Ta có: $P(x)=x^3+ax^2+bx+2$

$\Rightarrow P(\sqrt2)=\left(\sqrt2\right)^3+a.\left(\sqrt2\right)^2+b.\sqrt2+2$

$=2\sqrt2 +2a+b\sqrt 2+2=0$ (do $\sqrt2$ là nghiệm của $P(x)$)

$\Rightarrow 2a+2+\sqrt2 (b+2)=0$

Do a, b hữu tỉ mà $\sqrt 2$ vô tỉ nên \(\begin{cases}2a+2=0\\ \\ b+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1\\ \\ b=-2\end{cases}\)

$\Rightarrow P(x)=x^2-x^2-2x+2=x^2(x-1)-2(x-1)=(x^2-2)(x-1)$

Khi đó: $P(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2=0\\ x-1=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt 2 \\ x=-\sqrt2\\ x=1 \end{cases}$

Do đó, $-\sqrt 2$; $1$ là các nghiệm còn lại của $P(x)$

$Toru$

Ta có: $P(x)=x^3+ax^2+bx+2$

$\Rightarrow P(\sqrt2)=\left(\sqrt2)^3+a.(\sqrt2)^2+b.\sqrt2+2$

$=2\sqrt2 +2a+b\sqrt 2+2=0$ (do $\sqrt2$ là nghiệm của $P(x)$)

$\Rightarrow 2a+2+\sqrt2 (b+2)=0$

Do a, b hữu tỉ mà $\sqrt 2$ vô tỉ nên \(\begin{cases}2a+2=0\\ \\ b+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1\\ \\ b=-2\end{cases}\)

$\Rightarrow P(x)=x^2-x^2-2x+2=x^2(x-1)-2(x-1)=(x^2-2)(x-1)$

Khi đó: $P(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2=0\\ x-1=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt 2 \\ x=-\sqrt2\\ x=1 \end{cases}$

Do đó, $-\sqrt 2$; $1$ là các nghiệm còn lại của $P(x)$

$Toru$

Số hoán vị của tập $X$ là: $n!$

Xét biến cố $A$: "a và b không đứng cạnh nhau"

$\Rightarrow$ Biến cố đối \(\overline{A}\) : "a và b đứng cạnh nhau"

- Ta xếp a và b cạnh nhau: do a, b có thể đổi chỗ nên có 2! cách xếp

- Khi đó, coi a và b là 1 phần tử thì X có n - 1 phần tử $\Rightarrow$ có $(n-1)!$ cách xếp

\(\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=2\left(n-1\right)!\)

\(\Rightarrow n\left(A\right)=n!-2\left(n-1\right)!\)

$\text{Toru}$

$(C): x^2+y^2-4x+6y-12=0$

$=>(C):(x-2)^2+(y+3)^2=25$

$\Rightarrow I(2;-3)$ là tâm đường tròn (C)

Do △IMN cân tại I nên IM = IN = R = 5

Khi đó: $S_{IMN}=\dfrac{1}{2} IM.IN.sin(\widehat{MIN})=\dfrac{1}{2}.5^2.sin(\widehat{MIN})$

$=\dfrac{25}{2}.sin(\widehat{MIN})\le \dfrac{25}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $sin(\widehat{MIN})=1 \Leftrightarrow \widehat{MIN}=90^o$

$\Leftrightarrow \Delta IMN$ vuông cân tại I

Khi đó: $d_{I,(d)} = \dfrac{IM\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Gọi $n(a;1)$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng d

Mà A(3,1) ∈ d $\Rightarrow d:a(x-3)+(y-1)=0$

$\Rightarrow d: ax+y-3a-1=0$

Khi đó: $d_{I,(d)}=\dfrac{|a.2+(-3)-3a-1|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{|-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |a+4|= \dfrac{5\sqrt{2}}{2}.\sqrt{a^2+1}$

$\Leftrightarrow (a+4)^2=\dfrac{25}{2}.(a^2+1)$

$\Leftrightarrow \dfrac{23}{2} a^2-16a-\frac{7}{2}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\ a=-\dfrac{7}{23} \end{array} \right.$

- Với $a=1$ thì: $d:x+y-4=0$

- Với $ a=-\dfrac{7}{23}$ thì: $d:-\dfrac{7}{23}x+y-3.\left(-\dfrac{7}{23}\right) -1=0$

$\Rightarrow d:7x-23y+2=0$

$Toru$

$(C): x^2+y^2-4x+6y-12=0$

$=>(C):(x-2)^2+(y+3)^2=25$

$\Rightarrow I(2;-3)$ là tâm đường tròn (C)

Do △IMN cân tại I nên IM = IN = R = 5

Khi đó: $S_{IMN}=\frac{1}{2} IM.IN.sin(\widehat{MIN})=\frac{1}{2}.5^2.sin(\widehat{MIN})$

$=\frac{25}{2}.sin(\widehat{MIN})\le \frac{25}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $sin(\widehat{MIN})=1 \Leftrightarrow \widehat{MIN}=90^o$

$\Leftrightarrow \Delta IMN$ vuông cân tại I

Khi đó: $d_{I,(d)} = \frac{IM\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Gọi $n(a;1)$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng d

