Ôn tập phép nhân và phép chia đa thức

a) \(\dfrac{4x+3}{5}-\dfrac{6x-2}{7}=\dfrac{5x+4}{3}+3\)

\(\Leftrightarrow21\left(4x+3\right)-15\left(6x-2\right)=35\left(5x+4\right)+315\)

\(\Leftrightarrow84x+63-90x+30=175x+140+315\)

\(\Leftrightarrow84x-90x-175x=140+315-63-30\)

\(\Leftrightarrow-181x=362\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{362}{181}=-2\)

Vậy: Tập ngiệm của phương trình là: \(S=\left\{-2\right\}\)

b) \(\dfrac{x+4}{5}-x+4=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x-2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6\left(x+4\right)-30x+120=10x-15\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow6x+24-30x-120=10x-15x+30\)

\(\Leftrightarrow6x-30x-10x+15x=30-24+120\)

\(\Leftrightarrow-19x=126\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{126}{19}\)

Vậy: Tập ngiệm của phương trình là: \(S=\left\{-\dfrac{126}{19}\right\}\)

c) \(\dfrac{x+2}{3}+\dfrac{3\left(2x-1\right)}{4}-\dfrac{5x-3}{6}=x+\dfrac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+2\right)+9\left(2x-1\right)-2\left(5x-3\right)=12x+5\)

\(\Leftrightarrow4x+8+18x-9-10x+6=12x+5\)

\(\Leftrightarrow4x+18x-10x-12x=5-8+9-6\)

\(\Leftrightarrow0x=0\)

Vậy: Tập ngiệm của phương trình là: \(S=\left\{R\right\}\)

_Chúc bạn học tốt_

trời ui

toàn pài dễ mà h phải ik học ùi chán quá à

a)\(\dfrac{1}{2}\)(x+1)+\(\dfrac{1}{4}\)(x+3)=3-\(\dfrac{1}{3}\)(x+2)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\)x+\(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{4}\)x+\(\dfrac{3}{4}\)=3-\(\dfrac{1}{3}\)x-\(\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\)x+\(\dfrac{1}{4}\)x+\(\dfrac{1}{3}\)x=-\(\dfrac{1}{2}\)-\(\dfrac{3}{4}\)+3-\(\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{13}{12}\)x=\(\dfrac{13}{12}\)

\(\Leftrightarrow\)x=1

Vậy nghiệm của pt là x=1

b)\(\dfrac{x+2}{98}\)+\(\dfrac{x+4}{96}\)=\(\dfrac{x+6}{94}\)+\(\dfrac{x+8}{92}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+2}{98}\)+\(\dfrac{x+4}{96}\)-\(\dfrac{x+6}{94}\)-\(\dfrac{x+8}{92}\)=0

\(\Leftrightarrow\)(\(\dfrac{x+2}{98}\)+1)+(\(\dfrac{x+4}{96}\)+1)-(\(\dfrac{x+6}{94}\)+1)-(\(\dfrac{x+8}{92}\)+1)=0

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+2+98}{98}\)+\(\dfrac{x+4+96}{96}\)-\(\dfrac{x+6+94}{94}\)-\(\dfrac{x+8+92}{92}\)=0

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+100}{98}\)+\(\dfrac{x+100}{96}\)-\(\dfrac{x+100}{94}\)-\(\dfrac{x+100}{92}\)=0

\(\Leftrightarrow\)(x+100)(\(\dfrac{1}{98}+\dfrac{1}{96}-\dfrac{1}{94}-\dfrac{1}{92}\))=0

\(\Leftrightarrow\)x+100=0(vì\(\dfrac{1}{98}+\dfrac{1}{96}-\dfrac{1}{94}-\dfrac{1}{92}\)\(\ne\)0)

\(\Leftrightarrow\)x=-100

Vậy nghiệm của pt là x=-100

Ta có: \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\left(1\right)\)

Ta đi chứng minh:

*)Với \(n=1\) thì \(\left(1\right)\) đúng

Giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k\), khi đó \(\left(1\right)\) thành

\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Thật vậy giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\) khi đó \(\left(1\right)\) thành

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\left(2\right)\)

Cần chứng minh \(\left(2\right)\) đúng:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(\Rightarrow1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\dfrac{6\left(k+1\right)^2}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[2k^2+k+6k+6\right]}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(2k^2+3k\right)+\left(4k+6\right)\right]}{6}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+3\right)+2\left(2k+3\right)\right]}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\). Suy ra \(\left(2\right)\). Theo nguyên lí quy nạp ta có ĐPCM

