Chúc mừng năm mới 2023! Kính chúc mọi người có sức khỏe, niềm vui và gặt hái được nhiều thành công trong năm mới nhé, chúc cộng đồng chúng ta tiếp tục phát triển mạnh mẽ và giữ vững ngôi hệ thống web thịnh hành nhất Việt Nam!
Mình rất hóng bạn nào giải được bài toán đầu tiên của năm, và mình sẽ trao 2GP cho bạn giải được nhé:
Cho x,y,z > 0. Chứng minh rằng:
\(\left(x+y+z\right)^2\left[\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+z^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xz}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2z^2\sqrt{xz}+z^5}}\right]\)
\(\ge\dfrac{27}{\sqrt[5]{2023+2}}\)
Em xin giải bài toán kia nhé :)
Trước hết ta có hằng đẳng thức:
\(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5=\left(x+y\right)^5\)
Biến đổi hằng đẳng thức trên:
\(x^5+y^5+5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]=\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\left(x+y\right)^5\) (*)
Quay lại bài toán trên:
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(1\right)\\2xy\le x^2+y^2\Rightarrow3xy\le x^2+xy+y^2\Rightarrow xy\le\dfrac{x^2+xy+y^3}{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Vì cả 2 vế của BĐT (1) và (2) đều dương nên lấy \(\left(1\right).\left(2\right)\) ta được:
\(xy\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{6}\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^5+2023xy.xy\sqrt{xy}+y^5\le x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\left(3\right)\)
Đặt \(A=x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\)
\(=\dfrac{6x^5+2023xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+6y^5}{6}\)
\(=\dfrac{6\left[x^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\right]+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\)
Áp dụng (*) ta có:
\(A=\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\left(4\right)\)
Ta có: \(xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}.3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{3xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}{2}\right]^2=\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2xy}{2}\right]^2\left('\right)\)
\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(''\right)\)
Từ (') và ('') ta có:
\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}{2}\right]^2=\left[\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\right]^2=\dfrac{9}{16}\left(x+y\right)^4\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^4\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5\left(5\right)\)
Từ (4), (5) ta có:
\(A\le\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993.\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{\dfrac{6075}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\) hay
\(x^5+\dfrac{2023}{6}xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\left(6\right)\)
Từ (3), (6) ta có:
\(x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{x+y}{2}\left(1'\right)\)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(2'\right)\)
Vì cả 2 vế của (1') và (2') đều dương nên lấy \(\left(1'\right).\left(2'\right)\) ta được:
\(\sqrt{xy}.\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(x+y\right)^2}\left(7\right)\)
CMTT ta cũng có:
\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(y+z\right)^2}\left(8\right)\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(z+x\right)^2}\left(9\right)\)
Lấy \(\left(7\right)+\left(8\right)+\left(9\right)\) rồi nhân mỗi vế của BĐT mới cho \(\left(x+y+z\right)^2\) ta được:
\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}}\left(x+y+z\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\right]\left(10\right)\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2}}\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{x+y+y+z+z+x}{3}\right)^3\right]^2}}\)
\(=3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^6}}=3.\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^2}=\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\left(11\right)\)
Từ (10) và (11) ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)
\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2023+2}}.\left(x+y+z\right)^2.\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{27}{\sqrt[5]{2023+2}}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
lâu rồi không gặp a, chúc mừng năm mới a, mà cái phương trình này lớp 9 còn e mới lớp 8 :)))))))))))))))
Chúc mừng năm mói 2024 vui vẻ và ấp áp !
Nhân ngày tết 2024 em xin kính chúc cá thầy ,cô và các bạn có một năm mới tràn đầy niềm vui và sức khỏe hạnh phúc bên gia đình.
Năm mới chúc bạn dồi dào sức khỏe, vui vẻ và chăm chỉ học tập nhé.
Chúc mừng năm mới 2021!
Hoc24 chúc tất cả các em một năm mới nhiều niềm vui và đạt được những thành tích cao trong học tập.
Hãy chia sẻ mục tiêu của mình trong năm nay để Hoc24 tiếp tục đồng hành cùng các em nhé!
Chúc cộng đồng học tập của chúng ta ngày càng phát triển và vững mạnh hơn!
