soyeon_Tiểubàng giải

Ta có: BC // HK, BH // CK (cùng \(\perp\) AD)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}BC=HK=9cm\\BH=CK=a\end{matrix}\right.\) (tính chất đoạn chắn)

Có: b + HK + c = AD

=> b + 9 + c = 30

=> b + c = 21

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=AB^2=20^2\\a^2+c^2=CD^2=13^2\end{matrix}\right.\)

Từ vế với vế ta được: b² - c² = 20² - 13²

=> (b - c)(b + c) = 231

=> (b - c).21 = 231

=> b - c = 11

Mà b + c = 21 nên \(\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{21-11}{2}=5=KD\\b=21-5=16=AH\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số không âm ta có:

\(3x^3+17y^3=3x^3+8y^3+9y^3\ge3\sqrt{3x^3.8y^3.9y^3}=3.3x.2y^2=18xy^2\left(đpcm\right)\)

Dấu "='' xảy ra khi x = y = 0

Gọi P là trung điểm của HC, kéo dài PO cắt AM tại K

\(\Delta HMC\) có O là trung điểm của MH, P là trung điểm của HC

=> OP là đường trung bình của \(\Delta HMC\)

=> OP // MC (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

Tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AM đồng thời là đường cao hay \(AM\perp MC\) (2)

Từ (1) và (2) => \(OP\perp AM\)

\(\Delta AMP\) có đường cao MH và PO cắt nhau tại O nên O là trực tâm của \(\Delta AMP\)

=> \(AO\perp MP\) (*)

Tương tự như trên cũng c/m được MP là đường trung bình của \(\Delta BHC\) => MP // BH

Kết hợp với (*) => \(AO\perp BH\left(đpcm\right)\)

Từ đề suy ra \(\left(\dfrac{x^2+x}{x^2+3}-1\right)+\left(3-\dfrac{3x^2-x+15}{x^2+4}\right)+\left(\dfrac{x^2+x+2}{x^2+5}-1\right)+x^3-3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{x^2+3}+\dfrac{x-3}{x^2+4}+\dfrac{x-3}{x^2+5}+x^2\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{x^2+3}+\dfrac{1}{x^2+4}+\dfrac{1}{x^2+5}+x^2\right)=0\)

=> x - 3 = 0 do \(\dfrac{1}{x^2+3}+\dfrac{1}{x^2+4}+\dfrac{1}{x^2+5}+x^2>0\forall x\)

=> x = 3

a + 5 = 7^c => 5 = 7^c - a

Thay vào a³ + 5a² + 21 = 7^b ta được:

a³ + (7^c - a).a² + 21 = 7^b

=> a³ + 7^c.a² - a³ + 21 = 7^b

=> 7^c.a² + 21 = 7^b

=> 7^b - 7^c.a² = 21 (1)

=> 7^c.(7^b-c - a²) = 21 (*)

Từ (1) => 7^b > 7^c.a² => b > c => 7^b-c nguyên mà a² nguyên nên 7^b-c - a² nguyên

Kết hợp với (*) => 21 chia hết cho 7^c

Mà \(7^c\ge7\) do c nguyên dương nên 7^c = 7 => c = 1

Thay vào a + 5 = 7^c ta được: a + 5 = 7¹ => a = 2

Thay c = 1; a = 2 vào (*) ta được: 7¹.(7^b-1 - 2²) = 21

=> 7^b-1 - 4 = 3

=> 7^b-1 = 7 => b - 1 = 1 => b = 2

Vậy a = b = 2; c = 1

Cộng vế với vế của 3 đẳng thức đã cho ta được:

\(x+y+z-2\sqrt{y+2012}-2\sqrt{z-2013}-2\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2012-2\sqrt{y+2012}+1\right)+\left(z-2013+2\sqrt{z-2013}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2012}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2013}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y+2012}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-2013}-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y+2012}-1=0\\\sqrt{z-2013}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y+2012}=1\\\sqrt{z-2013}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2011\\z=2014\end{matrix}\right.\)

Thay vào C ta được:

C = (3 - 4)²⁰¹⁶ + (-2011 + 2012)²⁰¹⁷ + (2014 - 2013)²⁰¹⁸

C = 1 + 1 + 1 = 3

bài toán này bắt nguồn 1 phần từ bài: Cho x;y;z nguyên thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3⋮3\). Chứng minh \(x+y+z⋮3\)

