Phương An

toán CASIO huh???

(d) \(y=\dfrac{1}{2}x+1\)

(d') y = ax + b

(d') // (d)

\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{2};b\ne1\) (1)

(d') đi qua điểm A(2 ; 1)

=> 1 = 2a + b (2)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2};b\ne1\\1=2a+b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy (d') \(y=\dfrac{1}{2}x\)

\(C=5-x^2+2x-4y^2-4y\)

\(=7-\left(x^2-2x+1\right)-\left(4y^2+4y+1\right)\)

\(=7-\left(x-1\right)^2-\left(2y+1\right)^2\le7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\) và \(y=-\dfrac{1}{2}\)

(x - 3)(2y - 5) = 74 (1)

x, y là số tự nhiên

\(\Rightarrow x\ge0;y\ge0\)

\(x\ge0\Rightarrow x-3\ge-3\)

\(y\ge0\Rightarrow2y\ge0\Rightarrow2y-5\ge-5\)

=> (1) <=> (x - 3)(2y - 5) = 1 . 74

hoặc (x - 3)(2y - 5) = 74 . 1

TH1:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3=1\\2y-5=74\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{79}{2}\end{matrix}\right.\) (loại)

TH2:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3=74\\2y-5=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=77\\y=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy (x ; y) = (77 ; 3)

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{1}\)

= 1

\(\sqrt{x+2-3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=\sqrt{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4-6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-5}-3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\) (1)

(~ ~ ~) Với \(\dfrac{5}{2}\le x< 3\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4-2\sqrt{2x-5}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-5}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\) (nhận)

(~ ~ ~) Với \(3\le x\le7\)

=> pt vô nghiệm

(~ ~ ~) Với 7 < x

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\sqrt{2x-5}-4=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(2x-5\right)=64\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{64+20}{8}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{21}{2}\) (nhận)

Vậy \(x\in\left\{\dfrac{5}{2};\dfrac{21}{2}\right\}\)

\(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)+\left(yz\right)^2\)

Đặt \(x^2+xy+xz=t\) và \(yz=u\), ta có:

\(4t\left(t+u\right)+u^2\)

\(=4t^2+4ut+u^2\)

\(=\left(2t+u\right)^2\)

\(=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\)

ABCD là hcn

=> AB = CD = 4 (cm) và AD = BC = 2 (cm)

\(\Delta CBD\) vuông tại C

\(\Rightarrow BD^2=BC^2+CD^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow BD=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(\Delta ACE\) vuông tại C có BC là đường cao

\(\Rightarrow BC^2=AB\times BE\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow BE=1\left(cm\right)\)

BE // CD

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{CD}=\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{BF}{BF+BD}\) (hệ quả Talet)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\dfrac{BF}{BF+2\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow BF=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)

\(DF=DB+BF=\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)

Qua điểm M, kẻ đoạn thẳng HK vuông góc với AB và CD (H thuộc AB và K thuộc CD)

=> AHKD và HBCK là hcn

=> AH = DK và HB = KC

ABCD là hv \(\Rightarrow BM+MD=BD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\)

\(\Delta HAM\) vuông tại H \(\Rightarrow MA^2=AH^2+HM^2\left(ptg\right)=DK^2+HM^2\)

\(\Delta HBM\) vuông tại H \(\Rightarrow MB^2=HM^2+HB^2\left(ptg\right)\)

\(\Delta KMD\) vuông tại K \(\Rightarrow MD^2=KM^2+KD^2\left(ptg\right)\)

\(\Delta KMC\) vuông tại K \(\Rightarrow MC^2=KC^2+MK^2\left(ptg\right)=HB^2+MK^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(MB^2+MD^2\right)\ge\left(MB+MD\right)^2\)

\(\Rightarrow MB^2+MD^2\ge\dfrac{\left(MB+MD\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2}=1\)

Ta có:

\(MA^2+MD^2+MB^2+MC^2\)

