Cho đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B. TT' là tiếp tuyến chung bất kì của 2 đường tròn (T thuộc (O), T' thuộc (I)). Đường thẳng qua T, T' vuông góc OI lần lượt tại S,S'. Chứng minh \(\Delta AST\sim\Delta T'AS'\)

a) Chứng minh rằng nếu \(gcd\left(a,b\right)=1\) thì \(gcd\left(a^m-b^m,a^n-b^n\right)=a^{gcd\left(m,n\right)}-b^{gcd\left(m,n\right)}\), với mọi m,n nguyên dương.

b) (Định lí cơ bản của Số học) Chứng minh rằng một số nguyên dương luôn có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố:

\(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}\)

Cho đa thức \(P\left(x\right)=\sum\limits^{21}_{i=0}a_ix^i\) có các hệ số thuộc \(\left[1011,2021\right]\). Biết rằng \(P\left(x\right)\) có n₀ nguyên, chứng minh rằng n₀ nguyên ấy phải duy nhất.

- Bài này em giả sử \(\alpha\) là n₀ nguyên của P(x) và chứng minh được \(\left|\alpha\right|< 2\) (sử dụng định lí về biên của n₀). Với \(\alpha=0,1\), em thấy không thoả, còn trường hợp \(\alpha=-1\) em vẫn chưa chứng minh tính duy nhất của nó được, mọi người giúp em phần này nhé ;)

Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thoả mãn:

\(f\left(xf\left(y\right)-y\right)+f\left(xy-x\right)+f\left(x+y\right)=2xy,\forall x,y\in R\)

Em chỉ mới chứng minh được f là hàm lẻ ạ, mong mọi người giúp :'(

Cho đa thức \(P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) với \(a_n\ne0\). Giả sử \(\alpha\) là nghiệm của P(x). Chứng minh rằng:

a) \(\left|\alpha\right|< 1+max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)

b) \(\left|\alpha\right|\le2max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)

Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được đánh số từ 0 đến n theo chiều từ trái sang phải và từ 0 đến m theo chiều từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0,0) đến nút (n,m) nếu chỉ cho phép đi trên các cạnh ô vuông theo chiều sang phải hoặc lên trên?