Quay về bài toán đầu: (cũng chứng minh luôn bài toán trên)

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có: \(x^3+y^3+z^3⋮3;3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮3\) nên \(\left(x+y+z\right)^3⋮3\)\(\Rightarrow x+y+z⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3⋮27\)

Kết hợp với (*) và \(x^3+y^3+z^3⋮27\)\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮27\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮9\left(1\right)\)

+) Nếu cả 3 số x;y;z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x;y;z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x;y;z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x;y;z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x;y;z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x;y chia hết cho 3

Khi đó; \(x+y⋮3;y+z⋮̸3;z+x⋮̸̸3\)

Để (1) đúng thì \(x+y⋮9\left(đpcm\right)\)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y;z

Khi đó, \(x+y⋮̸3;y+z⋮3;z+x⋮̸3\)

Để (1) đúng thì \(y+z⋮9\left(đpcm\right)\)

Vậy ta có đpcm

Ta thấy rằng \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) không thể cùng đồng thời là số vô tỉ hoặc có 1 số vô tỉ, 1 số hữu tỉ hoặc có 1 số hữu tỉ, 1 số tự nhiên hoặc có 1 số vô tỉ, 1 số tự nhiên vì \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\in N\)do đó \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) chỉ có thể cùng hữu tỉ hoặc cùng là số tự nhiên

Giả sử \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là số hữu tỉ thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{b}{d}\left(b,d\ne0;b,d\in Z\right)\\\sqrt{y}=\dfrac{c}{e}\left(c,e\ne0;c,e\in Z\right)\end{matrix}\right.\); b,d cùng dấu; c,e cùng dấu; (b,d)=1; (c,e)=1

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{e}=\dfrac{be+cd}{de}=a\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}be+cd⋮d\\be+cd⋮e\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}be⋮d\\cd⋮e\end{matrix}\right.\). Mà (b,d)=1; (c,e)=1 nên \(\left\{{}\begin{matrix}e⋮d\\d⋮e\end{matrix}\right.\)=> d = e

Lại có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}=a^2\in N\) và x;y \(\in N\)

nên \(2\sqrt{xy}=2.\dfrac{bc}{de}=2.\dfrac{bc}{d^2}=2.\dfrac{bc}{e^2}\in N\)

+) d (hay e) \(⋮2\) thì d² (hay e²) \(⋮4\) mà \(2.\dfrac{bc}{d^2}\) (hay \(2.\dfrac{bc}{e^2}\)) \(\in N\)nên bc \(⋮2\) => \(\left[{}\begin{matrix}b⋮2\\c⋮2\end{matrix}\right.\), mâu thuẫn với (b,d)=1; (c;e)=1

+) d (hay e) \(⋮̸\)2 thì \(\dfrac{bc}{d^2}\in N\Rightarrow\) \(bc⋮d^2\) mà (b;d)=1 nên c \(⋮d^2\) hay \(c⋮e^2\), mâu thuẫn với (c;e)=1

Như vậy điều giả sử là sai

=> \(\sqrt{x};\sqrt{y}\in N\left(đpcm\right)\)

Ta có: (a + b + c)² = a² + b² + c² = 1 (*)

=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = a² + b² + c²

=> ab + bc + ca = 0 (1)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ = 1

=> a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a³ + b³ + c³

=> 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

+) a = -b, thay vào (1) ta được: -b² + bc - bc = 0

=> -b² = 0 => b = 0 = a

Thay vào (*) => c = 1

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại

Như vậy trong 3 số a;b;c luôn có 2 số = 0; 1 số = 1

=> P = a¹⁹⁹⁸ + b¹⁹⁹⁹ + c²⁰⁰⁰ = 1

Ta có:

(a + b + c)² = 0 => a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0

=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

=> (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)²

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 4[a²b² + b²c² + c²a² + 2(ab²c + bc²a + ca²b)

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a²) + 8abc(a + b + c)

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a²) (vì a + b + c = 0) (1)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\right)\\2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2\right)\\a^4+b^4+c^4=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1); (2) và (3) ta có đpcm