Happy New Year 2021 ❤
Chúc tất cả mọi người năm mới vui vẻ, hạnh phúc, đạt nhiều thành công hơn! Happy new year!!
Chúc tất cả mn sẽ có 1 năm mới vui vẻ, hạnh phúc, ngày càng học giỏi, thực hiên đươc ước mơ mà mình mong muốn nha! Những ai còn đag cô đơn thì mong rằng sau khi đọc cái tus này của iem thì sẽ có ny ngay và luôn nha!
Nhân ngày 20-11,em là hs mới tại HOC24 ạ.Em kính chúc quý thầy cô luôn luôn mạnh khỏe,thành công trong cuộc sống,luôn luôn vui vẻ,sức khỏe dồi dào,chúc cô luôn xih đẹp,chúc thầy luôn dạy giỏi ạ.Chúc thầy cô thật vui vẻ trong ngày Hiến Chương Các Nhà Giáo ạ!! Và có một ngày được hs tặg nhiều quà
Chúc mừng 20-11 chúc các thầy cô dồi dào sức khỏe
Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc: Vui trong sức khỏe, trẻ trong tâm hồn, khôn trong lý tưởng và trưởng thành trong mọi lĩnh vực.
.Chúc mừng năm mới: Thành công luôn tới, sức khỏe tuyệt vời, may mắn khắp nơi, làm nhiều điều mới.
MN đón giao thừa vv nhe!!!
Năm mới chúc bạn luôn vui vẻ, tràn đầy sức khoẻ, ngày càng xinh đẹp, học giỏi
1.Chúc mọi người khoẻ như hổ, sống lâu như rùa, mắt tinh như đại bàng, nhanh nhẹn như thỏ, tinh ranh như cáo, ăn nhiều như … heo, mau ăn chóng lớn, tiền vô như nước, phúc lộc nhiều như dịch châu chấu tràn về.
2. Chúc mừng năm mới Bính Thân 2017. Chúc năm mới sức khỏe dẻo dai, công việc thuận lợi thăng tiến dài dài, phi những nước đại tiến tới thành công.
3. Xuân này hơn hẳn mấy xuân qua. Phúc lộc đưa nhau đến từng nhà. Vài lời cung chúc tân niên mới. Vạn sự an khang vạn sự lành.
4. Hoa đào nở, chim én về, mùa xuân lại đến. Chúc một năm mới: nghìn sự như ý, vạn sự như mơ, triệu sự bất ngờ, tỷ lần hạnh phúc.
5. Chúc bạn 12 tháng phú quý, 365 ngày phát tài, 8760 giờ sung túc, 525600 phút thành công 31536000 giây vạn sự như ý. Đây là lời chúc năm mới về thời gian
6. Năm hết tết đến kính chúc mọi người thật nhiều sức khoẻ, miệng cười vui vẻ, tiền vào mạnh mẽ, cái gì cũng được suôn sẻ, để sống tiếp một cuộc đời thật là đẹp đẽ.
7. Cung chúc tân xuân phước vĩnh cửu – Chúc trong gia quyến được an khương – Tân niên lai đáo đa phú quý – Xuân đến an khương vạn thọ tường. Đây là lời chúc mừng năm mới thể hiện chút hán nôm mà các cụ hay dùng chúc nhau rất nho nhã.
8. Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc: Vui trong sức khoẻ, trẻ trong tâm hồn, khôn trong lý tưởng và trưởng thành mọi lĩnh vực.
9. Năm mới chúc nhau sức khỏe nhiều. Bạc tiền rủng rỉnh thoải mái tiêu. Gia đình hạnh phúc bè bạn quý. Thanh thản vui chơi mọi buổi chiều.
Năm nay ngày lễ tình nhân cận kề với dịp tết nguyên đán nên nhiều cặp đôi sử dụng những lời chúc Valentine kết hợp với lời chúc năm mới
10. Mùa xuân xin chúc – Khúc ca an bình – Năm mới phát tài – Vạn sự như ý – Già trẻ lớn bé – Đầy ắp tiếng cười – Trên mặt ngời ngời – Tràn đầy hạnh phúc – Xuân đến hy vọng – Ấm no mọi nhà – Kính chúc ông bà – Sống lâu trăm tuổi – Kính chúc ba mẹ – Sức khoẻ dồi dào – Đôi lứa yêu nhau – Càng thêm nồng ấm – Các em bé nhỏ – Học giỏi chăm ngoan – Chúc Tết mọi người – Năm mới hoan hỉ – Gặp nhiều niềm vui.
