Bài 1: 

\(\frac{x+1}{65}+\frac{x+3}{63}=\frac{x+5}{61}+\frac{x+7}{59}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{65}+1+\frac{x+3}{63}+1=\frac{x+5}{61}+1+\frac{x+7}{59}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+66}{65}+\frac{x+66}{63}=\frac{x+66}{61}+\frac{x+66}{59}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+66\right)\left(\frac{1}{65}+\frac{1}{63}-\frac{1}{61}-\frac{1}{59}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+66=0\)

\(\Leftrightarrow x=-66\)

b) \(\frac{m^2\left(\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2\right)}{8}-4x=\left(m-1\right)^2+3\left(2m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2x-4x=m^2+4m+4\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-4\right)x=m^2+4m+4\)

Để phương trình vô nghiệm thì \(\hept{\begin{cases}m^2-4=0\\m^2+4m+4\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\vee m=-2\\\left(m+2\right)^2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow m=2\)

ĐKXĐ:\(\hept{\begin{cases}a,b\ne0\\x\ne b\\x\ne c\end{cases}}\)

Ta có:\(\frac{2}{a\left(b-x\right)}-\frac{2}{b\left(b-x\right)}=\frac{1}{a\left(c-x\right)}-\frac{1}{b\left(c-x\right)}\)

      \(\Leftrightarrow\frac{2}{b-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{c-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}\right)=0\)

Nếu \(a=b\)thì phương trình đúng với mọi nghiệm x

Nếu \(a\ne b\)thì phương trình có nghiệm

\(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(c-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}-\frac{1\left(b-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}=0\)

\(\Rightarrow2c-2x-b+x=0\)

\(\Leftrightarrow-x=b-2c\)

\(\Leftrightarrow x=2c-b\left(tmđkxđ\right)\)

Vậy ..............................................................................................

\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)

Phương trình trở thành :

\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)

a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)

b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]

Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)

Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm

\(\frac{1}{2}\left|m+3\right|.\left|\frac{-m-3}{m-2}\right|=1\left(m\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left|m+3\right|.\left|\frac{m+3}{2-m}\right|=2\)\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)^2=2\left|2-m\right|\)(1)

trường hợp 1: 2-m>0 => m<2 khi đó:

(1) \(\Leftrightarrow m^2+6m+9=4-2m\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2=11\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+4=\sqrt{11}\\m+4=-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{11}-4\\m=-\sqrt{11}-4\end{matrix}\right.\)(tm)

trường hợp 2: 2-m<0=> m>2 khi đó:

(1)\(\Leftrightarrow m^2+6m+9=2m-4\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+13=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2+9=0\)(vô lý vì (m-2)²\(\ge0\)với mọi m)

vậy \(m=\sqrt{11}-1;m=-\sqrt{11}-4\)là nghiệm của phương trình

Nguyễn Lê Phước Thịnh, Phạm Lan Hương, ?Amanda?, Hoàng Yến, Phạm Thị Diệu Huyền, Nguyễn Thị Thùy Trâm, Vũ Minh Tuấn, Jeong Soo In, dovinh, Nguyễn Ngọc Lộc , Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng, Trần Thanh Phương, Phạm Minh Quang,Akai Haruma , Nguyễn Huy Tú, Ace Legona, Nguyễn Thanh Hằng, Mashiro Shiina, Mysterious Person, soyeon_Tiểubàng giải, Võ Đông Anh Tuấn, Phương An, Trần Việt Linh,...

ĐKXĐ : \(x\ne\frac{3}{2};-1;3\)

\(< =>\frac{x\left(2x+2\right)+x\left(2x-3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+2\right)}=\frac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(< =>\frac{2x^2+2x+2x^2-3x}{\left(2x-3\right)2\left(x+1\right)}=\frac{2x.2\left(2x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)2\left(2x-3\right)}\)

\(< =>\frac{\left(4x^2-x\right)\left(x-3\right)}{\left(2x-3\right)2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{8x^2-12x}{\left(2x-3\right)2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(=>4x^3-12x^2-x^2+3x=8x^2-12x\)

\(< =>4x^3-13x^2+3x-8x^2+12x=0\)

\(< =>4x^3-21x^2+15x=0\)

\(< =>x\left(4x^2-21x+15\right)=0\)

\(< =>x\left(4x^2-\frac{21}{4}.2.2x+\frac{441}{16}-\frac{201}{16}\right)=0\)

\(< =>x\left(\left(2x-\frac{21}{4}\right)^2-\sqrt{\frac{201}{16}}^2\right)=0\)

\(< =>x\left(2x-\frac{21}{4}-\frac{\sqrt{201}}{4}\right)\left(2x-\frac{21}{4}+\frac{\sqrt{201}}{4}\right)=0\)

\(< =>x\left(2x-\frac{21+\sqrt{201}}{4}\right)\left(2x-\frac{21-\sqrt{201}}{4}\right)=0\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x=0\\2x-\frac{21+\sqrt{201}}{4}=0\\2x-\frac{21-\sqrt{201}}{4}=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=0\\x=\frac{21+\sqrt{201}}{8}\\x=\frac{21-\sqrt{201}}{8}\end{cases}}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ)