\(pq\left(n+1\right)=\left(p+q\right)\left(n^2+1\right)\left(1\right)\)
Xét 2 trường hợp:
1) \(p=q\). Khi đó \(p^2\left(n+1\right)=2p\left(n^2+1\right)\Rightarrow p\left(n+1\right)=2\left(n^2+1\right)\)
\(\Rightarrow p\left(n+1\right)=2\left(n+1\right)^2-4n\Rightarrow4n⋮\left(n+1\right)\)
Do \(\left(n,n+1\right)=1\) nên \(4⋮\left(n+1\right)\Rightarrow n\in\left\{0;1;3\right\}\).
n=0 thì p=q=2. n=1 thì p=q=2. n=3 thì 4p=20, suy ra p=q=5.
2) \(p\ne q\Rightarrow\left(pq,p+q\right)=1\left(2\right)\)
Xét n chẵn. Ta có: \(\left(n+1,n^2+1\right)=1\). Từ (1) và (2), do p,q là các số nguyên tố, nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=pq\left(2\right)\\n+1=p+q\left(3\right)\end{matrix}\right.\). Do n chẵn nên từ (2), ta phải có p,q lẻ. Khi đó \(\left(p+q\right)⋮2\), mà \(\left(n+1\right)⋮̸2\), mâu thuẫn.
Xét n lẻ. Đặt \(n=2k+1\). Từ (1) ta có:
\(pq\left(k+1\right)=\left(p+q\right)\left(2k^2+2k+1\right)\)
Dễ dàng chứng minh được \(\left(k+1,2k^2+2k+1\right)=1\), nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}2k^2+2k+1=pq\\k+1=p+q\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2+2k+1=pq-k^2\\k^2+2k+1=p^2+2pq+q^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow pq-k^2=p^2+2pq+q^2\Rightarrow k^2+p^2+2pq+q^2=0\)
Dễ thấy vế trái luôn lớn hơn 0, vô lý.
Vậy \(\left(p,q\right)=\left(2,2\right),\left(5,5\right)\)