11. Năm hết Tết đến – Chúc ông chúc bà – Chúc cha chúc mẹ – Chúc cô chúc cậu – Chúc chú chúc dì – Chúc anh chúc chị – Chúc luôn các em – Chúc cả các cháu – Dồi dào sức khoẻ – Có nhiều niềm vui – Tiền xu nặng túi – Tiền giấy đầy bao – Đi ăn được khao – Về nhà người rước – Tiền vô như nước – Tình vào đầy tim – Chăn ấm nệm êm – Sung sướng ban đêm – Hạnh phúc ban ngày – Luôn luôn gặp may – Tràn đầy hạnh phúc.
12. Năm mới Tết đến – Rước hên vào nhà – Quà cáp bao la – Mọi nhà no đủ – Vàng bạc đầy tủ – Gia chủ phát tài – Già trẻ gái trai – Sum vầy hạnh phúc – Cầu tài chúc phúc – Lộc đến quanh năm – An khang thịnh vượng. Lời chúc năm mới qua điện thoại
13. Đong cho đầy Hạnh phúc. Gói cho trọn Lộc tài. Giữ cho mãi An Khang. Thắt cho chặt Phú quý. Cùng chúc nhau Như ý, Hứng cho tròn An Khang, Chúc năm mới Bình An. Cả nhà đều Sung túc.
14. Mừng 2015 phát tài phát lộc/ Tiền vô xồng xộc, tiền ra từ từ/ Sức khoẻ có dư, công danh tấn tới/ Tình duyên phơi phới, hạnh phúc thăng hoa/ Xin chúc mọi nhà một năm đại thắng
15. Năm hết Tết đến – Đón Khỉ tiễn Dê – Chúc ông chúc bà – Chúc cha chúc mẹ – Chúc cô chúc cậu – Chúc chú chúc dì – Chúc anh chúc chị – Chúc luôn các em – Chúc cả các cháu – Dồi dào sức khoẻ – Có nhiều niềm vui – Tiền xu nặng túi – Tiền giấy đầy bao – Đi ăn được khao – Về nhà người rước – Tiền vô như nước – Tình vào đầy tim – Chăn ấm nệm êm – Sung sướng ban đêm – Hạnh phúc ban ngày – Luôn luôn gặp may – Suốt năm con Khỉ.
16. Sang năm mới chúc mọi người có một bầu trời sức khoẻ, một biển cả tình thương, một đại dương tình cảm, một điệp khúc tình yêu, một người yêu chung thủy, một tình bạn mênh mông, một gia đình thịnh vượng. Chúc các bà, các ông, các cô, các chú, các chị, các anh sang năm mới vạn sự như ý, tỷ sự như mơ, làm việc như thơ, đời vui như nhạc, coi tiền như rác, coi bạc như rơm, chung thủy với cơm và sắc son với phở. Lời chúc nam moi có chút vần vò mà các bạn trẻ hay dùng.
17. Chúc bạn có 1 bầu trời sức khỏe, 1 Biển cả tình thương, 1 Đại dương tình bạn, 1 Điệp khúc tình yêu, 1 Người yêu chung thủy, 1 Sự nghiệp sáng ngời, 1 Gia đình thịnh vượng. – Chúc năm mới cả gia đình bạn vạn sự như ý, Tỉ sự như mơ, Triệu triệu bất ngờ, Không chờ cũng đến!
18. Thay mặt Đảng, Quốc hội, Chính phủ, Mặt trận Tổ quốc kính chúc đồng chí và gia đình một năm mới hạnh phúc, an khang, thịnh vượng! Đây là lời chúc mừng năm mới cho khối đơn vị hành chính sự nghiệp nhưng đôi khi các bạn trẻ cũng dùng lời chúc này để chúc nhay rất vui.
2. Chúc mừng năm mới Bính Thân 2017. Chúc năm mới sức khỏe dẻo dai, công việc thuận lợi thăng tiến dài dài, phi những nước đại tiến tới thành công.
