Phương An

đây là bài tương tự của bài 9 SGK Toán 9 trang 70 :v trên mạng chắc chắn có giải rồi >///< bn tự tham khảo nhé ~~!

\(\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{1+a^2+\left(\dfrac{a}{a+1}\right)^2+2a-\dfrac{2a}{a+1}-\dfrac{2a^2}{a+1}}\)

(vì \(2a-\dfrac{2a}{a+1}-\dfrac{2a^2}{a+1}=\dfrac{2a^2+2a-2a-2a^2}{a+1}=0\))

\(=\sqrt{\left(1+a-\dfrac{a}{a+1}\right)^2}\)

\(=\left|1+a-\dfrac{a}{a+1}\right|\)

- - -

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{1+2014^2+\dfrac{2014^2}{2015^2}}+\dfrac{2014}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=\left|1+2014-\dfrac{2014}{2015}\right|+\dfrac{2014}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=2015\)

Tới đây bn làm bảng xét dấu nhé ~^^~

\(\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{9x^2+18x+8}+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{\left(3x+4\right)\left(3x+2\right)}+1\right)=2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x+4}=a\\\sqrt{3x+2}=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\ge0\right)\), ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=2\left(1\right)\\\left(a-b\right)\left(ab+1\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(ab+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\left(ab+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-ab-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-1\right)\left(1-a\right)=0\)

* Trường hợp 1: \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+4}=\sqrt{3x+2}\)

\(\Leftrightarrow0x=\sqrt{2}-2\)

=> Pt vô n_o

* Trường hợp 2: \(b-1=0\Leftrightarrow b=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+2}=1\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}\left(n\right)\)

* Trường hợp 3: \(a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+4}=1\)

\(\Rightarrow x=-1\left(l\right)\)

Vậy x = \(-\dfrac{1}{3}\)

Câu a) rút gọn bình thường :">

Còn câu b) trục căn thức ở VT ~~!

OD // EH (cùng _I_ AB)
OE // HD (cùng _I_ AC)
=> OEHD là h.b.h
- - -

\(\Delta EAC\) vuông tại E có \(\widehat{A}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DCH}=45^0\)
mà \(\Delta DHC\) vuông tại D
=> \(\Delta DHC\) vuông cân tại D
=> \(HC=\sqrt{2}HD=\sqrt{2}OE\)
và \(\widehat{DHC}=45^0\)​
\(\Rightarrow\widehat{NDB}=45^0\) (so le trong, EC // ND)
\(\Rightarrow\widehat{NOE}=45^0\) (đồng vị, EM // BD)
mà \(\Delta NOE\) vuông tại N
=> \(\Delta NOE\) vuông cân
=> \(OE=\sqrt{2}ON\)
=> HC = 2ON
- - -
\(\Delta DAB\) vuông cân taị D có DN là đ.c.
=> N là t.đ. của AB
=> CN là đ.t.tn. của \(\Delta ABC\)
OEHD là h.b.h. có I là t.đ. của ED
=> I là t.đ. của OH
=> H, O, I thẳng hàng
Gọi K là g.đ. của CN và OH.
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KN}=\dfrac{HC}{ON}=\dfrac{2ON}{ON}=\dfrac{2}{1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{NC}=\dfrac{KC}{KN+KC}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}\)
=> HI đi qua trọng tâm của ​\(\Delta ABC\)

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\) \(\left(\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{5}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-1+\sqrt{5-2x}-1=3x^2-12x+12\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-3-1}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{5-2x-1}{\sqrt{5-2x}+1}=3\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{2\left(2-x\right)}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)\right]\left(x-2\right)=0\)

\(3\sqrt{5x-1}-\sqrt{9x+7}=2\sqrt{x+2}\) \(\left(x\ge\dfrac{1}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{5x-1}=\sqrt{9x+7}+2\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow45x-9=13x+15+4\sqrt{9x^2+25x+14}\)

\(\Leftrightarrow8x-6=\sqrt{9x^2+25x+14}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x-6\ge0\\64x^2-96x+36=9x^2+25x+14\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{4}\\\left[{}\begin{matrix}x=2\left(n\right)\\x=\dfrac{1}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 2

Bài này liên hợp cũng được :"> nhưng không biết biện luận thế nào cho pt kia vô n_o TT.TT

\(pt\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x+2}-4\right)+\left(\sqrt{9x+7}-5\right)+\left(9-3\sqrt{5x-1}\right)=0\)

\(\Delta MAH\) vuông tại M (OM = OA = OH = R)

\(\Rightarrow\widehat{AMH}=90^0\)

\(\Delta NAH\) vuông tại N (ON = OA = OH = R)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=90^0\)

mà \(\widehat{MAN}=90^0\)

=> AMHN là h.c.n.

mà O là t.đ. của AH

=> O là t.đ. của MN

=> M, O, N thẳng hàng.

