Rảnh chút thì vào làm thôi, mà dạo này anh lười lắm chứ đâu có chăm :"(

Với a, b, c là các số thực phân biệt khác 0:

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-1+\frac{3}{ab}=0$ (1)

Đặt $\frac 1a=x;\frac 1b=y$ ($x,y\ne0;x\ne y$)

Khi đó, (1) trở thành:

$x^3+y^3-1+3xy=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^3-1-3xy(x+y)+3xy=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)^3-3(x+y).(-1)(x+y-1)-3xy(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y-1)^2+3(x+y)-3xy]=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^2+y^2+1+2xy-2y-2x+3x+3y-3xy)=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)=0$

+, Nếu $x+y-1=0$

$\Rightarrow \frac 1a+\frac 1b-1=0$

$\Leftrightarrow \frac 1b=1-\frac 1a=\frac{a-1}{a}$

$\Leftrightarrow \frac ab=a-1$

Tương tự, ta cũng được: $\frac ba=b-1$

Khi đó: $[(a-1)(b-1)+2023]^{2024}$

$=\left(\frac ab.\frac ba+2023\right)^{2024}$

$=(1+2023)^{2024}=2024^{2024}$

+, Với $x^2+y^2+1-xy+x+y=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2-2xy+2x+2y=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$

Ta thấy: $\begin{cases} (x-y)^2\ge0\forall x,y \\ (x+1)^2\ge0\forall x\\ (y+1)^2\ge0\forall y\end{cases}$

$\Rightarrow (x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2\ge0\forall x,y$

Mà $(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$

Do đó: $\begin{cases} x-y=0\\ x+1=0\\y+1=0\end{cases}\Rightarrow x=y=-1$

$\Rightarrow \frac 1a=\frac 1b=-1$

$\Rightarrow a=b=-1$ (tmdk)

Khi đó: $[(a-1)(b-1)+2023]^{2024}$

$=\left[(-1-1).(-1-1)+2023\right]^{2024}$

$=2027^{2024}$

#$\mathtt{Toru}$

Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng số đó bằng tổng bình phương của số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối. Biết rằng hai chữ số cuối giống nhau.

`ax^4+bx^4+1`

`=(a+b)x^4+1` 

Vì `ax^4+bx^4+1 \vdots (x-1)^2`

nên `x=1` là nghiệm của đa thức `ax^4+bx^4+1` (định lí Bơ-du)

Khi đó: `(a+b).1^4+1=0`

`=>a+b=-1` (1)

Mà `a=1;b=-2` thoả mãn (1) nên ta được `a=1;b=-2`

P/s: Đề này hơi khó hiểu nha, do `a+b=-1` sẽ có vô số giá trị của a, b thoả mãn nên mình thấy yêu cầu này hơi lạ :v

CT: `x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)`

Ta có: `a^3+b^3+c^3`

`=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)`

`=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)`

`=(a+b+c)^3-3(a+b)[c(a+b+c)+ab]`

`=(a+b+c)^3-3(a+b)[c(b+c)+a(b+c)]`

`=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)`

`=>(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)` (đpcm)

Tính giá trị của biểu thức: \(P=\dfrac{xy-\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}{xy+\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}\) với: \(x=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right);y=\dfrac{1}{2}\left(b+\dfrac{1}{b}\right);a,b\ge1\)