Ê năm nay là năm Đinh Dậu mà
Nhân ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, Hoc24 kính chúc các thầy cô giáo trên cộng đồng chúng ta nhiều sức khỏe, nhiều niềm vui để cống hiến cho sự nghiệp giáo dục!
Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam đầy ý nghĩa này, em xin gửi những lời tri ân đến các giáo viên olm & HOC24 nói chung, và toàn thể giáo viên khắp đất nước nói riêng. Kính chúc các thầy, cô luôn vui vẻ, hạnh phúc, mãi tươi trẻ, luôn tràn ngập tiếng cười và thành công trên con đường giảng dạy của mình. <333
❤️ Happy Teacher's Day ❤️
Nhân ngày 20/11 em chúc các thầy cô trên hoc24, olm một lời chúc tốt đẹp nhất. Chúc các quý thầy cô luôn vui vẻ, mạnh khỏe, hạnh phúc thành công trong con đường sự nghiệp của mình ạ ❤️❤️❤️.
Chúc mừng năm mới!
Hoc24.vn chúc toàn thể thầy cô và các em học sinh một năm mới dồi dào sức khoẻ, bình an, hạnh phúc, đạt được những điều mình mong muốn.
Chúc gia đình Hoc24.vn luôn gắn kết, lớn mạnh và tràn đầy tình yêu thương <3
Chúc cô và toàn thể các thầy cô giáo trên hoc24 một năm mới vui vẻ bên g đ, dồi dào sức khoẻ, mong năm sau cô chiếu cô em thêm ạ
- Xuân đang về và người người đang nô nức đón xuân. Tết năm nay thật đặc biệt, con gái đã có gia đình riêng của mình nhưng con biết con mãi là đứa con gái bé bỏng của mẹ cần mẹ yêu thương vỗ về khi gặp những trắc trở khó khăn trong cuộc sống. Con chúc mẹ mạnh khỏe, hạnh phúc và bình yên.
- Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc: Vui trong sức khỏe, trẻ trong tâm hồn, khôn trong lý tưởng và trưởng thành mọi lĩnh vực.
- Chúc mừng năm mới: Thành công luôn tới, sức khỏe tuyệt vời, may mắn khắp nơi, làm nhiều điều mới.
- Mùa xuân xin chúc – Khúc ca an bình – Năm mới phát tài – Vạn sự như ý – Già trẻ lớn bé – Đầy ắp tiếng cười – Trên mặt ngời ngời – Tràn đầy hạnh phúc – Xuân đến hy vọng – Ấm no mọi nhà – Kính chúc ông bà – Sống lâu trăm tuổi – Kính chúc ba mẹ – Sức khoẻ dồi dào – Đôi lứa yêu nhau – Càng thêm nồng ấm – Các em bé nhỏ – Học giỏi chăm ngoan – Chúc Tết mọi người – Năm mới hoan hỉ – Gặp nhiều niềm vui.
- Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc: Vui trong sức khỏe, trẻ trong tâm hồn, khôn trong lý tưởng và trưởng thành mọi lĩnh vực.
- Hôm nay có 3 người hỏi tôi về bạn và tôi đã giúp để họ tìm đến với bạn ngay. Tên của 3 người ấy là Hạnh phúc, Thịnh vượng và Tình yêu. Chúc mừng năm mới. Happy new year 2020.
- Mỗi năm là một mùa hoa nở, mỗi năm là một mùa bội thu. Cuộc sống như cái cây đang lớn. Đó là lời tôi dành tặng bạn trong năm mới.
- Đầu xuân năm mới BÌNH AN, chúc luôn TUỔI TRẺ chúc AN KHANG.
- Xuân này hơn hẳn mấy xuân qua. Phúc lộc đưa nhau đến mọi nhà. Vài lời cung chúc tân niên mới. Vạn sự an khang vạn sự lành.
- Một lời chào mong một ngày may mắn. Một lới nhắn nhủ mong bạn thành công. Một lời chúc mong bạn ấm lòng. Một nụ cười để vượt qua tất cả. Một ý chí để đập tan vất vả, lo âu. Một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc.
Chúc mừng năm mới 2024!
