Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

nguyễn công huy
Xem chi tiết
nguyễn công huy
Xem chi tiết
nguyễn công huy
Xem chi tiết
Thanh Phong (9A5)
19 tháng 10 2023 lúc 12:09

Ta có: \(a+b+c=3\)  

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\left(a+b+c\right)}\)

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{3^2}{2\cdot3}=\dfrac{3}{2}\)

__________________

Nhắc lại BĐT Cauchy - Schwarz:

\(\dfrac{x^2_1}{a_1}+\dfrac{x^2_2}{a_2}+\dfrac{x^2_3}{a_3}+...+\dfrac{x^2_n}{a_n}\ge\dfrac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^2}{a_1+a_2+...+a_n}\) 

(p/s: bạn xem lại để nhé !) 

Bình luận (0)
Nguyễn Linh
Xem chi tiết
Phạm Chi
Xem chi tiết
Phạm Chi
Xem chi tiết
Scarlett
Xem chi tiết
Gia Huy
20 tháng 6 2023 lúc 16:17

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (1)
Akai Haruma
20 tháng 6 2023 lúc 17:24

Lời giải:

Nếu $m=-1$ thì BPT có nghiệm $x\in\mathbb{R}$

Nếu $m\neq -1$:

Bài toán tương đương với tìm $m$ để: 

$(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ có nghiệm 

Để làm điều này ta sẽ đi tìm $m$ để $(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ vô nghiệm 

$\Leftrightarrow (m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m>0(*)$ với mọi $x$

Dễ thấy $(*)$ xảy ra khi $m^3+1>0$ và $\Delta'=(m^2+m)^2-m(m^3+1)<0$

$\Leftrightarrow m>-1$ và $(m+1)m(2m-1)<0$

$\Leftrightarrow m>-1$ và $m(2m-1)<0$ 

$\Leftrightarrow m>-1$ và $0< m< \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 0< m< \frac{1}{2}$

Suy ra để $(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ có nghiệm thì $m\leq 0$ hoặc $m\geq \frac{1}{2}$

Kết hợp với $m=-1$ ở đầu vào thì $m\leq 0$ hoặc $m\geq \frac{1}{2}$

Đáp án B.

 

Bình luận (4)
Gia Huy
20 tháng 6 2023 lúc 15:52

Có:

\(3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\Leftrightarrow x=m+2.hoặc.x=\dfrac{4-m}{3}\)

+) Với \(m+2>\dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow3m+6>4-m\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình bất phương trình  \(\Leftrightarrow\dfrac{4-m}{3}\le x\le m+2\) 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge\dfrac{4-m}{3}\\1\le m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge7\\m\ge-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge7\left(kết.hợp.đk:m>-\dfrac{1}{2}.thỏa.mãn\right)\)

+) Với \(m+2< \dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình

\(\Leftrightarrow m+2\le x\le\dfrac{4-m}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[m+2;\dfrac{4-m}{3}\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[m+2;\dfrac{4-m}{3}\right]\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge m+2\\1\le\dfrac{4-m}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-3\\m\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\le-3\left(thỏa.mãn.đk:m< -\dfrac{1}{2}\right)\)

+) Với \(m=-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\) nên \(m=-\dfrac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m\in\) (\(-\infty\); -3] \(\cup\) [7; \(+\infty\)) là giá trị cần tìm

Bình luận (4)
Gia Huy
20 tháng 6 2023 lúc 15:53

Có:

\(3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\Leftrightarrow x=m+2.hoặc.x=\dfrac{4-m}{3}\)

+) Với \(m+2>\dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow3m+6>4-m\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình bất phương trình  \(\Leftrightarrow\dfrac{4-m}{3}\le x\le m+2\) 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge\dfrac{4-m}{3}\\1\le m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge7\\m\ge-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge7\left(kết.hợp.đk:m>-\dfrac{1}{2}.thỏa.mãn\right)\)

Bình luận (0)