1 => (x-y)=5(k-t) hiển nhiên chia hết cho 5

3.3 x=5k+1 và y=5t+2 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+1) hiển nhiên chia hết cho 5

3.4 x=5k+1 và y=5t+3 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+2) hiển nhiên chia hết cho 5

3.5 x=5k+1 và y=5t+4 => (x^2-y^2) =5(5k^2-5t^2-2k+2t-3) hiển nhiên chia hết cho 5

x,y vai trò như nhau các trường hợp khác tương tự => A chia hết cho 5 (**)

Kết luận

A chia hết cho 2,3,5 mà 2,3,5, nguyên tố => A chia hết cho 2.3.5 =30=> dpcm

\(x^2+y^2+z^2=y\left(x+z\right)\\ < =>x^2+y^2+z^2=xy+yz\\ < =>2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz\\ < =>x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+x^2+z^2=0\\ < =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+x^2+z^2=0\left(1\right)\)

ta thấy

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\\ \left(y-z\right)^2\ge0\forall y,z\\x^2\ge0\forall x\\z^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\)

mà để (1) luôn đúng

\(< =>\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\x^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\x=0\\z=0\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)

vậy x = y = z = 0

chúc may mắn :)

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)\)

\(=a^3+2ab+b^3-ab=a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\left(a+b=1\right)\)

\(=a^2+b^2\). Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)