Bài 2:

a) Gợi ý: Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC thì IBI_aC nội tiếp. Đến đây biến đổi góc thì chứng minh được cả hai ý.

b) Từ ý đồng dạng suy ra \(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AY}{AI_a}\), nên \(\Delta ABK\sim\Delta AI_aY\) =>đpcm.

c) Gọi F là trung điểm AB thì \(\Delta AFK\) cân tại F, nên \(\widehat{FKA}=\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)=>FK//AC, từ đây ta có đpcm.

P/s: với mô hình này, đổi tâm bàng tiếp thành tâm nội tiếp thì ta cũng có những tính chất tương tự (và mô hình nội tiếp thường dùng nhiều hơn mô hình bàng tiếp).

Bài 3:

Dựa vào tính chất MN//BC và biến đổi góc thì chứng minh được \(NK=NC\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0\).

Khi đó AKI_aZ nội tiếp. Đến đây dùng biến đổi góc để chứng minh \(\widehat{I_aZX}=\widehat{I_aZK}\)

Mấy bài này bình thường với toán chuyên mà anh =) . Bài này có phương pháp cụ thể rồi nên giải dễ thôi, còn có mấy bài oái oăm hơn nữa =(

Từ phương trình (1) và (2), ta có \(y>0;x< 0\). Từ phương trình (1), ta có: \(y=-\dfrac{x^2+x+3}{x}\).

Thay vào phương trình (2), ta được:

\(\dfrac{\left(x+1\right)^2-3.\dfrac{x^2+3}{x}}{2}=\sqrt{-\dfrac{x^2+x+3}{x}\left(x^2+2\right)}+\left(x^2+x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2-5}{2}-\dfrac{3}{2}.\dfrac{x^2+3}{x}=\sqrt{-\dfrac{x^2+x+3}{x}\left(x^2+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3+5x}{2}+\dfrac{3x^2+9}{2}=\sqrt{-x.\left(x^2+x+3\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3+3x^2+5x+9}{2}=\sqrt{\left(-x^2-x-3\right)\left(x^3+2x\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{-x^2-x-3}\\b=\sqrt{x^3+2x}\end{matrix}\right.\left(a,b< 0\right)\). Phương trình trên trở thành:

\(ab=\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{3}{2}a^2\Leftrightarrow b^2-2ab-3a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-3a\right)=0\Leftrightarrow b=3a\).

Đến đây giải phương trình bình thường là được.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{1+\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[5]{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}}{\dfrac{x+1}{\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}=\dfrac{1+1+1+1+1}{1+1+1}=\dfrac{5}{3}\)

Mình trình bày kĩ thuật để giải bài này luôn nha (kĩ thuật này thường gọi là phương pháp hệ số bất định trong BĐT AM-GM). Kỹ thuật này dùng khi bất đẳng thức có các hệ số khác nhau, dẫn đến "điểm rơi" khác nhau.

Xét các số thực dương \(\alpha,\beta>0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+2\alpha^3\ge3\alpha^2a\\b^3+2\beta^3\ge3\beta^2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(\alpha^2a+\beta^2b\right)\le a^3+b^3+2\left(\alpha^3+\beta^3\right)\le1+2\left(\alpha^3+\beta^3\right)\)

Việc bây giờ cần làm là chọn các hệ số \(\alpha,\beta>0\) để có các hệ số tỉ lệ với hệ số của biểu thức A. Ta có: \(4\alpha^2=\beta^2\Rightarrow2\alpha=\beta\).

"Điểm rơi" của biểu thức A là \(a=\alpha;b=\beta\) và \(a^3+b^3=1\). Do đó: \(\alpha^3+\beta^3=1\Rightarrow9\beta^3=1\Rightarrow\beta=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{3};\alpha=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}\). Đến đây là xong rồi :D, bạn chỉ cần trình bày lại thôi.

a) Gợi ý: Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, và dựng đường kính DG của (I). Khi đó ta chỉ cần chứng minh A,G,M thẳng hàng --->có 2 cách: một là dùng Ceva-sin, hai là dùng Thales - gọi hết các tiếp điểm của (I), (I_a) với các cạnh là ra.

b) Câu này mình định dùng biến đổi lượng giác để làm :Đ, chắc chắn sẽ ra nhưng lời giải chắc siêu dài ấy (hoặc dùng toạ độ phức để tính :) . Mình chưa nghĩ ra cách thuần tuý của hình cho bài này, sr nhé :D.

\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+2x^2+3y-4x-3xy+2=0\\\sqrt{y-x+1}+\sqrt{x^2-y+3}-2=0\end{matrix}\right.\).

Từ phương trình đầu ta có: \(y^2-3\left(x-1\right)y+2\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow\left(y-x+1\right)\left(y-2x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x-1\\y=2x-2\end{matrix}\right.\). Đến đây thay vào phương trình thứ hai rồi giải thôi.

Thành viên từ 2022-2023 đến giờ còn onl chắc cũng chỉ tầm vài người :Đ , mình nhớ hồi đó đông vui lắm :)

Có thể làm cách khác như sau:

Số hình vuông trong hình vuông 9x9 hoàn chỉnh là: \(\sum\limits^9_{n=1}n^2=285\) (hình vuông).

Số hình vuông 1x1 bị bớt đi là: 9 (hình vuông).

Số hình vuông 2x2 bị bớt đi là số các hình vuông 2x2 trong hình vuông 5x5 (hình vuông chứa hết hình vuông 3x3 màu trắng): \(4.4=16\) (hình vuông)

Số hình vuông 3x3 bị bớt đi là số các hình vuông 3x3 trong hình vuông 7x7 (hình vuông chứa hết hình vuông 8x8 màu trắng): \(5.5\)=25 (hình vuông)

Số hình vuông 4x4 bị bớt đi là số các hình vuông 4x4 trong hình chữ nhật 8x9: \(5.6=30\) (hình vuông)

Vậy số các hình vuông là: \(285-9-16-25-30-\sum\limits^5_{n=1}n^2=150\) (hình vuông).