Trên tia đối của PB lấy H sao cho BP = PH
\(\Delta BPC\) và \(\Delta HPD\) có:
BP = HP (cách vẽ)
BPC = HPD (đối đỉnh)
PC = PD (gt)
Do đó, \(\Delta BPC=\Delta HPD\left(c.g.c\right)\)
=> BC = DH (2 cạnh t/ứng)
và PBC = PHD (2 góc t/ứ), mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // HD
\(\Delta ABH\) có: M là trung điểm của AB (gt)
P là trung điểm của BH (vì HP = BP)
Do đó, MP là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (định nghĩa)
\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AH\) ; MP // AH (tính chất)
\(MP=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => 2MP = AH
Có: AD + DH \(\ge AH\) (quan hệ giữa 3 điểm bất kì)
\(\Leftrightarrow AD+BC\ge2MP\) (thay DH = BC; AH = 2MP)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD+BC}{2}\ge MP\)
Mà theo đề bài: \(MP=\dfrac{BC+AD}{2}\)
Do đó, AD + DH = AH
=> A,D,H thẳng hàng
Mà HD // BC (cmt) nên AD // BC
Tương tự: AB // CD
Tứ giác ABCD có: AD // BC (cmt)
AB // CD (cmt)
Do đó, ABCD là hình bình hành (định nghĩa)
Vậy ta có đpcm
đố làm được ha