(x + 3)(x + 4)(x + 5) = x

<=> (x² + 3x + 4x + 12)(x + 5) - x = 0

<=> (x² + 7x + 12)(x + 5) - x = 0

<=> x³ + 7x² + 12x + 5x² + 35x + 60 - x = 0

<=> x³ + 12x² + 46x + 60 = 0

<=> x³ + 6x² + 6x² + 36x + 10x + 60 = 0

<=> (x + 6)(x² + 6x + 10) = 0

<=> (x + 6)[(x + 3)² + 1] = 0

=> x + 6 = 0 => x = -6

Kí hiệu diện tích là dt

ABCD là hình bình hành nên AD = BC; AB = CD

AE = CF (gt) nên AB - AE = CD - CF => BE = DF

Gọi đường cao kẻ từ A,E,B đến CD hay từ D,F,C đến AB là a

đường cao kẻ từ B,C đến AD hay từ A,P,D đến BC là b

Ta có: dt AEFD = dt EBCF = \(\dfrac{\left(AE+DF\right).a}{2}\)= dt ABCD/2 (1)

dt ABP + dt PCD = \(\dfrac{AP.b}{2}+\dfrac{PD.b}{2}=\dfrac{AD.b}{2}=\dfrac{BC.b}{2}\)= dt PBC = dt ABCD/2 (2)

Từ (1) và (2) => dt AEFD = dt PBC

=> dt AEGP + dt PHFD + dt PGH = dt PGH + dt GBCH

=> dt AEGP + dt PHFD = dt GBCH

Ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 1

=> 1 + 2(ab+ bc + ca) = 1 => ab + bc + ca = 0 (*)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 1

=> 1 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 1

=> (a + b)(b + c)(c + a) = 0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

+) a = -b, thay vào (*) ta được: -b² + bc - bc = 0

=> -b² = 0 => b = 0 = a

=> abc = 0

TT cho 2 trường hợp còn lại ta cũng được abc = 0

Ta có:

(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1

=> a + 3xy = 1 => a = 1 - 3xy

5a(a + 1) = 5(1 - 3xy)(2 - 3xy) = 5(2 - 9xy + 9x²y²)

= 10 - 45xy + 45x²y² (1)

(x + y)⁵ = x⁵ + y⁵ + 5xy(x³ + x²y + x²y + xy² + xy² + y³) = 1

=> b + 5xy(x + y)(x² + xy + y²) = 1

=> b + 5xy(x² + xy + y²) = 1 (

=> b + 5xy(x + y)² - 5x²y² = 1

=> b = 1 + 5x²y² - 5xy

=> 9b + 1 = 9 + 45x²y² - 45xy + 1 = 10 + 45x²y² - 45xy (2)

Từ (1) và (2) => 5a(a + 1) = 1 + 9b (đpcm)

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{1.2006}}>\dfrac{1}{\dfrac{1+2006}{2}}=\dfrac{2}{2007}\)

TT: \(\dfrac{1}{\sqrt{2.2005}}>\dfrac{2}{2007}\)

...

\(\dfrac{1}{\sqrt{2006.1}}>\dfrac{2}{2007}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(S>\dfrac{2}{2007}.2006\)

ko đc tag tên có đc lm ko

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\)

\(=ab\sqrt{1.\left(c-1\right)}+\dfrac{bc\sqrt{9\cdot\left(a-9\right)}}{3}+\dfrac{ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}}{2}\)\(\le ab.\dfrac{1+\left(c-1\right)}{2}+bc.\dfrac{9+\left(a-9\right)}{6}+ca.\dfrac{4+\left(b-4\right)}{4}=abc\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{11abc}{12}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}1=c-1\\9=a-9\\4=b-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\a=18\\b=8\end{matrix}\right.\)

Câu 4:

b) x + |y - 1| = -1 => |y - 1| = -1 - x \(\ge0\) (*)

=> x \(\le-1\)

Thay |y - 1| = -1 - x vào |x - 2| + 2|y - 1| = 9 ta được

|x - 2| + 2.(-1 - x) = 9

=> |x - 2| - 2x = 11 (1)

Do x\(\le-1\) nên (1) trở thành: 2 - x - 2x = 11 => -9 = 3x => x = -3 (TM)

Thay vào (*) => |y - 1| = -1 - (-3) = 2 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-1=2\\y-1=-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y)=(-3;3); (x;y)=(-3;-1)

