Phương An

Xét tính bị chặn của dãy số cho bởi \(u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

Cho \(f\left(x\right)=x^3-3x\)

a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a\right)=b,f\left(b\right)=c,f\left(c\right)=a\)

b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực \(\left(a_i,b_i,c_i\right)\) với \(i=\overline{1,3}\) gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a_i\right)=b_i,f\left(b_i\right)=c_i,f\left(c_i\right)=a_i\) với \(i=\overline{1,3}\). Đặt \(S=a_i+b_i+c_i\) với \(i=\overline{1,3}\), chứng minh rằng \(S_1^2+S_2^2+S_3^2\ne S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3\)

Cho hàm số \(y=2x^3-3\left(m+1\right)x^2+18mx+8\) (m là tham số). Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[-1;2\right]\) là 24.

Cho hàm số \(y=mx^3-3mx^2+\left(2m+1\right)x+3-m\left(m\in R\right)\) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ \(I\left(\frac{1}{2};\frac{15}{4}\right)\) đến đường thẳng AB là lớn nhất.

Cho hàm số \(y=x+\left|x^2-2x+m\right|\) với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực trị.

Hai quả cầu nhỏ giống nhau bằng kim loại, có khối lượng 100g, được treo vào cùng một điểm O bằng hai sợi dây không dãn. Khi hai quả cầu tích điện như nhau thì thấy hai quả cầu đẩy nhau ở khoảng cách 2cm và hai sợi dây hợp với nhau một góc 60⁰. Một người dùng tay chạm vào một trong 2 quả cầu thì 2 quả cầu lại đẩy nhau ở khoảng cách 1cm. Lấy g = 10m/s². Góc tạo bởi 2 sợi dây sau khi chạm tay là:

A. 20⁰ B. 15⁰ C. 30⁰ D. 45⁰

Trên cùng một mặt phẳng trong không khí có \(\Delta AMN\) vuông tại \(A\), một điện tích \(q=2nC\) được đặt tại \(A\) thì người ta đo được cường độ điện trường tại \(M\) và \(N\) đều bằng nhau và bằng 200V/m. Khi di chuyển máy đo trên đoạn thẳng \(MN\) thì đo được cường độ điện trường lớn nhất là:
A. 400V/m B. 600V/m C. 800V/m D. 500V/m

Giải phương trình:

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

Đặt \(\sqrt{2x^2+5x+12}=a\text{ và }\sqrt{2x^2+3x+2}=b\left(a\text{ và }b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=x+5\left(\text{✳}\right)\\a^2-b^2=2\left(x+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a=b+2\text{. Thay vào }\left(\text{✳}\right)\)

\(\Rightarrow\left(b+2\right)+b=x+5\)

\(\Leftrightarrow b=\dfrac{x+3}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2x^2+3x+2}=x+3\)

\(\Leftrightarrow8x^2+12x+8=x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow\left(7x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\x=-1\end{matrix}\right.\)

☠ Bạn tự kết luận nha >..<"

Theo giả thiết \(\sqrt{\dfrac{yz}{x}}+\sqrt{\dfrac{xz}{y}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác, ta có bđt phụ: \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có: \(M=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2\times\sqrt{9}+\dfrac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz và bđt phụ \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow M^2=\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(\dfrac{a}{b+c+2a}+\dfrac{b}{c+a+2b}+\dfrac{c}{a+b+2c}\right)\)

\(\le\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{a}{b+a}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{9}{4}\)

➤ \(M\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-9y^3=\left(x-y\right)\left(2xy+3\right)\\x^2+y^2=xy+3\left(\text{✳}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^3-9y^3=\left(x-y\right)\left(2xy+3\right)\\x^2+xy+y^2=2xy+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^3-9y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3-9y^3=x^3-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3=8y^3\)

\(\Leftrightarrow x=2y\text{. Thay vào }\left(\text{✳}\right)\)

\(\Rightarrow4y^2+y^2=2y^2+3\)

\(\Leftrightarrow3y^2=3\)

\(\Leftrightarrow y=\pm1\)

\(\Rightarrow x=\pm2\)

➩ Bạn tự kết luận nhé ^^

Bài 1:

\(x^2+3y^2+4xy+4x+10y-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4y^2+4+4xy+4x+8y\right)-\left(y^2-2y+1\right)-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+2\right)^2-\left(y-1\right)^2=17\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y+1\right)\left(x+y+3\right)=17\)

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

Vì câu hỏi là hình ảnh nên phải đăng ở dưới phần trả lời.
Câu 4c và câu 5 thôi là được rồi :"<<
Cảm ơn nhiều ♡ ^^ ♡