Mà A(3,1) ∈ d $\Rightarrow d:a(x-3)+(y-1)=0$

$\Rightarrow d: ax+y-3a-1=0$

Khi đó: $d_{I,(d)}=\frac{|a.2+(-3)-3a-1|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |a+4|= \frac{5\sqrt{2}}{2}.\sqrt{a^2+1}$

$\Leftrightarrow (a+4)^2=\frac{25}{2}.(a^2+1)$

$\Leftrightarrow \frac{23}{2} a^2-16a-\frac{7}{2}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\ a=-\frac{7}{23} \end{array} \right.$

- Với $a=1$ thì: $d:x+y-4=0$

- Với $ a=-\frac{7}{23}$ thì: $d:-\frac{7}{23}x+y-3.\left(-\frac{7}{23}\right) -1=0$

$\Rightarrow d:7x-23y+2=0$

$Toru$

ĐKXĐ: $x\ne 0; x\ne -1$

$\frac{4}{x}=\frac{8}{x+1}$

$\Rightarrow 4(x+1)=8x$

$\Rightarrow 4x+4=8x$

$\Rightarrow 8x-4x=4$

$\Rightarrow 4x=4$

$\Rightarrow x=1$

Ta có: `{(x^2-3xy+2y^2=0 (1)),((1)/(|x-2y|)+|x+2y|=4 (2)):}` (ĐK: $x \ne 2y$)

Xét pt (1): `x^2-3xy+2y^2=0`

`<=> x^2-xy-2xy+2y^2=0`

`<=> x(x-y)-2y(x-y)=0`

`<=> (x-y)(x-2y)=0

`<=> x=y` (do $x\ne 2y$)

Khi đó, pt (2) thành:

`(1)/(|x-2x|)+|x+2x|=4`

`<=> (1)/(|-x|)+|3x|=4`(ĐK: $x\ne 0$) (3)

+, Với `x<0`thì (3) thành:

`(1)/(-x)+(-3x)=4`

`<=> 3x+4+(1)/(x)=0`

`<=> 3x^2+4x+1=0` (do `x<0`)

`<=> 3x^2+3x+x+1=0`

`<=> 3x(x+1)+(x+1)=0`

`<=> (x+1)(3x+1)=0`

`<=> x+1=0` hoặc `3x+1=0`

`<=> x=-1` (tm) hoặc `x=-(1)/(3)`(tm)

Thử lại, ta thấy: `(x;y)=(-1;1);(-(1)/(3);-(1)/(3))` thoả mãn đề bài.

+, Với `x>0` thì (3) thành:

`(1)/(x)+3x=4`

`<=> 3x-4+(1)/(x)=0`

`<=> 3x^2-4x+1=0` (do `x>0`)

`<=> 3x^2-3x-x+1=0`

`<=> 3x(x-1)-(x-1)=0`

`<=> (x-1)(3x-1)=0`

`<=> x-1=0` hoặc `3x-1=0`

`<=> x=1` (tm) hoặc `x=(1)/(3)`(tm)

Thử lại, ta thấy: `(x;y)=(1;1);((1)/(3);(1)/(3))`

Vậy ...

Mình sửa lại do đánh lỗi một số chỗ nhé:

Ta có: `x=4y+\sqrt{2xy}` (x, y > 0)

`<=> x-\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> x+\sqrt{2xy}-2\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> \sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})-2\sqrt{2y}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0`

`<=> (\sqrt{x}+\sqrt{2y})(\sqrt{x}-2\sqrt{2y})=0`

`<=> \sqrt{x}=2\sqrt{2y}`(do `\sqrt{x}+\sqrt{2y} > 0` với mọi x, y > 0)

`<=> x=8y`

Khi đó: `P=(\root[3]{xy}(3\root[3]{x}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{2xy})`

`=(\root[3]{8y*y}(3\root[3]{8y}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{2*8y*y})`

`=(2\root[3]{y^2}(6\root[3]{y}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{16y^2})`

`=(2\root[3]{y^2}*4\root[3]{y})/(4y)`

`=(8y)/(4y)=2`

#`Toru`

Ta có: `x=4y+\sqrt{2xy}` (x, y > 0)

`<=> x-\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> x+\sqrt{2xy}-2\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> \sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})-2\sqrt{2y}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0`

`<=> (\sqrt{x}+\sqrt{2y})(\sqrt{x}-2\sqrt{2y})=0`

`<=> \sqrt{x}=2\sqrt{2y}`(do `\sqrt{x}+\sqrt{2y} > 0` với mọi x, y > 0)

`<=> x=8y`

Khi đó:

`P=(\sqrt[3]{xy}(3\sqrt[3]{x}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{2xy})`

`=(\sqrt[3]{8y*y}(3\sqrt[3]{8y}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{2*8y*y})`

`=(2\sqrt[3]{y^2}(6\sqrt[3]{y}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{16y^2})`

`=(2\sqrt[3]{y^2}*4\sqrt[3]{y})/(4y)`

`=(8y)/(4y)=2`

#`Toru`