Câu 4:

a) 2x² + 2x + 1 = \(\sqrt{4x+1}\) (đk: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\))

\(\Rightarrow\left(2x^2+2x+1\right)^2=4x+1\)

<=> 4x⁴ + 4x² + 1 + 8x³ + 4x + 4x² - 4x - 1 = 0

<=> 4x⁴ + 8x³ + 8x² = 0 (*)

+) x = 0, thay vào (*) thỏa mãn

+) x \(\ne0\), chia cả 2 vế của (*) cho 4x² ta được:

x² + 2x + 2 = 0

<=> (x + 1)² + 1 = 0, vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm x = 0

Câu 3: 9x + 5y + 18 = 2xy

<=> 9(x - 2) - 2y(x - 2) = -y - 36

<=> (x - 2)(9 - 2y) = -y - 36

<=> x - 2 = \(\dfrac{-y-36}{9-2y}\) (1)

Do x - 2 nguyên nên \(-y-36⋮9-2y\)

\(\Rightarrow2y+72⋮9-2y\)\(\Rightarrow2y+72+9-2y⋮9-2y\)

\(\Rightarrow81⋮9-2y\)\(\Rightarrow9-2y\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9;27;-27;81;-81\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{4;5;3;6;0;9;-9;18;-36;45\right\}\)

Thay lần lượt giá trị của y vào (1) ta được các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn là: (43;5); (-11;3); (7;9); (1;-9); (3;45)

Bài 4:

Đặt P =\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)

\(P=a-\dfrac{a^2}{a+b}+b-\dfrac{b^2}{b+c}+c-\dfrac{c^2}{c+a}\)

\(P=a+b+c-\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\le a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(P\le a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

4x² - 4x + y² + 10y + 26 = 0

<=> [(2x)² - 2.2x + 1] + (y² + 2.5y + 5²) = 0

<=> (2x - 1)² + (y + 5)² = 0

Mà \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x;\left(y+5\right)^2\ge0\forall y\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-1\right)^2=0\\\left(y+5\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=-5\end{matrix}\right.\)

Gọi P là giao điểm của AH và BC

\(\Delta ABC\) có đường cao BD, CE cắt nhau ở H => H là trực tâm của \(\Delta ABC\) => AH hay AP là đường cao thứ 3 của \(\Delta ABC\)

\(\Delta ABP\) vuông tại P có: ABP + BAP = 90^o (1)

\(\Delta BCE\) vuông tại E có: EBC + ECB = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => BAP = ECB

Mà BAP = BAK do \(\Delta EAH=\Delta EAK\) (2 cạnh góc vuông)

nên ECB = BAK = KCB (đpcm)

\(A=\dfrac{x+3+2\sqrt{x^2-9}}{2x-6+\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{\left(\sqrt{x+3}\right)^2+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}{2\left(\sqrt{x-3}\right)^2+\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x+3}.\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{x-3}\right)}{\sqrt{x-3}.\left(2\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}\right)}=\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}\)

Gọi các điểm như trên

\(\Delta BHM=\Delta AHM\) (2 cạnh góc vuông)

=> \(M_1=M_2\) (2 góc tương ứng)

Mà \(M_1=M_4\) (đối đỉnh); \(M_2=M_3\) (đối đỉnh)

Nên \(M_3=M_4\)

TT: N₃ = N₄

\(\Delta MAN\) có phân giác góc ngoài NMx và MNy cắt nhau tại O nên AO là phân giác góc MAN (đpcm)

B = x - \(\sqrt{x-2007}\)

Đặt \(\sqrt{x-2007}=a\ge0\)

=> x = a² + 2007

B = a² + 2007 - a

\(B=a^2-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{8027}{4}=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{8027}{4}\ge\dfrac{8027}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-2007}=a=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{8029}{4}\)

c) Có: AC².AB² = (AB.AC)² = (AH.BC)² = AH².BC² (*)

\(\Delta\) ABC vuông tại A có: AB² + AC² = BC² (Py-ta-go)

Thay vào (*) được: AC².AB² = AH².(AB² + AC²)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2+AC^2}{AC^2.AB^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\) (đpcm)

\(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)

\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)

\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z\left(đpcm\right)\)