Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta có \(\left[\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x-3\right)\right]+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+2\)

Đặt \(t=x^2-5x+5\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)+2\)

\(\Leftrightarrow t^2-1+2\)

\(\Leftrightarrow t^2+1\)

mà \(t^2\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+5\right)^2+1>0\)

Vậy biểu thức trên > 0 với mọi x

Ta cso

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2

<=> [ (x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)] +2

<=> (x²-5x+4)(x²-5x+6)+2

<=> (x²-5x+5-1)(x²-5x+5+1)+2

<=> (x²-5x+5)²-1+2

<=> (x²-5x+5)²+1

Ta thấy (x²-5x+5)²>=0

=> (x²-5x+5)²+1 >1>0(cmđ)

ta có : \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

bất đẳng thức này đúng vì ab\(\ge\) 1

ta có P=(a+b)(\(\dfrac{a+b}{ab}\))

<=>P=(a+b)^2:ab(ab khác 0)

vì(a+b)^2 luôn >=0 vs mọi a,b

a,b cùng dấu=>ab>0

vậy Pmin=0 khi (a+b)^2=0

Ta có: (a+b)(\(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) ) = 1+ \(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) +1

= 2 + ( \(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) )

= 2 + \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Ta lại có: (a-b)² \(\ge\) 0 <=> a²- 2ab + b² \(\ge\) 0

<=> a² + b² \(\ge\) 2ab

=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\) 2 ( cái này người ta gọi là bất đẳng thức Cô-si nhé, ko cần c/m)

=> 2+ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\) 4

=> (a+b)(\(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\) ) \(\ge\) 4

Dấu bằng xảy ra <=> a=b

Vậy GTNN của biểu thức là 4 khi a = b

\(A=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x-1+x\)

\(=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+\left(1-x\right)+\left(x-1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si với 4 số dương : \(\dfrac{3}{1-x};\dfrac{4}{x};1-x;x>0\)

Ta có : \(\dfrac{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}{4}\ge\sqrt[4]{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3}{1-x}=\dfrac{4}{x}=1-x=1\)

Vậy.....

Cậu coi thử đúng không chứ mình mới học BĐT cách đây 2 tiếng thôi nên không biết đúng hay sai .

Thông cảm !

thiếu giả thiết a,b,c khác 0

\(x^2-6x+9=25\\ \Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=5^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=5\\x-3=-5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-2\end{matrix}\right.\)

vậy tập nghiệm của phương trình là S={-2;7}

Ta có:a²+b²+2017 \(\geq \) 18a+88b(1)

\(\Leftrightarrow\) a²+b²+9²+44² \(\geq \) 18a+88b

\(\Leftrightarrow\) a²+b²+9²+44²-18a-88b \(\geq \) 0

\(\Leftrightarrow\) (a²-2.a.9+9²)+(b²-2.b.44+44²) \(\geq \) 0

\(\Leftrightarrow\) (a-9)²+(b-44)² \(\geq \) 0(2)

Ta có BĐT(2) luôn đúng với mọi a,b nên suy ra BĐT(1) luôn đúng với mọi a,b

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases} a=9\\ b=44 \end{cases}\)

Vậy BĐT (1) luôn đúng với mọi a,b

uh đúng rồi
tag t zô chi?

a) Ta có:

\(\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4(*)

\(\Leftrightarrow\) a² \(\geq\) 4.(a-1)

\(\Leftrightarrow\) a² \(\geq\) 4a-4

\(\Leftrightarrow\) a²-4a+4 \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a-2)² \(\geq\) 0(**)

Ta có BĐT(**) luôn đúng nên suy ra BĐT(*) luôn đúng

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=2

B) Áp dụng câu a ta được:

\(\dfrac{4a^2}{a-1}=4.\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4.4=16(1)

\(\dfrac{5b^2}{b-1}=5.\dfrac{b^2}{b-1}\) \(\geq\) 5.4=20(2)

\(\dfrac{3c^2}{c-1}=3.\dfrac{c^2}{c-1}\) \(\geq\) 3.4=12(3)

Cộng các BĐT(1),(2),(3) ta được

\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) \(\geq\) 16+20+12=48

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2

Đặt A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\)

Áp dụng BĐT đã CM ta có:

A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 4.4+8.4+12.4=16+32+48=96

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 96

hay A \(\geq\) 96

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2

Vậy Min_A=96 khi và chỉ khi a=b=c=2

a)

Ta có :

\(\dfrac{a^2}{a-1}\ge4\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a-1}\ge\dfrac{4a-4}{a-1}\left(\forall a-1\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (2)

BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) luôn đúng

Dấu bằng xảy ra chỉ khi và khi a = 2

2.\(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}>2\) (ĐKXĐ: \(x\ne0;2\))

\(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}>2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(x-2\right)x}+\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)x}>\dfrac{2x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)x}\\ \Rightarrow x^2+x^2-4>2x^2-4x\)

\(\Leftrightarrow-4>-4x\Leftrightarrow x>1\)

vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{x|x>1;x\ne2\right\}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt[]{\dfrac{1}{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt[]{ab}}\) (1)

Ta có \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt[]{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt[]{ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{2}\le\dfrac{2\sqrt[]{ab}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[]{ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\dfrac{a+b}{2}}\le\dfrac{2}{\sqrt[]{ab}}\Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\le\dfrac{2}{\sqrt[]{ab}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt[]{ab}}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

giả sử \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(1) đúng

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

trừ hai vế với 4ab, ta được:

\(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)

vì bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) luôn đúng

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b