\(=\left(DK^2+HM^2\right)+\left(HM^2+HB^2\right)+\left(KM^2+KD^2\right)+\left(HB^2+MK^2\right)\)

\(=2\left(DK^2+KM^2\right)+2\left(HM^2+HB^2\right)\)

\(=2\left(MD^2+MB^2\right)\)

\(\ge2\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MA=MB=MC=MD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

~ ~ ~ ~ ~

Tam giác HAB có HD là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AD\times AB\left(htl\right)\left(1\right)\)

Tam giác HAC có HE là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AE\times AC\left(htl\right)\left(2\right)\)

(1) và (2) => đpcm

~ ~ ~ ~ ~

HDA = DAE = AEH = 90⁰

=> ADHE là hcn

=> EDH = AHD và HED = EHA

- - -

Tam giác DBH vuông tại D có DM là trung tuyến (M là trung điểm của BH)

=> DM = MH

=> Tam giác MDH cân tại M

=> MDH = MHD

Ta có: MDE = MDH + HDE = MHD + DHA = AHB = 90⁰

=> MD _I_ DE

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (M ; MD) (3)

- - -

Tam giác ECH vuông tại E có EN là trung tuyến (N là trung điểm của CH)

=> EN = NH

=> Tam giác NEH cân tại N

=> NEH = NHE

Ta có: NED = NEH + HED = NHE + EHA = AHC = 90⁰

=> NE _I_ DE

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (N ; NE) (4)

(3) và (4) => đpcm

~ ~ ~ ~ ~

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao:

(+) BC² = AB² + AC² (ptg)

=> BC = 10 (cm)

(+) AB² = BH . BC (htl)

=> BH = 3,6 (cm)

(+) AC² = HC . BC (htl)

=> HC = 6,4 (cm)

\(DM=\dfrac{BH}{2}=1,8\left(cm\right)\)

\(EN=\dfrac{HC}{2}=3,2\left(cm\right)\)

MD _I_ DE và NE _I_ ED

=> MD // NE

=> MDEN là hình thang

Q là trung điểm của DE (ADHE là hcn)

P là trung điểm của MN (gt)

=> PQ là đtb của hình thang MDEN

\(\Rightarrow PQ=\dfrac{\left(DM+EN\right)}{2}=2,5\left(cm\right)\)

~ ~ ~ ~ ~

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(\dfrac{x^4+5}{\sqrt{x^4+4}}=\dfrac{x^4+4+1}{\sqrt{x^4+4}}=\sqrt{x^4+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^4+4}}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^4=-3\) (vô lý)

Vậy \(\dfrac{x^4+5}{\sqrt{x^4+4}}>2\forall x\)

\(\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{8-6\sqrt{x-1}+x}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}+2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

Ta có:

\(VT=\left|\sqrt{x-1}+2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}+2+3-\sqrt{x-1}\right|=5\)

mà VP = 1

Vậy pt vô nghiệm.

\(\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-2}-2\right|+\left|\sqrt{x-2}-3\right|=1\)

Ta có:

\(VT=\left|\sqrt{x-2}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-2}\right|\ge\left|\sqrt{x-2}-2+3-\sqrt{x-2}\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{x-2}-2\right)\left(3-\sqrt{x-2}\right)\ge0\)

Bảng xét dấu:

Vậy \(6\le x\le11\)

\(x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)-\left(6x+6+\sqrt{2x^2-8x+12}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-\dfrac{36x^2+72x+36-\left(2x^2-8x+12\right)}{\left(6x+6\right)-\sqrt{2x^2-8x+12}}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-\dfrac{2\left(17x+6\right)\left(x+2\right)}{\left(6x+6\right)-\sqrt{2x^2-8x+12}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left[x-\dfrac{2\left(17x+6\right)}{\left(6x+6\right)-\sqrt{2x^2-8x+12}}\right]=0\)

