2a) Đặt Q(x) = \(\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}-1\)

Tính được Q(a) = 0; Q(b) = 0; Q(c) = 0

=> a;b;c là nghiệm của Q(x)

... tự làm tiếp

2b)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

<=> \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

<=> (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc

<=> (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=0

<=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0

<=> a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0

<=> a=-b hoặc b=-c hoặc c = -a

sau đó thay vào cái cần c/m

Giả sử n = 8k + 7 là tổng của 3 bình phương

Vì 8k + 7 là số lẻ nên 8k + 7 chỉ có thể tách thành tổng các bình phương của 3 số lẻ hoặc 2 số chẵn 1 số lẻ

Mà số chính phương chia 8 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Do đó, nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 3 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 1 + 1 + 1 = 3, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7

nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 2 số chẵn 1 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 0 + 0 + 1 = 1 hoặc 0 + 4 + 1 = 5 hoặc 4 + 4 + 1 = 9, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7

Như vậy, điều giả sử là sai

=> đpcm

\(M=\dfrac{x\left(yz-x^2\right)+y\left(zx-y^2\right)+z\left(xy-z^2\right)}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

\(=\dfrac{xyz-x^3+xyz-y^3+xyz-z^3}{x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2}\)

\(=\dfrac{-\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx}\)

\(=\dfrac{-\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\)

\(=\dfrac{-\left[\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)\right]}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\)

\(=\dfrac{-\left\{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\right\}}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\)

\(=\dfrac{-\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\)

\(=\dfrac{-\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}=\dfrac{-x-y-z}{2}\)

Nối DM, DN

Trên cạnh AD lấy H sao cho AH = AM

\(\Delta\) AHM có AH = AM (cách vẽ) nên \(\Delta\) AHM cân tại A (đn)

\(\Delta\) AHM cân tại A có góc A = 60^o (gt) nên \(\Delta\) AHM đều

=> MH = AM = AH

ABCD là hình thoi (gt) nên AB = BC = CD = AD (đn)

AB = BC <=> BN + NC = BM + AM = AB

Mà BM + BN = AB (gt)

Do đó, BM = NC, AM = BN = MH

AB = AD (cmt) <=> BM + AM = AH + HD

Mà AM = AH (cách vẽ)

Do đó, BM = HD

ABCD là hình thoi (gt) nên AD // BC (t/c)

=> góc A + góc B = 180^o (trong cùng phía)

<=> 60^o + góc B = 180^o

<=> góc B = 120^o

\(\Delta AMH\) đều (cmt) nên góc AHM = 60^o

Lại có: AHM + MHD = 180^o (kề bù)

Do đó, MHD = 120^o

\(\Delta MBN=\Delta DHM\left(c.g.c\right)\)=> MN = MD (2 cạnh t/ứ)

và góc N₁ = góc M₁

Lại có: N₁ + M₂ = 60^o (tự c/m)

Do đó, M₁ + M₂ = 60^o

=> góc DMN = 60^o

\(\Delta\) DMN cân tại M (vì MN = MD) có DMN = 60^o (cmt) nên tam giác DMN đều

=> đường trung trực của MN đi qua D

Mà D cố định do hình thoi ABCD cố định nên ta có đpcm

Ta có: x⁴ - x² + 2x + 2

= (x⁴ - 2x² + 1) + (x² + 2x + 1)

= (x² - 1)² + (x + 1)²

= [(x - 1)(x + 1)]² + (x + 1)²

= (x - 1)²(x + 1)² + (x + 1)²

= (x + 1)²[(x - 1)² + 1]

Vì (x + 1)²; (x + 1)²[(x - 1)² + 1] là số chính phương do x⁴ - x² + 2x + 2 nên (x - 1)² + 1 là số chính phương

=> (x - 1)² + 1 = n² (n \(\in N\))

<=> (x - 1)² - n² = -1

<=> (x - 1 - n)(x - 1 + n) = -1 (1)

