Ta có: `{(x^2-3xy+2y^2=0 (1)),((1)/(|x-2y|)+|x+2y|=4 (2)):}` (ĐK: $x \ne 2y$)

Xét pt (1): `x^2-3xy+2y^2=0`

`<=> x^2-xy-2xy+2y^2=0`

`<=> x(x-y)-2y(x-y)=0`

`<=> (x-y)(x-2y)=0

`<=> x=y` (do $x\ne 2y$)

Khi đó, pt (2) thành:

`(1)/(|x-2x|)+|x+2x|=4`

`<=> (1)/(|-x|)+|3x|=4`(ĐK: $x\ne 0$) (3)

+, Với `x<0`thì (3) thành:

`(1)/(-x)+(-3x)=4`

`<=> 3x+4+(1)/(x)=0`

`<=> 3x^2+4x+1=0` (do `x<0`)

`<=> 3x^2+3x+x+1=0`

`<=> 3x(x+1)+(x+1)=0`

`<=> (x+1)(3x+1)=0`

`<=> x+1=0` hoặc `3x+1=0`

`<=> x=-1` (tm) hoặc `x=-(1)/(3)`(tm)

Thử lại, ta thấy: `(x;y)=(-1;1);(-(1)/(3);-(1)/(3))` thoả mãn đề bài.

+, Với `x>0` thì (3) thành:

`(1)/(x)+3x=4`

`<=> 3x-4+(1)/(x)=0`

`<=> 3x^2-4x+1=0` (do `x>0`)

`<=> 3x^2-3x-x+1=0`

`<=> 3x(x-1)-(x-1)=0`

`<=> (x-1)(3x-1)=0`

`<=> x-1=0` hoặc `3x-1=0`

`<=> x=1` (tm) hoặc `x=(1)/(3)`(tm)

Thử lại, ta thấy: `(x;y)=(1;1);((1)/(3);(1)/(3))`

Vậy ...

Mình sửa lại do đánh lỗi một số chỗ nhé:

Ta có: `x=4y+\sqrt{2xy}` (x, y > 0)

`<=> x-\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> x+\sqrt{2xy}-2\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> \sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})-2\sqrt{2y}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0`

`<=> (\sqrt{x}+\sqrt{2y})(\sqrt{x}-2\sqrt{2y})=0`

`<=> \sqrt{x}=2\sqrt{2y}`(do `\sqrt{x}+\sqrt{2y} > 0` với mọi x, y > 0)

`<=> x=8y`

Khi đó: `P=(\root[3]{xy}(3\root[3]{x}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{2xy})`

`=(\root[3]{8y*y}(3\root[3]{8y}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{2*8y*y})`

`=(2\root[3]{y^2}(6\root[3]{y}-2\root[3]{y}))/(\sqrt{16y^2})`

`=(2\root[3]{y^2}*4\root[3]{y})/(4y)`

`=(8y)/(4y)=2`

#`Toru`

Ta có: `x=4y+\sqrt{2xy}` (x, y > 0)

`<=> x-\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> x+\sqrt{2xy}-2\sqrt{2xy}-4y=0`

`<=> \sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})-2\sqrt{2y}*(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0`

`<=> (\sqrt{x}+\sqrt{2y})(\sqrt{x}-2\sqrt{2y})=0`

`<=> \sqrt{x}=2\sqrt{2y}`(do `\sqrt{x}+\sqrt{2y} > 0` với mọi x, y > 0)

`<=> x=8y`

Khi đó:

`P=(\sqrt[3]{xy}(3\sqrt[3]{x}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{2xy})`

`=(\sqrt[3]{8y*y}(3\sqrt[3]{8y}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{2*8y*y})`

`=(2\sqrt[3]{y^2}(6\sqrt[3]{y}-2\sqrt[3]{y}))/(\sqrt{16y^2})`

`=(2\sqrt[3]{y^2}*4\sqrt[3]{y})/(4y)`

`=(8y)/(4y)=2`

#`Toru`

c. Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại A mà D là trung điểm của BC

nên AD là đường trung trực của đoạn BC

Mà $M\in AD$ nên `\hat{BMD}=\hat{CMD}` (1) (t/c) và $AD\perp BC$ tại D

Xét tứ giác DMPC có: `\hat{MDC} + \hat{MPC} = 90^o + 90^o = 180^o`($AD \perp BC; MP\perp AC$)

Mà hai góc này nằm đối diện nhau nên tứ giác DMPC nội tiếp

`=> \hat{CMD}=\hat{DPC}`(2)

Từ phần a ta có: `hat{AMH} + \hat{APH} = 180^o` (2 góc đối diện)

Mà: `\hat{APH} + \hat{DPC} = 180^o` (2 góc kề bù)

nên `\hat{DPC}=\hat{AMH}` (3)

Từ (1), (2) và (3) `=> \hat{BMD}=\hat{AMH}`

Lại có: `hat{AMH} + \hat{DMH} = 180^o` (2 góc kề bù)

nên: `hat{BMD} + \hat{DMH} =180^o` `=> \hat{BMH}=180^o`

hay ba điểm B, M, H thẳng hàng (đpcm)

\(\#Toru\)

a) Thể tích của bánh kem là:

\(\pi.15^2.15+\pi.\left(\frac{40}{2}\right)^2.20=11375\pi\left(\operatorname{cm}^3\right)\)

b) Chiều cao của chiếc bánh là:

\(15+20=35\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình hộp chữ nhật có nắp sao cho chiếc bánh đặt vừa khít chiếc hộp đó là:

\(2.\left(40+40\right).35=5600\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích tối thiểu của lượng giấy cần dùng là:

\(5600.\left(1+12,5\%\right)=6300\left(\operatorname{cm}^2\right)=0,63\left(m^2\right)\)

\(\#Toru\)