Ôn thi vào 10

\(-b\le a\le b\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge0\\a-b\le0\end{matrix}\right.\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2\le b^2\)

BĐT chỉ đúng khi \(b\ge0\) (Dễ thấy nếu b < 0 thì -b > 0 > b, bđt sai)

Ta thấy : `(x-1)^2>=0 , ∀x`

`=>(x-1)^2-1>=-1 , ∀x`

`->(x-1)^2-1` chưa chắc lớn hơn `0` vì giá trị nhỏ nhất của nó bằng `-1` khi `x=1`

Lời giải:
\(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)

\(\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=4\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\frac{4-(a+b+c)}{2}=1\)

\(\Rightarrow a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})\)

Tương tự:

$b+1=(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$
$c+1=(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{b})$

Khi đó:

\(A=\left[\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{c}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\right]\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}\)

\(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{b}(\sqrt{c}+\sqrt{a})+\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2(\sqrt{c}+\sqrt{a})^2}\)

\(=\frac{2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})\)

\(=2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})=2\)

Do \(\widehat{AOB}\) là góc ở tâm chắn cung AB và \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OAB\) vuông cân tại O

Áp dụng định lý Pitago:

\(OA^2+OB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow R^2+R^2=a^2\)

\(\Rightarrow R^2=\dfrac{a^2}{2}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)(đvđd)

Lời giải:

$\frac{1}{c}=-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})< 0$ do $a,b>0$

$\Rightarrow c< 0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$

Từ đây ta có:

\((\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c})^2=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}\)

\(=a+b+2c+2\sqrt{ab+bc+ac+c^2}=a+b+2c+2\sqrt{c^2}\)

\(=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2(-c)=a+b\)

\(\Rightarrow \sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{a+b}\) (do \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\geq 0\))

Ta có đpcm.

\(x+2y=3\Leftrightarrow2y=-x+3\)

\(\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng có hệ số góc \(a=-\dfrac{1}{2}\) và tung độ gốc \(b=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow b-a=2\)

b-a=2

Do tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow2AB^2=6\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{3}\) (cm)

\(\Rightarrow AC=AB=\sqrt{3}\) (cm)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{3}{2}\left(cm^2\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow2\cdot AB^2=6\)

\(\Leftrightarrow AB^2=3\)

\(\Leftrightarrow AB=AC=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{3}{2}\left(cm^2\right)\)

ĐK: `-x^4-2 >=0 <=>-(x^4+2) >=0 <=> x^4+2 <=0`

`x^4 >=0 <=>x^4+2>=2 >0 forallx`

Là "`-x^4`" chứ không phải "`(-x)^4`" ạ.