Vì x;n thuộc Z nên x - 1 - n; x - 1 + n là ước nguyên của -1 (2)

Lại có: x - 1 - n \(\le\) x - 1 + n do \(n\in N\) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x-1-n=-1\\x-1+n=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-n=0\\\left(x-1-n\right)+\left(x-1+n\right)=-1+1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=n\\2x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=n\\2x=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=n\\x=1\end{matrix}\right.\)

Thử lại 1⁴ - 1² + 2.1 + 2 = 4, là số chính phương

Vậy x = 1 là giá trị cần tìm

x¹⁰ + x⁵ + x² + x - 4

= x¹⁰ - x⁵ + 2x⁵ - 2x² + 3x² - 3x + 4x - 4

= x⁵(x⁵ - 1) + 2x²(x³ - 1) + 3x(x - 1) + 4(x - 1)

...

còn lại tự làm

a⁵ + b⁵ = 9(c⁵ + d⁵)

<=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ = 10(c⁵ + d⁵)

mà 10(c⁵ + d⁵) chia hết cho 10 nên a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ chia hết cho 10 (*₁)

Ta có: a⁵ - a = a(a⁴ - 1)

= a(a² - 1)(a² + 1)

= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5)

= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5(a - 1)a(a + 1)

= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)

Vì a là số tự nhiên nên (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2 và 5

Mà (2;5)=1 nên (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 10 (1)

a là số tự nhiên nên (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp => (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 2

=> 5(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 10

hay a⁵ - a chia hết cho 10

CMTT: b⁵ - b; c⁵ - c; d⁵ - d chia hết cho 10

Do đó, a⁵ - a + b⁵ - b + c⁵ - c + d⁵ - d chia hết cho 10

<=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ - (a + b + c + d) chia hết cho 10 (*₂)

Từ (*₁) và (*₂) suy ra a + b + c + d chia hết cho 10

hay S chia hết cho 10

=> chữ số tận cùng của S là 0

a³ + b³ + c³ + 5a + 5b + 5c

= a³ - a + b³ - b + c³ - c + 6a + 6b + 6c

= a(a² - 1) + b(b² - 1) + c(c² - 1) + 6a + 6b + 6c

= a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c)

a;b;c \(\in Z\) nên a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) chia hết cho 3

Mà 6(a + b + c) chia hết cho 6

Do đó a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c) chia hết cho 6

hay a³ + b³ + c³ + 5a + 5b + 5c chia hết cho 6 (đpcm)

Trên tia đối của PB lấy H sao cho BP = PH

\(\Delta BPC\) và \(\Delta HPD\) có:

BP = HP (cách vẽ)

BPC = HPD (đối đỉnh)

PC = PD (gt)

Do đó, \(\Delta BPC=\Delta HPD\left(c.g.c\right)\)

=> BC = DH (2 cạnh t/ứng)

và PBC = PHD (2 góc t/ứ), mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // HD

\(\Delta ABH\) có: M là trung điểm của AB (gt)

P là trung điểm của BH (vì HP = BP)

Do đó, MP là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (định nghĩa)

\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AH\) ; MP // AH (tính chất)

\(MP=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => 2MP = AH

Có: AD + DH \(\ge AH\) (quan hệ giữa 3 điểm bất kì)

\(\Leftrightarrow AD+BC\ge2MP\) (thay DH = BC; AH = 2MP)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AD+BC}{2}\ge MP\)

Mà theo đề bài: \(MP=\dfrac{BC+AD}{2}\)

Do đó, AD + DH = AH

=> A,D,H thẳng hàng

Mà HD // BC (cmt) nên AD // BC

Tương tự: AB // CD

Tứ giác ABCD có: AD // BC (cmt)

AB // CD (cmt)

Do đó, ABCD là hình bình hành (định nghĩa)

Vậy ta có đpcm