Mới nghĩ ra 3 câu:

a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)

c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)

\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)

d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm

Mn giúp e vs ạ! Thanks!

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

3 g) \(xyz=x+y+z+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.

Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)

\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)

3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)

\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)

\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Phạm Lan Hương, Hưng Nguyễn Lê Việt, Nguyễn Việt Lâm, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Phạm Băng Nguyệt, HISINOMA KINIMADO, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @tth_new

giúp e vs ạ! thanks nhiều!

Please !!!!!

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

Với \(a=b\) thì \(\left(a^2+1\right)^2\) và \(c^2\) là 2 số tự nhiên liên tiếp đều chính phương nên \(c=0;a^2+1=1\) (ktm)

Với \(a\ne b\), ko mất tính tổng quát giả sử \(a< b\)

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2+1\Leftrightarrow a^2\left(b^2+1\right)=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\) (1)

Mà \(b^2+1\) là SNT \(\Rightarrow c-b\) hoặc \(c+b\) chia hết \(b^2+1\)

Do \(a< b\Rightarrow\left(b^2+1\right)^2>c^2+1\Rightarrow b^2>c\) (2)

Nếu \(c-b\) chia hết \(b^2+1\Rightarrow c-b\ge b^2+1\Rightarrow c\ge b^2+b+1>b^2\) mâu thuẫn (2)

\(\Rightarrow c+b\) chia hết \(b^2+1\) \(\Rightarrow c+b=k\left(b^2+1\right)\Rightarrow k\left(b^2+1\right)< b^2+b\)

\(\Rightarrow k< \dfrac{b^2+b}{b^2+1}< 2\Rightarrow k=1\)

\(\Rightarrow c=b^2-b+1\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2\left(b^2+1\right)=\left(b-1\right)^2\left(b^2+1\right)\Rightarrow a^2=\left(b-1\right)^2\)

\(\Rightarrow a=b-1\)

\(\Rightarrow\left(b-1\right)^2+1\) và \(b^2+1\) cùng là số nguyên tố

- Với \(b=1\) không thỏa

- Với \(b=2\) thỏa

- Với \(b>2\) do \(b^2+1\) nguyên tố \(\Rightarrow b^2+1\) lẻ \(\Rightarrow b\) chẵn

\(\Rightarrow\left(b-1\right)^2+1\) chẵn \(\Rightarrow\) ko là SNT \(\Rightarrow\) không thỏa

Vậy \(b=2;a=1;c=3\)