- - -

\(\widehat{HBA}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)

mà \(\widehat{HAC}=\widehat{MNA}\) (AMNH là h.c.n.)

\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{MNA}\)

\(\Rightarrow\widehat{HBA}+\widehat{MNC}=\widehat{MNA}+\widehat{MNC}=180^0\)

=> BMNC nội tiếp

- - -

Gọi g.đ. của AI và MN là K.

\(\Delta ABC\) có AI là đ.t.tn.

=> IA = IC

=> \(\Delta IAC\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\)

mà \(\widehat{HAC}=\widehat{MNA}\)

\(\Rightarrow\widehat{IAC}+\widehat{MNA}=\widehat{ICA}+\widehat{HAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AKN}=90^0\)

\(\Rightarrow AI\perp MN\)

- - -

\(BA.BM+CA.CN\)

\(=HB^2+HC^2\)

\(\ge2HB.HC=2AH^2\)

Dấu "=" xảy ra khi HB = HC \(\Leftrightarrow H\equiv I\)

<=> \(\Delta ABC\) vuông cân

Hình tự vẽ nhé ~^^~

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz và AM - GM, ta có:

\(M=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

\(=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)+\left(1-2x^2y^2+x^4y^4\right)\)

\(=\left(x^2+y^2\right)^2+\left(1-x^2y^2\right)^2\)

\(\ge\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+\left[1-\dfrac{\left(x+y\right)^4}{16}\right]^2\)

\(=\dfrac{841}{16}\)

Vậy Min M = 841/16 <=> x = y = \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)

Vì \(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}\times\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}\)

\(=\sqrt[3]{\left[y^2-\left(y^2+1\right)\right]}=\sqrt[3]{-1}=-1\)

nên ta có thể đặt \(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}=t\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}=-\dfrac{1}{t}\)

\(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}=t\)

\(\Leftrightarrow y-\sqrt{y^2+1}=t^3\)

\(\Leftrightarrow t^3+\sqrt{1+y^2}=y\)

\(\Leftrightarrow t^6+2t^3\sqrt{y^2+1}+1+y^2=y^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=\dfrac{-t^6-1}{2t^3}\)

\(\Leftrightarrow y^2=\dfrac{t^{12}+2t^6+1}{4t^6}-1\)

\(\Leftrightarrow y^2=\dfrac{t^{12}-2t^6+1}{4t^6}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{t^6-1}{2t^3}\)

- - -

\(x=t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{t^2-1}{t}\)

\(\Rightarrow x^3=\dfrac{t^6-3t^4+3t^2-1}{t^3}=2y-\dfrac{3t^2\left(t^2-1\right)}{t^3}=2y-\dfrac{3\left(t^2-1\right)}{t}=2y-3x\)

\(A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+2014\)

\(=x^3\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)+2014\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^3+3x-2y\right)+2014\)

\(=\left(x+y\right)\left(2y-3x+3x-2y\right)+2014\)

= 2014

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{y}}=\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\le\dfrac{6}{2}=3\)

Vậy Max A = 3 <=> x = y = \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đ.c. (gt)

=> H là t.đ. của BC

mà I là t.đ. của MC (gt)

=> HI là đ.t.b. của \(\Delta CMB\)

=> HI // MB (1)

- - -

N là t.đ. của MH (gt)

I là t.đ. của MC (gt)

=> NI là đ.t.b. của \(\Delta MHC\)

=> NI // HC

mà \(HC\perp AH\) (gt)

\(\Rightarrow NI\perp HC\)

mà \(HM\perp AI\)

=> N là trực tâm của \(\Delta AHI\)

\(\Rightarrow AN\perp HI\) (2)

- - -

(1) và (2) => đpcm