\(M=\dfrac{a^2+1}{a}\Rightarrow M-\dfrac{10}{3}=\dfrac{a^2+1}{a}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{3a^2-10a+3}{3a}=\dfrac{\left(3a-1\right)\left(a-3\right)}{3a}\)\(a\ge3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a>0\\3a-1>0\\a-3\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(3a-1\right)\left(a-3\right)}{3a}\ge0\)

\(\Rightarrow M-\dfrac{10}{3}\ge0\Rightarrow M\ge\dfrac{10}{3}\)

MIn M =10/3 khi x=3

gọi x,y,z lần lượt là 3 số cần tìm

theo đề bài, ta có:

\(x^3+y^3+z^3=-1009\)

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{27}\) (1)

\(\dfrac{x}{z}=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{z}{9}\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{64}=\dfrac{z^3}{729}\)(2)

từ (1) và (2)\(\Rightarrow\dfrac{y^3}{216}=\dfrac{x^3}{64}=\dfrac{z^3}{729}\)

theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{y^3}{216}=\dfrac{x^3}{64}=\dfrac{z^3}{729}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{216+64+729}=\dfrac{-1009}{1009}=-1\)

suy ra:

\(y^3=-216\Rightarrow y=\sqrt[3]{-216}=-6\)

\(x^3=-64\Rightarrow x=\sqrt[3]{-64}=-4\)

\(z^3=-729=\sqrt[3]{-729}=-9\)

vậy ba số cần tìm là -4;-6;-9

Bài 1:

\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{\left(y-x\right)-\left(y-z\right)}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{\left(z-y\right)-\left(z-x\right)}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{y-x}+\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{z-y}\)

\(=\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{y-z}\)

\(=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{z-x}+\dfrac{2}{y-z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\left(đpcm\right)\)

Vậy...

bài 1 b

Theo đề bài ta có :

S - P = \(\left(a^3_1+a^3_2+....+a^3_{2013}\right)-\left(a_1+a_2+....+a_{2013}\right)\)

= \(\left(a^3_1-a_1\right)+\left(a^3_2-a_2\right)+....\left(a^3_{2013}-a_{2013}\right)\)

= \(a_1\left(a^2_1-1\right)+a_2\left(a^2_2-1\right)+....a_{2013}\left(a^2_{2013}-1\right)\)

= \(a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)+a_2\left(a_2-1\right)\left(a_2+1\right)+....+a_{2013}\left(a_{2013}-1\right)\left(a_{2013}+1\right)\)

Dễ chứng minh \(a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)⋮6\) các số hạng còn lại cũng chứng minh tương tự

Suy ra S - P \(⋮\) 6

Nếu \(P⋮̸6\) thì \(S⋮̸6\) do đó \(S⋮6\) khi và chỉ khi P chia hết cho 6

bài 2:

A=\(-\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+2\left(x-y\right)+1\right]-\left(3y^2+8y+\dfrac{16}{3}\right)-\dfrac{10}{3}\)

A=\(-\left(x-y-1\right)^2-\left(\sqrt{3}y+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2+\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{10}{3}\)(dấu "=" xảy ra khi \(y=\dfrac{4}{3}\)và \(x=\dfrac{7}{3}\)

nhầm

\(A\le\dfrac{-10}{3}\) nhé. mình nhầm

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2y^2}+\dfrac{y^4}{x^2y^2}+\dfrac{4x^2y^2}{x^2y^2}\ge3\left(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3x^2+3y^2}{xy}-\dfrac{6xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{xy}=\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

mình hướng dẫn nhé, muộn rồi, ko alfm kịp,

câu a nhân 2 vế với 2, chuyển vế đổi dáu => đpcm

cậu b chuyển vế đổi dấu ok

câu a

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(1\right)\\ < =>2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\\ < =>a^2-2a+1+a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1\ge0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\left(\cdot\right)\)

có

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2\ge0\left(\forall a\right)\\\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\\\left(b-1\right)^2\ge0\left(\forall b\right)\end{matrix}\right.\)

=> (.) luôn đúng với mọi a và b

=>(1) luôn đúng

dấu bàng xảy ra khi a = b =1

câu b (sửa lại thành >= nhé)

\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\left(1\right)\\ < =>a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\left(\cdot\right)\)

có

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2\ge0\left(\forall a\right)\\\left(b-1\right)^2\ge0\left(\forall b\right)\\\left(c-1\right)^2\ge0\left(\forall c\right)\end{matrix}\right.\)

=>(.) luôn đúng

=> (1) luôn đúng

dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

xong, chúc may mắn :)

Câu hỏi của Thu Hà - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1

⇒x2+y2+z2≥13⇒x2+y2+z2≥13

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=13x=y=z=13

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1

⇒4x2+y2≥15⇒4x2+y2≥15

Đẳng thức xảy ra khi x=y=15x=y=15