Pt \(x-\dfrac{2\left(17x+6\right)}{\left(6x+6\right)-\sqrt{2x^2-8x+12}}\) vô nghiệm

=> x + 2 = 0

<=> x = - 2 (nhận)

\(\sqrt{125}-2\sqrt{20}-3\sqrt{80}+4\sqrt{25}\)

\(=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}-12\sqrt{5}+20\)

\(=20-11\sqrt{5}\)

~ ~ ~ ~ ~

\(\sqrt{8x}-\sqrt{18x}+2\sqrt{32x}=14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right)=14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\times7\sqrt{2}=14\)

\(\Leftrightarrow98x=196\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{7-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+\sqrt{x}\right)+\left(7\sqrt{x}-7-6x+6\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{-5x+14\sqrt{x}-7}{x-1}\)

\(\dfrac{-5x+14\sqrt{x}-7}{x-1}< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(-5x+14\sqrt{x}-7\right)< x-1\)

\(\Leftrightarrow11x-28\sqrt{x}+13>0\)

x² + 14x + y² - 12y + 47

= x² + 14x + 49 + y² - 12y + 36 - 38

= (x + 7)² + (y - 6)² - 38 \(\ge\) - 38

Dấu "=" xảy ra khi x = - 7 và y = 6

x² + 2x - 8y² = 41

<=> (x + 1)² - 8y² = 42 (1)

Ta có:

\(-8y^2⋮2\) và \(42⋮2\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)^2⋮2\Rightarrow x⋮̸2\)

Đặt x = 2k + 1 \(\left(k\in Z\right)\), ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2k+1+1\right)^2-8y^2=42\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^2-8y^2=42\)

\(\Leftrightarrow2\left(k+1\right)^2-4y^2=21\)

Ta có:

\(VT⋮2\) mà \(VP⋮̸2\)

Vậy pt không có nghiệm nguyên.

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\left(gt\right)\Rightarrow HC=4HB\)

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao:

\(AH^2=HB\times HC=HB\times4HB=4HB^2\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow HB=7\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=4\times7=28\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=S_{HAC}+S_{HAB}=\dfrac{1}{2}\times AH\times\left(HB+HC\right)=1372\left(cm^2\right)\)

Tam giác HAC vuông tại H có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow AC=14\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Tam giác HAB vuông tại H có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow AB=7\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(P_{ABC}=AB+AC+BC=14\sqrt{5}+7\sqrt{5}+\left(HB+HC\right)=42+21\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Tam giác ABD vuông tại A có AO là đường cao:

\(\dfrac{1}{AO^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\left(hlt\right)\)

\(\Rightarrow AO=12\left(cm\right)\)

Tam giác OAB vuông tại O:

\(AB^2=OA^2+OB^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OB=9\left(cm\right)\)

Tam giác OAD vuông tại O:

\(AD^2=OA^2+OD^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OD=16\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có DO là đường cao:

\(AD^2=OA\times AC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{100}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có:

\(AC^2=AD^2+DC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow DC=\dfrac{80}{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\times\left(AB+CD\right)\times AD=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)-\left(x-1\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1-x+1+x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
~ ~ ~

\(2\div\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}\)

\(=2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2\)

\(=3\sqrt{x}-2\ge-2\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

\(Q=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(=x-\sqrt{x}+1\)

\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0,25

~ ~ ~

\(Q_1=\dfrac{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}=3\sqrt{x}-3+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)

Q₁ đạt giá trị nguyên

<=> \(\sqrt{x}\in\text{Ư}\left(3\right)=\left\{1;3\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{1;9\right\}\)

\(P=\left[\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]\div\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)\(\div\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\times\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{-2}\)

\(=-\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}\)

~ ~ ~

\(-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}\le-1\)

\(\Leftrightarrow16+x+2\sqrt{x}+1\le-8\sqrt{x}-8\)

\(\Leftrightarrow x+10\sqrt{x}+25\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+5\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\le-5\) (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu.