Cho a,b>0 thỏa mãn a + b ≤ \(\dfrac{1}{2}\). Chứng minh rằng a + b + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{17}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 +b2 +c2) = a+b+c+3. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^4+a^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{b^4+b^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{c^4+c^2+1}}\) \(\ge\sqrt{3}\)
mng giúp mình nhé, cảm ơnn
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\ge6\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)
Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)
=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)
=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)
=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)
Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số a, b, c, thỏa mãn: a + b+ c = \(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (4)
Có ai có cách giải khác k ạ ?NhưNhã Doanhchú tuổi gìTrịnh Thị Thúy VânMashiro Shiinalê thị hương giangNguyễn Trúc Maingonhuminh
Lê BùiKien NguyenNguyễn Huy TúAkai HarumaAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiPhương AnHoàng Lê Bảo NgọcVõ Đông Anh TuấnTrần Việt Linh
Đúng 0
Bình luận (5)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky:
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right).\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\le3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1. Biết a, b, c đôi 1 khác nhau . Chứng miinh rằng :
dfrac{b-c}{left(a-bright)left(a-cright)}+dfrac{c-a}{left(b-cright)left(b-aright)}+dfrac{a-b}{left(c-aright)left(c-bright)}dfrac{2}{a-b}+dfrac{2}{b-c}+dfrac{2}{c-a}.
2. Cho x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn dfrac{xy+1}{y}+dfrac{yz+1}{z}+dfrac{zx+1}{x}. Chứng minh rằng : left|xyzright|1
Đọc tiếp
1. Biết a, b, c đôi 1 khác nhau . Chứng miinh rằng :
\(\dfrac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{2}{a-b}+\dfrac{2}{b-c}+\dfrac{2}{c-a}\).
2. Cho x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn \(\dfrac{xy+1}{y}+\dfrac{yz+1}{z}+\dfrac{zx+1}{x}\). Chứng minh rằng : \(\left|xyz\right|=1\)
cho abc>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=0\)chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\dfrac{6}{7}\)
Hình như trong này có bài giải bạn vào xem nhée https://cunghocvui.com/danh-muc/toan-lop-10
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^2+2ab}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
\(a+b+c\le1\) hoặc \(a+b+c=1\) nhá
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi ..........
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 1: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b−2c=0 và a2+b2−ca−cb=0.Chứng minh rằng a = b = c.
bài 2: Giả sử a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a2+4a=b2+4b=1.
a) Chứng minh rằng a + b = −4.
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = −76.
c) Chứng minh rằng a4 + b4 = 322.
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn:\(\dfrac{a-b+c}{2b}\)=\(\dfrac{c-a+b}{2a}\)=\(\dfrac{a-c+b}{2c}\)
Tính giá trị biểu thức P=(1+\(\dfrac{c}{b}\)).(1+\(\dfrac{b}{a}\)).(1+\(\dfrac{a}{c}\))
TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{\left(b+c\right)}{b}.\dfrac{\left(a+b\right)}{a}.\dfrac{\left(a+c\right)}{c}=\dfrac{-a}{b}.\dfrac{-c}{a}.\dfrac{-b}{c}=-1\)
TH2: \(a+b+c\ne0\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{a-b+c}{2b}=\dfrac{c-a+b}{2a}=\dfrac{a-c+b}{2c}=\dfrac{a-b+c+c-a+b+a-c+b}{2b+2a+2c}=\dfrac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a-b+c}{2b}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c-a+b}{2a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{a-c+b}{2c}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=2b\\c+b=2a\\a+b=2c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b =1
Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Điều kiện của đề bài : \(a+b=1\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\) ( * )
Ta lại có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (*)
Cộng (1) (2) lại tao có :
\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2+a^2+b^2+2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
Mà : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (5)
Ta có : a + b =1 \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\) (1)
Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)
Cộng (1) và (2) theo từng vế , ta được :
\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\) ( đpcm )
Đúng 0
Bình luận (0)